三角魔方公式高中数学公式结论大全[4]

高中数学公式结论大全【4】

102.动点M到定点F的距离与到定直线 的距离之比为常数，若
轨迹为椭圆；若，M的轨迹为抛物线；若
，M的
，M的轨迹为双 曲线。
103．证明直线与直线的平行的思考途径
1转化为判定共面二直线无交点；
2转化为二直线同与第三条直线平行；
3转化为线面平行；
4转化为线面垂直；
5转化为面面平行.
104．证明直线与平面的平行的思考途径
1转化为直线与平面无公共点；
2转化为线线平行；
3转化为面面平行.
105．证明平面与平面平行的思考途径
1转化为判定二平面无公共点；
2转化为线面平行；
3转化为线面垂直.
106．证明直线与直线的垂直的思考途径
1转化为相交垂直；
2转化为线面垂直；
3转化为线与另一线的射影垂直；


4转化为线与形成射影的斜线垂直.
107．证明直线与平面垂直的思考途径
1转化为该直线与平面内任一直线垂直；
2转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
3转化为该直线与平面的一条垂线平行；
4转化为该直线垂直于另一个平行平面。
108．证明平面与平面的垂直的思考途径
1转化为判断二面角是直二面角；
2转化为线面垂直；
(3) 转化为两平面的法向量平行。
109.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
(1)加法交换律：＋=＋．
(2)加法结合律：(＋)＋=＋(＋)．
(3)数乘分配律：λ(＋)=λ＋λ．
110.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广
始点相同且不在同一个平面内的三个向 量之和，等于以这三个向量为棱的平行六
面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.
111.共线向量定理
对空间任意两个向量、 (≠ )，∥存在实数λ使=λ．
三点共线.


、
112.共面向量定理
共线且不共线且不共线.
向量与两个不共线的向量、共面的存在实数对,使．
推论 空间一点P位于平面MAB内的
，
存在有序实数对,使
或对空间任一定点O，有序实数对，使.
113.对空间任一点
，则当
时，若
和不共线的三点A、B、C，满足
时，对于空间任一点，总有P 、A、B、C四点共面；当
平面ABC，则P、A、平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若
B、C四点不共面．
四点共面与、共面
平面ABC.
114.空间向量基本定理
如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯 一的有序
实数组x，y，z，使＝x＋y＋z．
推论 设O、A、B、C是不共面的四点， 则对空间任一点P，都存在唯一的三个
有序实数x，y，z，使
115.射影公式
.


已知向量=和轴，是上与同方向的单位向量.作A点在上的射影
，则
，
作B点在上的射影

116.向量的直角坐标运算
设＝，＝则
(1) ＋＝；
(2) －＝；
(3)λ＝ (λ∈R)；
(4) ·＝；
117.设A，B，则
=
118．空间的线线平行或垂直
设，，则
.
；
.


119.夹角公式
设＝，＝，则.
推论 ，此即三维柯西不等式.
120. 正棱锥的侧面与底面所成的角为，则。
特别地，对于正四面体每两个面所成的角为，有
121．异面直线所成角
。
=
其中
122.直线
为异面直线
与平面所成角
所成角，分别表示异面直线的方向向量
(为平面的法向量).
123.二面角的平面角根据具体图形确定是锐角或是钝角
或
124折叠角定理
，为平面，的法向量.


设AC是α内的任一条直线，AD是α的一条斜 线AB在α内的射影，且BD⊥AD，
垂足为D，设AB与α(AD)所成的角为
所成的角为． 则




125.空间两点间的距离公式
.
， AD与AC所成的角为， AB与AC
若A，B，则
.
=
126.点到直线距离
(点
127.异面直线间的距离
在直线上，为直线的方向向量， =).
(
为
是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，
间的距离).
128.点到平面的距离
为平面的法向量，
129.异面直线上两点距离公式
，是的一条斜线段.


.
.
.
(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段
上分别取两点E、F，,,).
的长度为h.在直线a、b
130.三个向量和的平方公式


131．作截面的依据
三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.
132．棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相 似，截面面积与底
面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比对应角相等，对应边对应成比
例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方；相应小
棱锥的体积与原棱锥的 体积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的立方比；相应小
棱锥的的侧面积与原棱锥的的侧面积的比等于顶 点到截面距离与棱锥高的平方
比．
133.球的半径是R，则其体积
134.球的组合体
,其表面积．
(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.


(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的
棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对
角线长.
(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为的正四面体的内切球的半径为
(正四面体高的),外接球的半径为(正四面体高的).
135．柱体、锥体的体积
是柱体的底面积、是柱体的高.
是锥体的底面积、是锥体的高.
136.分类计数原理加法原理：.
137.分步计数原理乘法原理：.
138.排列数公式 ：
定.
==.(，∈N
*
，且)．规
139.排列恒等式 :(1;2;
3; 4; 5.
(6) .


140.组合数公式：
).
===(∈N
*
，，且
141.组合数的两个性质:(1)
142.组合恒等式
= (2) +=.规定.
1;2;
3; 4=;
5.
(6).
(7).
(8).
(9).
(10).
143.排列数与组合数的关系: .
个元素的排列 144．单条件排列以下各条的大前提是从个元素中取
1“在位”与“不在位”


①某特元必在某位有
着眼位置
种；②某特元不在某位有
着眼元素种.
补集思想
2紧贴与插空即相邻与不相邻
①定位紧贴：个元在固定位的排列有种.
②浮动紧贴：个元素的全排列把k个元排在一起的排法有
注：此类问题常用捆绑法；
③插空：两组元素分别有k、h个
一组互不能挨近的所有排列数有
3两组元素各相同的插空
个大球个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
种.
，把它们合在一起来作全排列，k个的
种.
当时，无解；当时，有种排法.
4两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为
.