关于历史故事的成语-喀斯特
高中数学常用公式及常用结论
1. 包含关系
A B A
A C
U
B
2
．集合
{ a
1
, a
2
,
个 .
3.充要条件
A B B
A B
C
U
B C
U
A
C
U
ABR
, a
n
}
的子集个数共有
2
n
个；真子集有
2
n
–
1
个；非空子集有
2
n
– 1 个；非空的真子集有
2
n
– 2
（ 1）充分条件：若
p q
，则
p
是
q
充分条件
.
（ 2）必要条件：若
q p
，则
p
是
q
必要条件
.
（ 3）充要条件：若
p q
，且
q
p
，则
p
是
q
充要条件
.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然
4. 函数的单调性
(1) 设
x
1
x
2
.
a,b , x
1
x
2
那么
0
(x
1
x
2
)
f ( x
1
)
f ( x
2
)
f ( x
1
)
f ( x
2
)
x
1
x
2
f ( x
1
)
f ( x
2
)
0
f (x)在 a,b
上是增函数；
(x
1
x )
f ( x )
2
f ( x
)
2
0
0
f ( x)在 a, b
上是减函数
.
1
x
1
x
2
(2) 设函数
y
f ( x)
在某个区间内可导，如果
f
(x)
0
，则
f (x)
为增函数；如果
f ( x)
0
，则
f ( x)
为减函
数 .
5. 如果函数
f ( x)
和
g( x)
都是减函数
,
则在公共定义域内
g (x)
在其对应的定义域上都是减函数
, 和函数
f ( x) g( x)
也是减函数
如果函数
y
f (u)
和
u
, 则复合函数
y
f [ g( x)]
是增函数
.
6．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于
7. 对于函数
y
y 轴对称 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么
这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于
y 轴对称，那么这个函数是偶函数．
f (x)
(
x
R
),
f (x a)
f (b
x)
恒成立
,
则函数
f ( x)
的对称轴是函数
a
b
x
a
b
2
; 两个函
数
y
f (x
a)
与
y
f (b
x)
的图象关于直线
x
对称 .
8. 几个函数方程的周期 ( 约定 a>0)
（ 1）
f (x)
2
f (x
（ 2），
f ( x
a)
m
a)
，则
f (x)
的周期
T=a；
1
( f ( x) 0)
，或
f (x a)
f ( x)
1
f (x)
m
( f (x) 0)
,
则
f ( x)
的周期
T=2a；
9. 分数指数幂
(1)
a
n
1
n
a
m
（
a
0, m, n
N
，且
n
1
）
.(2)
a
n n
a
n
1
a
m
（
a
n
0, m, n N
，且
n
1
）
.
n
10．根式的性质
1
n
n
（ ）
(
a
)
a
.
（
2）当
n
为奇数时，
a
；当
n
为偶数时，
a
n
| a |
a, a 0
.
a, a
0
11．有理指数幂的运算性质
(1)
a
r
a
s
a
r s
( a
0, r , s
Q )
.(2)
(a
r
)
s
a
rs
(a
0, r , s
b
a
b
N (a
Q)
.(3)
(ab)
r
a
r
b
r
(a
0, b 0, r Q)
.
12. 指数式与对数式的互化式
log
a
N
①.负数和零没有对数，②
0, a
1, N
0)
.
.1 的对数等于
0：
log
a
1 0
，③ .底的对数等于
1：
log
a
a 1
，
④ .积的对数：
log
a
(MN )
log
a
M
log
a
N
，商的对数：
log
a
M
N
log
a
M
log
a
N
，
幂的对数：
log
a
M
n
nlog
a
M
；
log
a
m
b
n
n
log
a
b
m
13. 对数的换底公式
log
N
a
log
m
N
(
推论
log
a
m
b
n
n
log
m
a
且
a
a 0
, 且
a 1
,
m 0
, 且
m 1 N 0
,
).
m
log
a
b
(
a 0
,
1
,
m, n
0
,
且
m
1
,
n
1
,
N
0
).
15.
a
n
s
1
,
n 1
(
数列
{ a
n
}
的前
n
项的和为
s
n
a
1
a
2
a
n
).
s
n
s
n 1
, n
2
a
n
16. 等差数列的通项公式
a
1
(n
1)d
dn
a
1
d (n
n(n 1)
N
*
)
；
其前 n 项和公式为
s
n
n(a
1
a
n
)
na
1
d
d
2
n
(a
1
1
2
d ) n
.
17. 等比数列的通项公式
2
2
2
a
n
a
1
q
n
1
a
1
q
n
(n
N
*
)
；
q
a
1
(1 q
n
)
, q 1
1 q
na
1
, q
1
=
a
1
a
n
q
, q 1
1
q
na
1
, q
1
其前 n 项的和公式为
s
n
或
s
n
.
18. 同角三角函数的基本关系式
sin
2
cos
2
1
，
tan
sin
cos
19 正弦、余弦的诱导公式
sin(
n
n
)
(
1)
2
sin ,
(n
为偶数 )
2
n 1
(
1)
co s ,
2
(n
为奇数 )
20 和角与差角公式
sin(
)
sin
)
)
cos
cos
sin
sin
sin
.
;
;
cos(
cos
cos
tan
tan(
tan
1
tan
tan
a sin
b cos
=
a
2
b sin(
2
)
(
辅助角
所在象限由点
( a,b)
的象限决定
,
tan
b
a
).
21、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴
sin2
⑵
cos2
2sin cos
．
cos
2
sin
2
2cos
2
1
1 2sin
2
（
cos
2
1 cos2
2
，
sin
2
1
cos2
）．
2
⑶ tan2
2tan
1 tan
2
．
22. 三角函数的周期公式
函数
y
sin(
x
)
，x∈R
及函数
y
cos(
x
)
，x∈
R(A,
ω
,
为常数， 且
A≠
0，ω ＞0)
的周期
T
.
2
；
函数
y tan( x
23. 正弦定理
)
，
x
k
, k
Z
(A,
ω,
为常数，且 A≠ 0， ω ＞0) 的周期
T
2
a
b
c
sin C
sin A
sin B
24. 余弦定理
2R
.
a
2
b
2
c
2
2bc cos A
;
b
2
c
2
a
2
2ca cos B
;
c
2
a
2
b
2
2ab cosC
.
25. 面积定理
S
1
ab sin C
1
bc sin A
1
ca sin B
（2）
.
26. 三角形内角和定理
2
2
C
2
(A B)
在△ ABC中，有
A B C
C
2
2
A B
2
2C 2 2(A B)
.
27. 实数与向量的积的运算律
设 λ 、μ 为实数，那么
(1) 结合律： λ( μ a)=( λμ ) a;(2) 第一分配律： ( λ +μ) a=λ a+μa; (3) 第二分配律： λ ( a+b)= λa+λ b.
28. 向量的数量积的运算律：
）· b=
（
· b） =
a
· b=
a
·（ b）;(3)
（
+b）· c=
a
·c +b · c.
(1)
a
·b= b ·
a
（交换律） (2)
（
a
a
a
30．向量平行的坐标表示
设 a=
( x
1
, y
1
)
, b=
( x
2
, y
2
)
，且 b
0，则 a b(b
0)
31.
a
与
b
的数量积
(
或内积
)
a
·
b=|
a
|| b|cos
θ．
33. 平面向量的坐标运算
x
1
y
2
x
2
y
1
0
.
32. 数量积 a· b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b|cosθ 的乘积．
(1) 设 a=
( x
1
, y
1
)
, b=
( x
2
, y
2
)
，则 a+b=
(x
1
x
2
, y
1
y
2
)
.
(2) 设 a=
( x
1
, y
1
)
, b=
( x
2
, y
2
)
，则 a-b=
(x
1
x
2
, y
1
y
2
)
.
(3) 设 A
(x
1
, y
1
)
， B
( x
2
, y
2
)
,则
AB
(4)
设 a=
( x, y),
OB
OA
( x
2
x
1
, y
2
y
1
)
.
x, y)
.
R
，则
a=
(
(5)
设 a=
( x
1
, y
1
)
, b=
( x
2
, y
2
)
，则 a ·b=
(x
1
x
2
y
1
y
2
)
.
34.
两向量的夹角 公式
cos
x
1
x
2
y
1
y
2
x
1
2
(
a
=
( x
1
, y
1
)
, b=
(x
2
, y
2
)
).
y
1
2
x
2
2
y
2
2
35.
平面两点间的距离公式
d
A ,B
=
| AB |
AB
AB
(x
2
x
1
)
2
( y
2
y
1
)
2
(A
( x
1
, y
1
)
，B
( x
2
, y
2
)
).
36. 向量的平行与垂直
设 a=
( x
1
, y
1
)
, b=
( x
2
, y
2
)
，且 b 0，则
A||
b
b=λ a
0)
x
1
y
2
x
2
y
1
a
·
b=0
0
.
a
b(a
x
1
x
2
y
1
y
2
0
.
37. 三角形的重心坐标公式
G (
xx
△ ABC 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
、
C(x
3
,y
3
)
,则△ABC的重心的坐标是
12
3
设
O
为
xyy
3
,
12
y
3
3
)
.
2
2
2
ABC
所在平面上一点，角
A, B,C
所对边长分别为
a, b, c
，则
ABC
的外心
ABC
的垂心
a
2
b
2
a
b
2
（1）
O
为
OA OB
OA OB
OC
.
（2）
O
为
ABC
的重心
OC OA
.
OA OB OC 0
.
（3）
O
为
38. 常用不等式：
（ 1）
a, b
R
（ 2）
a, b
R
OB OC
2ab
(
当且仅当
a＝b
时取“
=”号)
．
ab
(
当且仅当
a＝
b
时取“
=”号)
．
（ 3）
a
b
a b
a
b
.
39 已知
x, y
都是正数，则有（
（ 2）若和
x
1）若积
xy
是定值
p
，则当
x
y
是定值
s
，则当
x
y
时积
xy
有最大值
s
2
.
4
a
.
2
1
y
时和
x
y
有最小值
2
p
；
40. 含有绝对值的不等式
当 a> 0 时，有
x ax
2
a
a x
a
.
x a
x
2
a
2
x a
或
x
41.斜率公式
k
（
P
1
(x
1
, y
1
)
、
P
2
(x
2
, y
2
)
）.
y
2
x
2
x
1
y
1
42.直线的五种方程
（ 1）点斜式
（ 2）斜截式
（ 3）两点式
y
y
1
k( x
x
1
)
(
直线
l
过点
P
1
( x
1
, y
1
)
，且斜率为
k
)．
y
kx
b
(b
为直线
l
在
y
轴上的截距
).
(
y
1
y
2
)(
P
1
( x
1
, y
1
)
、
P
2
(x
2
, y
2
)
(
x
1
x
2
)).
y
y
1
x
y
2
y
1
x
2
x
1
x
y
1
(
a、b
分别为直线的横、纵截距，
a、b 0
)
(4) 截距式
a b
（ 5）一般式
Ax By C 0
(其中 A 、 B 不同时为 0).
x
1
43.两条直线的平行和垂直
(1)若
l
: y
k
x b
，
l
: y
l
1
|| l
2
1
1 1 2
2 2
(2)若
l
1
: A
1
x
B
1
y
C
1
0
,
l
2
: A
2
x
B
2
y
C
2
①
k
x
b
①
l
1
|| l
2
A
1
A
2
B
1
B
2
C
1
k
1
k
2
, b
1
bl
1
l
2
k
1
k
2
1
0
,且
A
1
、A
2
、B
1
、B
2
都不为零
,
0
;
②
2
.
；②
l
1
l
2
；
A
1
A
2
B
1
B
2
C
2
A
1
A
2
B
1
B
2
(
l
1
: A
1
x B
1
y C
1
0
,
l
2
: A
2
x B
2
y C
2
直线
l
1
l
2
时，直线
l
1
与
l
2
的夹角是
.
0
,
0
).
2
| Ax
0
By
0
C |
45.点到直线的距离
d
2
B
2
A
(点
P(x
0
, y
0
)
,直线
l
：
Ax
By
C
0
).
46. 圆的四种方程
（ 1）圆的标准方程
（ 2）圆的一般方程
47. 直线与圆的位置关系
直线
Ax
( x
a)
2
x
2
y
2
( y
b)
2
r
.
2
0
(
D
Dx
Ey
F
2
E
2
4F
＞0).
r
2
的位置关系有三种
:
0
;
By C
相离
0
与圆
( x
a)
2
( y b)
2
0
;
d
0
.
其中
d
d r
d r相交
r
相切
Aa
A
2
Bb C
B
2
.
48. 两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为
O
1
， O
2
，半径分别为 r
1
， r
2
，
O
1
O
2
d
d
r
1
r
2
外离
4条公切线
;
d r
1
r
2
外切
3条公切线
;
r
1
r
2
d
r
1
r
2
r
1
r
2
y
2
2
相交
2条公切线
;
d
r
1
r
2
内切
1条公切
线
;
0
d
内含
Dx
无公切线
.
49. 圆的切线方程
(1) 已知圆
x
2
Ey
F 0
．(2)
已知圆
x
2
y
2
r
2
．
①过圆上的
P
0
( x
0
, y
0
)
点的切线方程为
x
0
x
y
0
y
r
2
;
50. 椭圆
x
2
51. 椭圆
x
2
a
2
y
b
2
1(a
b
0)
的参数方程是
x
a cos
.
y
b sin
PF
1
a
2
y
2
b
2
1(a
b
0)
焦半径公式
e( x
a
2
)
，
PF
2
c
e(
a
2
c
x)
.
52．椭圆的的内外部
（ 1）点
P(x
0
, y
0
)
在椭圆
x
2
a
a
2
y
2
b
b
2
1(a
b
0)
的内部
x
0
2
a
2
x
0
2
a
2
y
0
2
b
b
2
1
.
（ 2）点
P(x
0
, y
0
)
在椭圆
x
2
2
y
2
2
1(a
b
0)
的外部
y
0
2
2
1
.
53. 双曲线
x
2
y
2
2
2
1(a 0,b 0)
的焦半径公式
PF
1
| e( x
a
2
c
) |
，
PF
2
| e(
a
2
c
x) |
.
54. 双曲线的方程与渐近线方程的关系
a
b
(1 ）若双曲线方程为
x
2
a
y
y
2
b
2
2
2
x
1
渐近线方程：
a
2
y
2
b
2
0
y
b
2
x
.
a
(2) 若渐近线方程为
(3) 若双曲线与
x
2
b
x
a
x
a
y
b
0
2
x
双曲线可设为
a
2
y
b
2
.
a
2
55. 抛物线
y
2
抛物线
y
2
y
1
有公共渐近线， 可设为
b
2
a
2
2 px
的焦半径公式
2
x
2
y
2
b
2
（
0
，焦点在
x
轴上，
0
，焦点在
y
轴上）.
2 px( p
x
1
0)
焦半径
CF
x
0
p
2
x )
2
1
p
.
2
过焦点弦长
CD
x
2
p
2
x
1
x
2
p
.
56. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB
x |
1
2
(x
1
x
2
)
2
( y
1
y
2
)
2
或
tan
2
| y
1
AB
(1
k
2
)(x
程
y kx
F( x, y)
b
0
2
| x
1
y
|
2
1
co t
2
（弦端点 A
(x
1
, y
1
), B(x
2
, y
2
)
，由方
2
消去 y
得到
ax
bx c
0
，
0
,
为直线
AB
的倾斜角，
k
为直线的斜率）
.
57(1) 加法交换律： a＋b=b＋ a．(2)
加法结合律： ( a＋ b) ＋c=a＋ ( b＋c) ．(3) 数乘分配律： λ ( a＋ b)= λ a＋ λ b．
59 共线向量定理
对空间任意两个向量
a、b(b≠ 0 )， a∥b
存在实数 λ 使 a=λ b．
P、A、B
三点共线
60. 向量的直角坐标运算
AP || AB
AP
t ABOP (1 t )OA tOB
.
设
a
＝
(a
1
, a
2
, a
3
)
，
b＝
(b
1
,b
2
, b
3
)
则
(1)
a
＋b＝
( a
1
(4)
a
·b＝
a
1
b
1
b
1
,a
2
b
2
, a
3
b
3
)
；
(2)
a
－
b＝
(a
1
b
1
,a
2
b
2
,a
3
b
3
)
；
(3)
λ
a
＝
( a
1
,
a
2
,
a
3
)
(
λ ∈
R)；
a
2
b
2
a
3
b
3
；
61. 设 A
(x
1
, y
1
, z
1
)
，B
(x
2
, y
2
, z
2
)
，则
AB
OB
62．空间的线线平行或垂直
OA
=
(x
2
r
r
a b 0
x
1
, y
2
y
1
, z
2
z
1
)
.
r
r
r
设
a ( x
1
, y
1
, z
1
)
，
b
( x
2
, y
2
, z
2
)
，则
a b
r
x
1
x
2
y
1
y
2
z
1
z
2
0
.
63. 夹角公式
设
a
＝
(a
1
, a
2
, a
3
)
，
b＝
(b
1
,b
2
, b
3
)
，则
cos
〈
a
，
b〉
=
a
1
b
1
a
1
2
a
2
b
2
a
3
b
3
a
3
2
b
1
2
b
2
2
64．异面直线所成角
cos
r r
| cos a,b |
=
r
r
|
r
a
b
r
|
| a | |b |
r r
a
2
2
b
3
2
.
x
1
2
| x
1
x
2
y
1
y
2
z
1
z
2
|
y
1
2
z
1
2
x
2
2
y
2
2
z
2
2
（其中 （
0
o
90
o
）为异面直线
a,b
所成角，
a, b
分别表示异面直线
a,b
的方向向量）
65.直线
AB
与平面所成角
arc sin
AB m
(
m
为平面
的法向量 ).
| AB || m |
66.二面角
l
的平面角
arc cos
m n
或
| m ||n |
arc cos
m n
（
m
，
n
为平面
，
| m ||n |
的法向量） .
134. 空间两点间的距离公式
若 A
(x
1
, y
1
, z
1
)
， B
(x
2
, y
2
, z
2
)
，则
d
A ,B
=
| AB |AB AB
( x
2
x
1
)
2
67. 球的半径是 R，则
( y
2
y
1
)
2
(z
2
z
1
)
2
.
其体积
V
(3)
4
R
,其表面积
S 4 R
．
32
3
球与正四面体的组合体 :
棱长为
a
的正四面体的内切球的半径为
68
V
柱体
1
3
a
,
外接球的半径为
12
66
a
.
Sh
（
S
是柱体的底面积、
h
是柱体的高）
.
V
锥体
4
1
3
Sh
（
S
是锥体的底面积、
h
是锥体的高）
.
69. 分类计数原理（ 加法原理）
N
70. 排列数公式
m
1
m
2
m
n
.
m
A
n
=
n(n
1)
(n
71. 组合数公式
C
n
m
=
A
m
*
n！
.(
n
，
m
∈ N ，且
m
n
) ． 注:规定
0! 1
.
m
1)
=
(n m)！
n
1 2
72. 组合数的两个性质 (1)
C
m
=
C
n m
;(2)
n n
A
m
m
=
n(n 1)
(n
(
n
∈ N
*
，
m
N
，且
m
n！
m
1)
=
m！(n
m)！
m
C
m
+
C
m 1
=
C
m
.注:规定
C
0
1
.
n
n n 1
n
).
n
n
m 1
C
n
m 1
;（ 2）
C
n
m
n
C
n
m
1
（ 3）
C
n
m
m
n m
73. 排列数与组合数的关系
A
n
m
m！C
n
m
.
155. 组合恒等式 （1）
C
n
m
n
74．单条件排列以下各条的大前提是从
（ 1）“在位”与“不在位”
①某（特）元必在某位有
n
C
n
m
1
1
;（4）
C
n
r
=
2
n
;
m
r 0
n
个元素中取
m
个元素的排列
.
A
n
m
1
1
种；②某（特）元不在某位有
A
n
m
A
n
m
1
1
（补集思想）
A
n
1
1
A
n
m
1
（着眼位置）
1
A
n
m
1
A
m
1
1
A
n
m
1
1
（着眼元素）种 .
（ 2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）
①定位紧贴：
k(k
m
n)
个元在固定位的排列有
k、 h 个（
k
A
k
k
A
n
m
k
k
种
.
A
n
n
②浮动紧贴：
n
个元素的全排列把
③插空：两组元素分别有
k 个元排在一起的排法有
k
1
k
1
A
k
k
种
.注：此类问题常用捆绑法；
h 1
），把它们合在一起来作全排列，
k 个的一组互不能挨近的所有排
列数有
A
h
h
A
h
k
1
种 .
（ 3）两组元素各相同的插空
m
个大球
n
个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
当
n
m 1
时，无解；当
n
m
1
时，有
A
n
m
1
C
m
n
1
种排法
.
A
n
n
（ 4）两组相同元素的排列：两组元素有
m 个和 n 个，各组元素分别相同的排列数为
C
m
n
75．分配问题
（ 1）(平均分组有
归属问 题 ) 将相异 的
m
、
n
个物 件等 分给
m
个人 ，各得
n
件 ，其 分配方法
n
.
数共有
n
N C
mn
( n! )
m
（ 2） (平均分组无归属问题
)将相异的
m
·
n
个物体等分为无记号或无顺序的
C
mn
n
C
mn
n
n
C
mn
n
2n
... C
2
n
n
C
n
n
(mn)!
C
n
mn n
C
n
n n
(mn)!
mn 2n
C
2 n
C
n
.
m
堆，其分配方法数共有
N
m!
m!(n! )
m
.
（ 3）(非平均分组有归属问题
)将相异的
P(P=n
1
+n
2
+
n
2
+n
m
)
个物体分给
m
个人，物件必须被分完， 分别得到
n
1
，
，?，
件，且
n
1
，
，?，
这
m
个数彼此不相等， 则其分配方法数共有
n
m
n
2
n
m
N
C
p
n
1
C
p
n
2
n
1
...C
n
m
n
m
m!
2
p!m!
n
1
!n
2
!...n
m
!
.
76. 二项式定理
(a
二项展开式的通项公式
b)
n
T
C
n
0
a
n
C
n
1
a
n 1
b
C
n
2
a
n
C
n
r
a
n r
b
r
( r
b
2
C
n
r
a
n
r
b
r
C
n
n
b
n
;
r 1
0，1，2
， n)
.
0(i
77.n
次独立重复试验中某事件恰好发生
78. 离散型随机变量的分布列的两个性质（
79. 数学期望
E
k 次的概率
P
n
(k) C
n
k
P
k
(1
P)
n k
.
1）
P
i
1,2,
)
;
（2）
P
1
P
2
1
.
x
1
P
1
x
2
P
2
x
n
P
n
80.. 数学期望的性质（
1）
E(a
b)
aE (
) b
.
（
2）若 ～
B(n, p)
,
则
E
np
.
81.
方差
2
2 2
D
x
1
E
p
1
b
x
2
E
dy
dx
p
2
df
dx
x
n
y
x
E
p
n
标准差
=
D
.
82. 方差的性质 (1)
D a
a
2
D
；(2 ）若
～
B(n, p)
，则
D
y
np (1
p)
.
83..
f (x)
在
(a, b)
的导数
f (x)
lim
x 0
lim
x 0
f ( x
x)
x
f ( x)
.
84..
函数
y
函数
y
f (x)
在点
x
0
处的导数的几何意义
f ( x)
在点
x
0
处的导数是曲线
y f (x)
在
P( x
0
, f ( x
0
))
处的切线的斜率
f ( x
0
)( x x
0
)
.
f
( x
0
)
，相应的切线方程是
y y
0
(1)
(4)
85.. 几种常见函数的导数
C
0
（C
为常数）
.(2)
(x
n
)
'
nx
n 1
(n Q)
.(3)
(sin x)
sin x
(5)
(ln x)
'
cos x
.
(cos x)
86.. 导数的运算法则
（ 1）
(u
'
1
；
(log a
x
)
x
'
uv
.
（
3）
(
1
(6)
( e
x
)
x ln a
e
x
;
(a
x
)
a
x
ln a
.
v)
'
u
'
v
.
（ 2）
(uv)
uv
'
u
)
'
u
'
v uv
'
v
2
(v
0)
.
87.. 复合函数的求导法则
v
设函数
u
数
y
( x)
在点
x
处有导数
u
x
'
bi
c
di
a
'
(x)
，函数
y
f (u)
在点
x
处的对应点
U 处有导数
y
u
'
f
'
(u)
'
(x)
.
f
'
(u)
，则复合函
f (
( x))
在点
x
处有导数，且
y
x
'
y
u
'
u
x
'
，或写作
f
x
'
(
(x))
d
. （
a,b, c, d
R
）
89. 复数的相等
a
90. 复数
z
c,b
a
bi
的模（或绝对值）
| z |
=
| a
( a
bi ) ( c
di )
( ac
bd )
91. 复数的四则运算法 (1)
bi |
=
a
2
b
2
.
( a c)
(b
d )i
(2)
(a
bi )
(c
di )
(a c)
ac
bd
c
2
d
2
(3)
(a bi )(c
di )
(bc
ad )i
; (4)
( a
bi )
(c
di )
i(c
di 0)
.
bc
c
2
d
2
ad
(b d )i
;
的角度
0
30
45
60
3
90
120
2
3
135
3
4
150
5
6
180
270
3
2
360
2
0
的弧度
0
sin
0
6
4
2
1
1
2
2
2
3
2
3
2
2
2
1
2
2
2
0
1
1
0
cos
1
2
3
2
2
1
2
0
1
2
3
2
1
0
tan
0
3
3
1
3
无
3
1
3
3
0
无
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
性
函
质
数
y sin x
y cosx
y tan x
图象
定义域
R
R
x x k, k
2
R
时，
值域
1,1
当
x
2k
k
2
y
max
1
；当
x
1,1
时， 当 x
2k k
最值
2k
y
max
1
；当
x
2
1
．k
2k
既无最大值也无最小值
1
．
k
周期性
奇偶性
时，
y
min
2
时，
y
min
2
奇函数
,2k
2
2
偶函数
奇函数
在
2k
在 2k,2 k
k 上是增函数；在
k上 是
在
k
2
, k
单调性
增函数；在 2k
,2 k
2
2
2k
, 2k
3
2
k
上是减函数．
k
上是增函数．
对称中心 k ,0 k
k 上是减函数．
对称中心
对称性
k
2
,0
k
对称中心
无对称轴
对称轴
x k
2
k
k
,0 k
2
对称轴 x k
k
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