衰减公式最全面的初中数学概念定义公式大全

初中数学定义定理公式总结

一、基本知识
㈠、数与代数
A、数与式：
1、有理数
有理数：①整数→正整数0负整数
②分数→正分数负分数
数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点
表示0（原点）， 选取某一长度作为单
位长度，规定直线上向右的方向为正方
向，就得到数轴。②任何一个有理数 都
可以用数轴上的一个点来表示。③如果
两个数只有符号不同，那么我们称其中
一个数 为另外一个数的相反数，也称这
两个数互为相反数。在数轴上，表示互
为相反数的两个点，位于 原点的两侧，
并且与原点距离相等。④数轴上两个点
表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与
原点的 距离叫做该数的绝对值。②正数
的绝对值是他的本身、负数的绝对值是
他的相反数、0的绝对值 是0。两个负
数比较大小，绝对值大的反而小。
有理数的运算：
加法：①同号相加 ，取相同的符号，把绝对
值相加。②异号相加，绝对值相等时和
为0；绝对值不等时，取绝对值 较大的
数的符号，并用较大的绝对值减去较小
的绝对值。③一个数与0相加不变。
减法：减去一个数，等于加上这个数的相反
数。
乘法：①两数相乘，同号得正，异号 得负，
绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。
③乘积为1的两个有理数互为倒数。
除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒
数。②0不能作除数。
乘方：求N个相同因 数A的积的运算叫做
乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N
叫次数。
混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加
减，有括号要先算括号里的。
2、实数
无理数：无限不循环小数叫无理数
平方根：①如果一个正数X的平方等于A，
那么这 个正数X就叫做A的算术平方
根。②如果一个数X的平方等于A，那
么这个数X就叫做A的平方 根。③一
个正数有2个平方根0的平方根为0
负数没有平方根。④求一个数A的平方
根 运算，叫做开平方，其中A叫做被开
方数。
立方根：①如果一个数X的立方等于A，那
么这个数X就叫做A的立方根。②正
数的立方根是正数、0的立方根是0、
负数的立方根是负 数。③求一个数A
的立方根的运算叫开立方，其中A叫做
被开方数。
实数：①实数分 有理数和无理数。②在实数
范围内，相反数，倒数，绝对值的意义
和有理数范围内的相反数，倒 数，绝对
值的意义完全一样。③每一个实数都可
以在数轴上的一个点来表示。
3、代数式
代数式：单独一个数或者一个字母也是代数
式。
合并同类项： ①所含字母相同，并且相同字
母的指数也相同的项，叫做同类项。②
把同类项合并成一项就叫做 合并同类
项。③在合并同类项时，我们把同类项
的系数相加，字母和字母的指数不变。
4、整式与分式
整式：①数与字母的乘积的代数式叫单项
式，几个单项式的和叫多项 式，单项式
和多项式统称整式。②一个单项式中，
所有字母的指数和叫做这个单项式的
次数。③一个多项式中，次数最高的项
的次数叫做这个多项式的次数。
整式运算：加减运算时，如果遇到括号先去
括号，再合并同类项。
幂的运算：AM
+A
N
=A
（
M+N
）

（AM）
N
=A
N
M
N

（AB）
N
=A
N
B
N
除法一样。 < br>整式的乘法：①单项式与单项式相乘，把他
们的系数，相同字母的幂分别相乘，其
余字母 连同他的指数不变，作为积的因
式。②单项式与多项式相乘，就是根据
分配律用单项式去乘多项 式的每一项，
再把所得的积相加。③多项式与多项式
相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相
加。
公式两条：平方差公式完全平方公式
整式的除法：①单项式相除，把系数，同底
数幂分别相除后，作为商的因式；对于
只在被除式 里含有的字母，则连同他的
指数一起作为商的一个因式。②多项式
除以单项式，先把这个多项式 的每一项
分别除以单项式，再把所得的商相加。
分解因式：把一个多项式化成几个整式的积< br>的形式，这种变化叫做把这个多项式分
解因式。
方法：提公因式法、运用公式法、分组分解
法、十字相乘法。
分式：①整式A除以整 式B，如果除式B
中含有分母，那么这个就是分式，对于
任何一个分式，分母不为0。②分式的
分子与分母同乘以或除以同一个不等
于0的整式，分式的值不变。
分式的运算：
乘法：把分子相乘的积作为积的分子，把分
母相乘的积作为积的分母。
除法：除以一个分式等于乘以这个分式的倒
数。
加减法：①同分母的分式相加减，分 母不变，
把分子相加减。②异分母的分式先通
分，化为同分母的分式，再加减。
分式 方程：①分母中含有未知数的方程叫分
式方程。②使方程的分母为0的解称为
原方程的增根。
B、方程与不等式
1、方程与方程组
一元一次方程：①在一个方程中，只含有一< br>个未知数，并且未知数的指数是1，这
样的方程叫一元一次方程。②等式两边
同时加上或 减去或乘以或除以（不为0）
一个代数式，所得结果仍是等式。
解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合
并同类项，未知数系数化为1。
二元一次 方程：含有两个未知数，并且所含
未知数的项的次数都是1的方程叫做
二元一次方程。
二元一次方程组：两个二元一次方程组成的
方程组叫做二元一次方程组。
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，
叫做这个二元一次方程的一个解。
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做
这个二元一次方程的解。
解二元一次方程组的方法：代入消元法加
减消元法。
一元二次方程：只有一个未知数，并且未知
数的项的最高系数为2的方程
1）一元二次方程的二次函数的关系
大家已经学过二次函数（即抛物线）了，
对他也 有很深的了解，好像解法，在图象中
表示等等，其实一元二次方程也可以用二次
函数来表示，其 实一元二次方程也是二次函
数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就
构成了一元二次方程了。 那如果在平面直角
坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次
函数中，图象与X轴的交点。也就 是该方程
的解了
2）一元二次方程的解法
大家知道，二次函数有顶点式
（ -b2a,4ac-b
2
4a），这大家要记住，很重要，
因为在上面已经说过了，一 元二次方程也是
二次函数的一部分，所以他也有自己的一个
解法，利用他可以求出所有的一元一 次方程
的解
(1）配方法
利用配方，使方程变为完全平方公式，
在用直接开平方法去求出解
(2)分解因式法
提取公因式，套用公式法，和十字相乘
法。在解一元二次方程的时候也一样，利用
这点 ，把方程化为几个乘积的形式去解
(3)公式法
这方法也可以是在解一元二次方程的
万能方法了，方程的根
X
1
={-b+√[b
2
-4ac)]}2 a，
X
2
={-b-√[b
2
-4ac)]}2a
3）解一元二次方程的步骤：
（1）配方法的步骤：
先把常数项移到方程的右边， 再把二次
项的系数化为1，再同时加上1次项的系数
的一半的平方，最后配成完全平方公式
(2)分解因式法的步骤：
把方程右边化为0，然后看看是否能用
提取公因式，公式 法（这里指的是分解因式
中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可
以化为乘积的形式
(3)公式法
就把一元二次方程的各系数分别代入，
这里二次项的系数为a，一次项 的系数为b，
常数项的系数为c
4）韦达定理
利用韦达定理去了解，韦达定理就是 在
一元二次方程a
2
x+bx+c=0(a≠0)中，二根之
和=-ba，二 根之积=ca
也可以表示为x
1
+x
2
=-ba,x
1< br>x
2
=ca。利
用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各
系数，在题 目中很常用
5）一元一次方程根的情况
利用根的判别式去了解，根的判别式可
在书面上可以写为“△”，读作“diao ta”，而
△=b
2
-4ac，这里可以分为3种情况：
I当△>0时，一元二次方程有2个不相等的
实数根；
II当△=0时，一元二次方程有2个相同的实
数根；
III当△<0时，一元二次 方程没有实数根（在
这里，学到高中就会知道，这里有2个虚数
根）
2、不等式与不等式组
不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫
不等式。②不等 式的两边都加上或减去
同一个整式，不等号的方向不变。③不
等式的两边都乘以或者除以一个正 数，
不等号方向不变。④不等式的两边都乘
以或除以同一个负数，不等号方向相
反。
不等式的解集：①能使不等式成立的未知数
的值，叫做不等式的解。②一个含有未
知数 的不等式的所有解，组成这个不等
式的解集。③求不等式解集的过程叫做
解不等式。
一元一次不等式：左右两边都是整式，只含
有一个未知数，且未知数的最高次数是
1的不等式叫 一元一次不等式。
一元一次不等式组：①关于同一个未知数的
几个一元一次不等式合在一起， 就组成
了一元一次不等式组。②一元一次不等
式组中各个不等式的解集的公共部分，
叫 做这个一元一次不等式组的解集。③
求不等式组解集的过程，叫做解不等式
组。
一元一次不等式的符号方向：
在一元一次不等式中，不像等式那样，
等号是不变的，他是随着你加或乘的运算改
变。
在不等式中，如果加上同一个数（或加
上一个正数），不等式符号不改向；例如：
A> B,A+C>B+C
在不等式中，如果减去同一个数（或加
上一个负数），不等式符号不改向 ；例如：
A>B，A-C>B-C
在不等式中，如果乘以同一个正数，不
等号不改向；例如：A>B，A*C>B*C（C>0）
在不等式中，如果乘以同一个负数，不
等号改向；例如：A>B，A*C如果不等式乘以0，那么不等号改为等
号
所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要
看看题中是否出现一元一次不等式，如果出
现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否
则不等式不成立；
3、函数
变量：因变量，自变量。
在用图象表示变量之间的关 系时，通常
用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方
向的数轴上的点表示因变量。
一次函数：①若两个变量X，Y间的关系式
可以表示成Y=KX+B（B为常数，K不
等于0） 的形式，则称Y是X的一次函
数。②当B=0时，称Y是X的正比例
函数。
一次函数 的图象：①把一个函数的自变量X
与对应的因变量Y的值分别作为点的
横坐标与纵坐标，在直角 坐标系内描出
它的对应点，所有这些点组成的图形叫
做该函数的图象。②正比例函数Y=KX< br>的图象是经过原点的一条直线。③在一
次函数中，当K〈0，B〈O，则经234
象限； 当K〈0，B〉0时，则经124象
限；当K〉0，B〈0时，则经134象限；
当K〉0，B 〉0时，则经123象限。④
当K〉0时，Y的值随X值的增大而增
大，当X〈0时，Y的值随 X值的增大
而减少。
㈡空间与图形
A、图形的认识
1、点，线，面 < br>点，线，面：①图形是由点，线，面构成的。
②面与面相交得线，线与线相交得点。
③点 动成线，线动成面，面动成体。
展开与折叠：①在棱柱中，任何相邻的两个
面的交线叫做棱， 侧棱是相邻两个侧面
的交线，棱柱的所有侧棱长相等，棱柱
的上下底面的形状相同，侧面的形状 都
是长方体。②N棱柱就是底面图形有N
条边的棱柱。
截一个几何体：用一个平面去截一个图形，
截出的面叫做截面。
视图：主视图，左视图，俯视图。
多边形：他们是由一些不在同一条直线上的
线段依次首尾相连组成的封闭图形。
弧、 扇形：①由一条弧和经过这条弧的端点
的两条半径所组成的图形叫扇形。②圆
可以分割成若干个 扇形。
2、角
线：①线段有两个端点。②将线段向一个方
向无限延长就形成了射线 。射线只有一
个端点。③将线段的两端无限延长就形
成了直线。直线没有端点。④经过两点有且只有一条直线。
比较长短：①两点之间的所有连线中，线段
最短。②两点之间线段的 长度，叫做这
两点之间的距离。
角的度量与表示：①角由两条具有公共端点
的射线组 成，两条射线的公共端点是这
个角的顶点。②一度的160是一分，
一分的160是一秒。 < br>角的比较：①角也可以看成是由一条射线绕
着他的端点旋转而成的。②一条射线绕
着他的 端点旋转，当终边和始边成一条
直线时，所成的角叫做平角。始边继续
旋转，当他又和始边重合 时，所成的角
叫做周角。③从一个角的顶点引出的一
条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
平行：①同一平面内，不相交的两条直线叫
做平行线。② 经过直线外一点，有且只
有一条直线与这条直线平行。③如果两
条直线都与第3条直线平行，那 么这两
条直线互相平行。
垂直：①如果两条直线相交成直角，那么这
两条直线互相 垂直。②互相垂直的两条
直线的交点叫做垂足。③平面内，过一
点有且只有一条直线与已知直线 垂直。
垂直平分线：垂直和平分一条线段的直线叫
垂直平分线。
垂直平分线垂直平 分的一定是线段，不
能是射线或直线，这根据射线和直线可以无
限延长有关，再看后面的，垂直 平分线是一
条直线，所以在画垂直平分线的时候，确定
了2点后（关于画法，后面会讲）一定要 把
线段穿出2点。
垂直平分线定理：
性质定理：在垂直平分线上的点到该线段两
端点的距离相等；
判定定理：到线段2端点距离相等的点在这
线段的垂直平分线上
角平分线：把一个角平分的射线叫该角的角
平分线。
定义中有几个要点要注意一下的 ，就是
角的角平分线是一条射线，不是线段也不是
直线，很多时，在题目中会出现直线，这是< br>角平分线的对称轴才会用直线的，这也涉及
到轨迹的问题，一个角个角平分线就是到角
两 边距离相等的点
性质定理：角平分线上的点到该角两边的距
离相等
判定定理：到角的两边距离相等的点在该角
的角平分线上
正方形：一组邻边相等的矩形是正方形
性质：正方形具有平行四边形、菱形、矩形
的一切性质
判定：1、对角线相等的菱形2、邻边相等
的矩形
3、相交线与平行线
角 ：①如果两个角的和是直角,那么称和两
个角互为余角；如果两个角的和是平
角，那么称这两个 角互为补角。②同角
或等角的余角补角相等。③对顶角相
等。④同位角相等内错角相等同旁内< br>角互补，两直线平行，反之亦然。
4、三角形
三角形：①由不在同一直线上的三条线 段首
尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
②三角形任意两边之和大于第三边。三
角形 任意两边之差小于第三边。③三角
形三个内角的和等于180度。④三角形
分锐角三角形直角三 角形钝角三角
形。⑤直角三角形的两个锐角互余。⑥
三角形中一个内角的角平分线与他的
对边相交，这个角的顶点与交点之间的
线段叫做三角形的角平分线。⑦三角形
中，连接一个顶 点与他对边中点的线段
叫做这个三角形的中线。⑧三角形的三
条角平分线交于一点，三条中线交 于一
点。⑨从三角形的一个顶点向他的对边
所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的
线段 叫做三角形的高。⑩三角形的三条
高所在的直线交于一点。
图形的全等：全等图形的形状和大小都相
同。两个能够重合的图形叫全等图形。
全等三角形：①全等三角形的对应边角相
等。
②条件：SSS、AAS、ASA、
SAS、HL。
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等
于斜边的平方，反之亦然。
5、四边形
平行四边形的性质：①两组对边分别平行的
四边形叫做平行四边形。②平行四边形
不相 邻的两个顶点连成的线段叫他的
对角线。③平行四边形的对边对角相
等。④平行四边形的对角线 互相平分。
平行四边形的判定条件：两条对角线互相平
分的四边形、一组对边平行且相等的四
边形、两组对边分别相等的四边形定
义。
菱形：①一组邻边相等的平行四边形是菱< br>形。②领心的四条边相等，两条对角线
互相垂直平分，每一组对角线平分一组
对角。③判 定条件：定义对角线互相
垂直的平行四边形四条边都相等的四
边形。
矩形与正方形： ①有一个内角是直角的平行
四边形叫做矩形。②矩形的对角线相
等，四个角都是直角。③对角线 相等的
平行四边形是矩形。④正方形具有平行
四边形，矩形，菱形的一切性质。⑤一
组 邻边相等的矩形是正方形。
梯形：①一组对边平行而另一组对边不平行
的四边形叫梯形。②两 条腰相等的梯形
叫等腰梯形。③一条腰和底垂直的梯形
叫做直角梯形。④等腰梯形同一底上的< br>两个内角相等，对角线星等，反之亦然。
多边形：①N边形的内角和等于（N-2）180度。②多边心内角的一边与另一边的反
向延长线所组成的角叫做这个多边形
的外角，在每个 顶点处取这个多边形的
一个外角，他们的和叫做这个多边形的
内角和（都等于360度）
平面图形的密铺：三角形，四边形和正六边
形可以密铺。
中心对称图形：①在平面内 ，一个图形绕某
个点旋转180度，如果旋转前后的图形
互相重合，那么这个图形叫做中心对称
图形，这个点叫做他的对称中心。②中
心对称图形上的每一对对应点所连成
的线段都被 对称中心平分。
B、图形与变换：
1、图形的轴对称
轴对称：如果一个图形沿一 条直线折叠后，
直线两旁的部分能够互相重合，那么这
个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做< br>对称轴。
轴对称图形：①角的平分线上的点到这个角
的两边的距离相等。②线段垂直平 分线
上的点到这条线段两个端点的距离相
等。③等腰三角形的“三线合一”。
轴对称的性质：对应点所连的线段被对称轴
垂直平分，对应线段对应角相等。
2、图形的平移和旋转
平移：①在平面内，将一个图形沿着某个方
向移动一定的距离 ，这样的图形运动叫
做平移。②经过平移，对应点所连的线
段平行且相等，对应线段平行且相等 ，
对应角相等。
旋转：①在平面内，将一个图形绕一个定点
沿某个方向转动一个角度 ，这样的图形
运动叫做旋转。②经过旋转，图形商店
每一个点都绕旋转中心沿相同方向转
动了相同的角度，任意一对对应点与旋
转中心的连线所成的角都是旋转角，对
应点到旋转中心 的距离相等。
3、图形的相似
比：①AB=CD，那么AD=BC，反之亦然。
② AB=CD，那么A土BB=C土DD。
③AB=CD=。。。=MN，那么A+C+…
+MB +D+…N=AB。
黄金分割：点C把线段AB分成两条线段
AC与BC，如果ACAB=B CAC，那么
称线段AB被点C黄金分割，点C叫做
线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比（根号5-12）。
相似：①各角对应相等，各边对应成比例的
两个多边形 叫做相似多边形。②相似多
边形对应边的比叫做相似比。
相似三角形：①三角对应相等，三边 对应成
比例的两个三角形叫做相似三角形。②
条件：AAA、SSS、SAS。
相似 多边形的性质：①相似三角形对应高，
对应角平分线，对应中线的比都等于相
似比。②相似多边 形的周长比等于相似
比，面积比等于相似比的平方。
图形的放大与缩小：①如果两个图形不仅 是
相似图形，而且每组对应点所在的直线
都经过同一个点，那么这样的两个图形
叫做位 似图形，这个点叫做位似中心，
这时的相似比又称为位似比。②位似图
形上任意一对对应点到位 似中心的距
离之比等于位似比。
C、图形的坐标
平面直角坐标系：在平面内，两条 互相垂直
且有公共原点的数轴组成平面直角坐
标系。水平的数轴叫做X轴或横轴，铅
直 的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴与Y
轴统称坐标轴，他们的公共原点O称为
直角坐标系的原点。他 们分4个象限。
XA，YB记作（A，B）。
D、证明
定义与命题：①对名称与术 语的含义加以描
述，作出明确的规定，也就是给出他们
的定义。②对事情进行判断的句子叫做< br>命题（分真命题与假命题）。③每个命
题是由条件和结论两部分组成。④要说
明一个命题 是假命题，通常举出一个离
子，使之具备命题的条件，而不具有命
题的结论，这种例子叫做反例 。
公理：①公认的真命题叫做公理。②其他真
命题的正确性都通过推理的方法证实，
经过证明的真命题称为定理。③同位角
相等，两直线平行，反之亦然；SAS、
ASA、SSS ，反之亦然；同旁内角互补，
两直线平行，反之亦然；内错角相等，
两直线平行，反之亦然；三 角形三个内
角的和等于180度；三角形的一个外交
等于和他不相邻的两个内角的和；三角心的一个外角大于任何一个和他不相
邻的内角。④由一个公理或定理直接推
出的定理，叫做 这个公理或定理的推
论。
㈢统计与概率
1、统计
科学记数法：一个大于 10的数可以表示成
A*10N的形式，其中1小于等于A小
于10，N是正整数。
扇形统计图：①用圆表示总体，圆中的各个
扇形分别代表总体中的不同部分，扇形
的大小反映部 分占总体的百分比的大
小，这样的统计图叫做扇形统计图。②
扇形统计图中，每部分占总体的百 分比
等于该部分所对应的扇形圆心角的度
数与360度的比。
各类统计图的优劣：条 形统计图：能清楚表
示出每个项目的具体数目；折线统计
图：能清楚反映事物的变化情况；扇形
统计图：能清楚地表示出各部分在总体
中所占的百分比。
近似数字和有效数字：①测 量的结果都是近
似的。②利用四舍五入法取一个数的近
似数时，四舍五入到哪一位，就说这个< br>近似数精确到哪一位。③对于一个近似
数，从左边第一个不是0的数字起，到
精确到的数 位止，所有的数字都叫做这
个数的有效数字。
平均数：对于N个数X
1
，X
2
…X
N
，我们把
（X
1
+X
2
+…+X
N
）N叫做这个N个数
的算术平均数，记为X（上边一横）。
加权 平均数：一组数据里各个数据的重要程
度未必相同，因而，在计算这组数据的
平均数时往往给每 个数据加一个权，这
就是加权平均数。
中位数与众数：①N个数据按大小顺序排
列， 处于最中间位置的一个数据（或最
中间两个数据的平均数）叫做这组数据
的中位数。②一组数据 中出现次数最大
的那个数据叫做这个组数据的众数。③
优劣：平均数：所有数据参加运算，能< br>充分利用数据所提供的信息，因此在现
实生活中常用，但容易受极端值影响；
中位数：计 算简单，受极端值影响少，
但不能充分利用所有数据的信息；众
数：各个数据如果重复次数大致 相等
时，众数往往没有特别的意义。
调查：①为了一定的目的而对考察对象进行
的全 面调查，称为普查，其中所要考察
对象的全体称为总体，而组成总体的每
一个考察对象称为个体 。②从总体中抽
取部分个体进行调查，这种调查称为抽
样调查，其中从总体中抽取的一部分个< br>体叫做总体的一个样本。③抽样调查只
考察总体中的一小部分个体，因此他的
优点是调查 范围小，节省时间，人力，
物力和财力，但其调查结果往往不如普
查得到的结果准确。为了获得 较为准确
的调查结果，抽样时要主要样本的代表
性和广泛性。
频数与频率：①每个对 象出现的次数为频
数，而每个对象出现的次数与总次数的
比值为频率。②当收集的数据连续取值
时，我们通常先将数据适当分组，然后
再绘制频数分布直方图。
2、概率
可能性：①有些事情我们能确定他一定会发
生，这些事情称为必然事件；有些事情
我们能肯定他 一定不会发生，这些事情
称为不可能事件；必然事件和不可能事
件都是确定的。②有很多事情我 们无法
肯定他会不会发生，这些事情称为不确
定事件。③一般来说，不确定事件发生
的 可能性是有大小的。
概率：①人们通常用1（或100%）来表示
必然事件发生的可能性，用 0来表示不
可能事件发生的可能性。②游戏对双方
公平是指双方获胜的可能性相同。③必
然事件发生的概率为1，记作P（必然事
件）=1；不可能事件发生的概率为0，
记作P（不 可能事件）=0；如果A为不
确定事件，那么0〈P（A）〈1。

二、基本定理
1、过两点有且只有一条直线
2、两点之间线段最短
3、同角或等角的补角相等
4、同角或等角的余角相等
5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂
直
6、直线外一点与直线上各点连接的所有线
段中，垂线段最短
7、平行公理 经过直线外一点，有且只有一
条直线与这条直线平行
8、如果两条直线都和第三条直线平行，这
两条直线也互相平行
9、同位角相等，两直线平行
10、内错角相等，两直线平行
11、同旁内角互补，两直线平行
12、两直线平行，同位角相等
13、两直线平行，内错角相等
14、两直线平行，同旁内角互补
15、定理 三角形两边的和大于第三边
16、推论 三角形两边的差小于第三边
17、三角形内角和定理 三角形三个内角的
和等于180°
18、推论1 直角三角形的两个锐角互余
19、推论2 三角形的一个外角等于和它不
相邻的两个内角的和
20、推论3 三角形的一个外角大于任何一
个和它不相邻的内角
21、全等三角形的对应边、对应角相等
22、边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角
对应相等的两个三角形全等
23、角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边
对应相等的 两个三角形全等
24、推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对
应相等的两个三角形全等
25、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两
个三角形全等
26、斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条
直角边对应相等的两个直角三角形全
等
27、定理1 在角的平分线上的点到这个角
的两边的距离相等
28、定理2 到一个角的两边的距离相同的
点，在这个角的平分线上
29、角的平分线是到角的两边距离相等的所
有点的集合
30、等腰三角形的性质定理 等腰三角形的
两个底角相等 (即等边对等角）
31、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分
底边并且垂直于底边
32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中
线和底边上的高互相重合
33、推论3 等边三角形的各角都相等，并
且每一个角都等于60°
34、等腰三角形的判定定理 如果一个三角
形有两个角相等，那么这两个角所对的
边也相等（等角对等边）
35、推论1 三个角都相等的三角形是等边
三角形
36、推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形
是等边三角形
37、在直角三角形中，如果一个锐角等于
30°那么它所对的直角边等于斜边的一
半
38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的
一半
39、定理 线段垂直平分线上的点和这条线
段两个端点的距离相等
40、逆定理 和一条线段两个端点距离相等
的点，在这条线段的垂直平分线上
41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点
距离相等的所有点的集合
42、定理1 关于某条直线对称的两个图形
是全等形
43、定理 2 如果两个图形关于某直线对称，
那么对称轴是对应点连线的垂直平分
线
44、定理3 两个图形关于某直线对称，如
果它们的对应线段或延长线相交，那么
交点在对称轴上
45、逆定理 如果两个图形的对应点连线被
同一条直线垂直平分，那么这两个图形
关于这条直线对称
46、勾股定理 直角三角形两直角边a、b的
平方和、等于斜边c的平方，即a
2< br>+b
2
=c
2

47、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边
长a、b、c有关系a
2
+b
2
=c
2
，那么这个
三角形是直角三角形
48、定理 四边形的内角和等于360°
49、四边形的外角和等于360°
50、多边形内角和定理 n边形的内角的和
等于（n-2）×180°
51、推论 任意多边的外角和等于360°
52、平行四边形性质定理1 平行四边形的
对角相等
53、平行四边形性质定理2 平行四边形的
对边相等
54、推论 夹在两条平行线间的平行线段相
等
55、平行四边形性质定理3 平行四边形的
对角线互相平分
56、平行四边形判定定理1 两组对角分别
相等的四边形是平行四边形
57、平行四边形判定定理2 两组对边分别
相等的四边 形是平行四边形
58、平行四边形判定定理3 对角线互相平
分的四边形是平行四边形
59、平行四边形判定定理4 一组对边平行
相等的四边形是平行四边形
60、矩形性质定理1 矩形的四个角都是直
角
61、矩形性质定理2 矩形的对角线相等
62、矩形判定定理1 有三个角是直角的四
边形是矩形
63、矩形判定定理2 对角线相等的平行四
边形是矩形
64、菱形性质定理1 菱形的四条边都相等
65、菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂
直，并且每一条对角线平分一组对角
66、菱形面积=对角线乘积的一半，即S=
（a×b）÷2
67、菱形判定定理1 四边都相等的四边形
是菱形
68、菱形判定定理2 对角线互相垂直的平
行四边形是菱形
69、正方形性质定理1 正方形的四个角都
是直角，四条边都相等
70、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线
平分一组对角
71、定理1 关于中心对称的两个图形是全
等的
72、定理2 关于中心对称的两个图形，对
称点连线都经过对称中心，并且被对称
中心平分
73、逆定理 如果两个图形的对应点连线都
经过某一点，并且被这一点平分，那么
这两个图形关于这一点对称
74、等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底
上的两个角相等
75、等腰梯形的两条对角线相等
76、等腰梯形判定定理 在同一底上的两个
角相等的梯 形是等腰梯形
77、对角线相等的梯形是等腰梯形
78、平行线等分线段定理 如果一组平行线
在一条直线上截得的线段相等，那么在
其他直线上截得的线段也相等
79、推论1 经过梯形一腰的中点与底平行
的直线，必平分另一腰
80、推论2 经过三角形一边的中点与另
一边平行的直线，必平分第三边

81、三角形中位线定理 三角形的中位线平
行于第三边，并且等于它的一半
82、梯形中位线定理 梯形的中位线平行于
两底，并且等于两底和的一半 L=（a+b）
÷2 S=L×h
83、(1)比例的基本性质：
如果a:b=c:d,那么ad=bc
如果 ad=bc ,那么a:b=c:d
84、(2)合比性质：
如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／
d
85、(3)等比性质：
如果a／b=c／d=…=m／
n(b+d+…+n≠0),
那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b
86、平行线分线段成比例定理 三条平行线
截两条直线，所得的对应线段成比例
87、推论 平行于三角形一边的直线截其他
两边（或两边的延长线），所得的对应
线段成比例
88、定理 如果一条直线截三角形的两边
（或两边的延长线）所得的对应线段成
比 例，那么这条直线平行于三角形的第
三边
89、平行于三角形的一边，并且和其他两边
相交的直线， 所截得的三角形的三边与
原三角形三边对应成比例
90、定理 平行于三角形一边的直线和其他
两边（或两边的延长线）相交，所构成
的三角形与原三角形相似
91、相似三角形判定定理1 两角对应相等，
两三角形相似（ASA）
92、直角三角形被斜边上的高分成的两个直
角三角形和原三角形相似
93、判定定理2 两边对应成比例且夹角相
等，两三角形相似（SAS）
94、判定定理3 三边对应成比例，两三角
形相似（SSS）
95、定理 如果一个直角三角形的斜边和一
条直角边与另一个直角三角形的斜边和
一条直角边对应成比例， 那么这两个直
角三角形相似
96、性质定理1 相似三角形对应高的比，
对应中线的比与对应角平分线的比都
等于相似比
97、性质定理2 相似三角形周长的比等于
相似比
98、性质定理3 相似三角形面积的比等于
相似比的平方
99、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦
值，任意锐角的余弦值等于它的余角的
正弦值
100、任意锐角的正切值等于它的余角的 余
切值，任意锐角的余切值等于它的余
角的正切值
101、圆是定点的距离等于定长的点的集合
102、圆的内部可以看作是圆心的距离小于
半径的点的集合
103、圆的外部可以看作是圆心的距离大于
半径的点的集合
104、同圆或等圆的半径相等
105、到定点的距离等于定长的点的轨迹，
是以定点为圆心，定长为半径的圆
106、和已知线段两个端点的距离相等的点
的轨迹，是着条线段的垂直平分线
107、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，
是这个角的平分线
108、到两条 平行线距离相等的点的轨迹，
是和这两条平行线平行且距离相等的
一条直线
109、定理 不在同一直线上的三点确定一个
圆。
110、垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦
并且平分弦所对的两条弧
111、推论1
①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分
弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平
分弦，并且平分弦所对的另一条弧
112、推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等
113、圆是以圆心为对称中心的中心对称图
形
114、定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角
所对的弧相等，所对的弦相等，所对
的弦的弦心距相等
115、推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心
角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距
中 有一组量相等那么它们所对应的其
余各组量都相等
116、定理 一条弧所对的圆周角等于它所对
的圆心角的一半
117、推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的
弧也相等
118、推论2 半圆（或直径）所对的圆周角
是直角；90°的圆周角所对的弦是直径
119、推论3 如果三角形一边上的中线等于
这边的一半，那么这个三角形是直角
三角形
120、定理 圆的内接四边形的对角互补，
并且任何一个外角都等于它的内对角
121、①直线L和⊙O相交 d﹤r
②直线L和⊙O相切 d=r
③直线L和⊙O相离 d﹥r
122、切线的判定定理 经过半径的外端并且
垂直于这条半径的直线是圆的切线
123、切线的性质定理 圆的切线垂直于经过
切点的半径
124、推论1 经过圆心且垂直于切线的直线
必经过切点
125、推论2 经过切点且垂直于切线的直线
必经过圆心
126、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切
线，它们的切线长相等圆心和这一点
的连线平分两条切线的夹角
127、圆的外切四边形的两组对边的和相等
128、弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对
的圆周角
129、推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，
那么这两个弦切角也相等
130、相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交
点分成的两条线段长的积相等
131、推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦
的一半是它分直径所成的两条线段的
比例中项
132、切割线定理 从圆外一点引圆的切线和
割线，切线长是这点到割线与圆交点
的两条线段长的比例中项
133、推论 从圆外一点引圆的两条割线，这
一点到每条 割线与圆的交点的两条
线段长的积相等
134、如果两个圆相切，那么切点一定在连
心线上
135、①两圆外离 d﹥R+r
②两圆外切 d=R+r
③两圆相交 R-r﹤d﹤R+r(R﹥r)
④两圆内切 d=R-r(R﹥r)
⑤两圆内含 d﹤R-r(R﹥r)
136、定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆
的公共弦
137、定理 把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这
个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线
的交点为顶点的多边形是这个圆的
外切正n边形
138、定理 任何正多边形都有一个外接圆
和一个内切圆，这两个圆是同心圆
139、正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°
／n
140、定理 正n边形的半径和边心距把正n
边形分成2n个全等的直角三角形
141、正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表
示正n边形的周长
142、正三角形面积√3a／4 a表示边长
143、如果在一个顶点周围有k个 正n边形
的角，由于这些角的和应为360°，因
此k×(n-2)180°／n=360°化 为（n-2）
(k-2)=4
144、弧长计算公式：L=n兀R／180
145、扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／
360=LR／2
146、内公切线长= d-(R-r) 外公切线长=
d-(R+r)

三、常用数学公式
公式分类 公式表达
式
乘法与因式分解
a
2
-b
2
=(a+b)(a-b)
a
3
+b
3
=(a+b)(a
2
-ab+b
2
)
2
a
3
-b
3
=(a-b(a
2
+
ab+b)

三角不等式 |a+b|≤|a|+|b|
|a-b|≤|a|+|b|
|a|≤b<=>-b≤a≤
b
|a-b|≥|a|-|b|
-|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解
-b+√(b
2
-4ac)2a
-b-√(b
2
-4ac)2a





根与系数的关系 X
1
+X
2
=-ba
X
1
*X
2
=ca 注：
韦达定理
判别式
b
2
-4ac=0 注：方程有两个相等的实根
b
2
-4ac>0 注：方程有两个不等的实根
b
2
-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复
数根
某些数列前n项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)2
1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n
2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)
1
2
+ 2
2
+3
2
+4
2
+5
2
+6
2
+7
2
+8
2
+…+n
2
=n(n+1)(2n< br>+1)6
3

1
3
+2+3
3
+4
3
+5
3
+6
3
+…n
3
=n
2
(n+1)
2
4
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n +1)=n(n
+1)(n+2)3

正弦定理 asinA=bsinB=csinC=2R
注：其中 R 表示三角形的外接圆半径

余弦定理 b
2
=a
2
+c
2
-2accosB
注：角B是边a和边c的夹角

四、基本方法
1、配方法
所谓 配方，就是把一个解析式利用恒等
变形的方法，把其中的某些项配成一个或几
个多项式正整数次 幂的和形式。通过配方解
决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最
多的是配成完全平方式。配 方法是数学中一
种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非
常广泛，在因式分解、化简根式、解 方程、
证明等式和不等式、求函数的极值和解析式
等方面都经常用到它。
2、因式分解法
因式分解，就是把一个多项式化成几个
整式乘积的形式。因式分 解是恒等变形的基
础，它作为数学的一个有力工具、一种数学
方法在代数、几何、三角等的解题 中起着重
要的作用。因式分解的方法有许多，除中学
课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组
分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项
添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法
换元法是数学中一个非常重要而且应
用十分广泛的解题方法。我们通 常把未知数
或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比
较复杂的数学式子中，用新的变元去代替 原
式的一个部分或改造原来的式子，使它简
化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理
一元二次方程ax
2
+bx+c=0（a、b、c 属
于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用
来判定根的性质，而且作为一种解题方 法，
在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研
究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛< br>的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一
个根，求另一根；已知两个数的和与积， 求
这两个数等简单应用外，还可以求根的对称
函数，计论二次方程根的符号，解对称方程
组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都
有非常广泛的应用。
5、待定系数法
在解数学问题时，若先判断所求的结果
具有某种确定的形式，其中含有某些待定的
系数，而后根 据题设条件列出关于待定系数
的等式，最后解出这些待定系数的值或找到
这些待定系数间的某种 关系，从而解答数学
问题，这种解题方法称为待定系数法。它是
中学数学中常用的方法之一。
6、构造法
在解题时，我们常常会采用这样的方
法，通过对条件和结论的分析，构造 辅助元
素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一
个等式、一个函数、一个等价命题等，架起
一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得
以解决，这种解题的数学方法，我们称为构
造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、
几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题
的解决 。
7、反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一
个与命题的结论相反的假设， 然后，从这个
假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从
而否定相反的假设，达到肯定原命题正 确的
一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结
论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反< br>面不只一种)。用反证法证明一个命题的步
骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结
论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出
反设，掌握一些常用的互为否定的表述形 式
是有必要的，例如：是、不是；存在、不存
在；平行于、不平行于；垂直于、不垂直于；等于、不等于；大(小)于、不大(小)于；都
是、不都是；至少有一个、一个也没有；至
少有n个、至多有(n一1)个；至多有一个、
至少有两个；唯一、至少有两个。
归谬是反证 法的关键，导出矛盾的过程
没有固定的模式，但必须从反设出发，否则
推导将成为无源之水，无 本之木。推理必须
严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知
条件矛盾；与已知的公理、定义、 定理、公
式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
8、面积法
平面几何中讲的面积公式以 及由面积
公式推出的与面积计算有关的性质定理，不
仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几
何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积
关系来证明或计算平面几何题的方法，称为
面积方法，它是几何中的一种常用方法。
用归纳法或分析法证明平面几何题，其
困难在添置辅 助线。面积法的特点是把已知
和未知各量用面积公式联系起来，通过运算
达到求证的结果。所以 用面积法来解几何
题，几何元素之间关系变成数量之间的关
系，只需要计算，有时可以不添置补 助线，
即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。
9、几何变换法
在数学问题的研究 中，常常运用变换
法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得
到解决。所谓变换是一个集合的任 一元素到
同一集合的元素的一个一一映射。中学数学
中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看
来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几
何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，
也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。
将图形从相等静止条件下的研究和运动中
的研究结 合起来，有利于对图形本质的认
识。
几何变换包括：（1）平移；（2）旋转；
（3）对称。
10、客观性题的解题方法
选择题是给出条件和结论，要求根据一
定的关系找出正确答案的一类题型。选择题
的题 型构思精巧，形式灵活，可以比较全面
地考察学生的基础知识和基本技能，从而增
大了试卷的容 量和知识覆盖面。
填空题是标准化考试的重要题型之一，
它同选择题一样具有考查目标明确， 知识复
盖面广，评卷准确迅速，有利于考查学生的
分析判断能力和计算能力等优点，不同的是< br>填空题未给出答案，可以防止学生猜估答案
的情况。
要想迅速、正确地解选择题、填空 题，
除了具有准确的计算、严密的推理外，还要
有解选择题、填空题的方法与技巧。下面通过实例介绍常用方法。
（1）直接推演法：直接从命题给出的条件
出发，运用概念、 公式、定理等进行推理或
运算，得出结论，选择正确答案，这就是传
统的解题方法，这种解法叫 直接推演法。
（2）验证法：由题设找出合适的验证条件，
再通过验证，找出正确答案，亦可 将供选择
的答案代入条件中去验证，找出正确答案，
此法称为验证法（也称代入法）。当遇到定
量命题时，常用此法。
（3）特殊元素法：用合适的特殊元素（如
数或图形）代入题 设条件或结论中去，从而
获得解答。这种方法叫特殊元素法。
（4）排除、筛选法：对于正确 答案有且只
有一个的选择题，根据数学知识或推理、演
算，把不正确的结论排除，余下的结论再 经
筛选，从而作出正确的结论的解法叫排除、
筛选法。
（5）图解法：借助于符合题 设条件的图形
或图象的性质、特点来判断，作出正确的选
择称为图解法。图解法是解选择题常用 方法
之一。
（6）分析法：直接通过对选择题的条件和
结论，作详尽的分析、归纳和 判断，从而选
出正确的结果，称为分析法。


初中几何常见辅助线作法歌诀汇编[转]

人说几何很困难，难点就在辅助线。
辅助线，如何添？把握定理和概念。
还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。
图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆。
如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。



初中数学公式大全
几何公式：
1、多边形内角和公 式：n边形的内角
和等于(n－2)180?（n≥3，n是正整数），
外角和等于360?
2、平行线分线段成比例定理：
（1）平行线分线段成比例定理：三条平行
线截两条直线，所得的对应线段成比例。
（2）推论：平行于三角形一边的直线截其
他两边（或两边的延长线），所得的对应线
段成比 例。
4、圆的有关性质：

（1）垂径定理：如果一条直线具备以下五
个性质中的?任意两个性质：

①经过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分
弦所对的劣弧；?⑤平分弦所对的优弧，那
么这条直 线就具有另外三个性质．注：具备
①，③时，弦不能是直径．

（2）两条平行弦所夹的弧相等．

（3）圆心角的度?数等于它所对的弧的度
数．

（4）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆
心角的一半．

（5）圆周?角等于它所对的弧的度数的一
半．

（6）同弧或等?弧所对的圆周角相等．

（7）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对
的弧相等．

（8）90?的圆 周角?所对的弦是直径，反之，
直径所对的圆周角是90?，直径是最长的弦．

（9）圆内接四边形的对角互补．

5、三角形的内心与外心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心．三角形的内心就
是三内角角平分线 的交点．三?角形的外接
圆的圆心叫做三角形的外心．三角形的外心
就是三边中垂线的交点．

常见结论：（1）Rt△ABC的三条边分别为：
a、b、c（c为斜边），则它的 内切圆的半
径? （图6）；

（2）△ABC的周长为（图7-0），面积为S，
其内切圆的半径为r，则（图7）；


＊6、弦切角定理及其推论：

（1）弦切角：顶点在圆上， 并且一边和圆
相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。如
图：∠PAC为弦切角。

（2）弦切角定理：弦切角度数等于它所夹
的弧的度数的一半。

如果AC是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，A为
切点，则（图8）

推论：弦切角等于所夹弧所对的圆周角（作
用证明角相等）

如果AC是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，A为
切点，则（图9）（图10）


＊7、相交弦定理、割线定理、切割线定理：

相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分
成的两条线段长的积相等。 如图①，即：
PA·PB = PC·PD

割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线，
这点到每条割线与圆交点的两条线段长的
积相等。

如图②，即：PA·PB = PC·PD

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和 割
线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线
段长的比例中项。如图③，即：PC2 = PA·PB

（图11）

8、面积公式：

①S正△＝?（图12）?×(边长)2．

? ②S平行四边形＝底×高．

③S菱形＝底×高＝?（图13）?×(对角线
的积)，（图14）?

④S圆＝πR2．

⑤l圆周长＝2πR．

⑥弧长L＝?（图15）?．

? ⑦（图16）

⑧S圆柱侧＝底面周长×高＝2πrh，S全面
积＝S侧＋S底＝2πrh＋2πr2

⑨S圆锥侧＝? ?×底面周长×母线＝πrb，
S全面积＝S侧＋S底＝πrb＋πr2

数学公式

1、整数(包括：正整数、0、负整数)和分数
(包括：有限小数和无限环循小数) 都是有理
数．如：－3，? （图17）?，0.231，0.737373…，
?（图18） ?，?（图19）?．?无限不环循小
数叫做无理数．?如：π，－（图20）?，
0.101 0010001…(两个1之间依次多1个
0)．有理数和无理数统称为实数．

2 、?绝对值：a≥0?（图21）?丨a丨＝a；
?a≤0（图21）??丨a丨＝－a．如：丨－?< br>（图22）?丨＝?（图22）?；丨3.14－π
丨＝π－3.14．

3 、一个近似数，从左边笫一个不是0的数
字起，到最末一个数字止，所有的数字，都
叫做这个? 近似数的有效数字．如：0.05972
精确到0.001得0.060，结果有两个有效数
字 6，0．

4、把一个数写成±a×10n?的形式(其中1
≤a＜10，n是整数 )，这种记数法叫做科学
记数法．如：－40700＝－4.07×105，
0.000043 ＝?4.3×10－5．

5、乘法公式(反过来就是因式分解的公式)：
①(a＋ b)(a－b)＝a2－b2．②(a±b)2＝a2
±2ab＋b2．③?(a＋b)(a2－ab＋ b2)＝a3
＋b3．④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2
＋b2＝(a＋ b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2
－4ab．

6、幂的运算性质：① ?am×an＝am＋n．②
am÷an＝am－n．③(am)n＝amn．④(ab)n
＝ anbn．⑤(（图23）?)n＝?n?．

⑥a－n＝（图24），特别：(?（图23 ）?)
－n＝(?（图25）?)n．?⑦?a0＝1(a≠0)．如：
a3×a2＝a5，a 6÷a2＝a4，(a3)2＝a6，(3a3

?)3＝27a9，(－3)－1＝－?（图 26）?，5
－2＝?（图27）?＝?（图28）?，?(（图
29）?)－2＝(?（图3 0）?)2＝?（图31）?，
(－3.14)?＝1，?(??（图22）－（图18）
?) 0＝1．

7、二次根式：①?(?（图32）?)2＝a?(a≥
0)，②?（图 34）?＝丨a丨，③?（图35-0）
?＝?（图32）?×?（图33）?，④?（图35）
?＝?（图36）?(a＞0，b≥0)?．如：①?(3
?（图20）?)2＝45．②?（图37 ）?＝6．③
a＜0时，?（图38）?＝－a??（图33）．④
?（图39）?的平方根＝ 4的平方根＝±2．（平
方根、立方根、算术平方根的概念）

8、一元二次方程：对于方程：ax2＋bx＋c
＝0：

①求根公式是x＝?（图40）?，其中?△＝
b2－4ac叫做根?的判别式．

当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；

当△＝0时，方程有两个相等的实数根；

当?△＜0时，方程没有实数根．注意：当
△≥0时，方程有实数根．

② 若方程有两个实数根x1和x2，并且二次
三项式ax2＋bx＋c可分解为a(x－x1)(x－x2)．

③以a和b为根的一?元二次方程是?x2－(a
＋b)x＋ab＝0．

9、一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条
直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标即一
次函数在y轴上的截距)．当k＞0时，y?
随x的增大而增大(直线从左向右上升)；当
k＜ 0时，y随x的增大而减小(直线从左向
右下降)．特别：当b＝0时，y＝kx?(k≠0)
又叫做正比例函数(y与x成正比例)，图象
必过原点．

10、反比例函数y＝? ?(k≠0)的图象叫做
双曲线．当k＞0时，双曲线在一、三象限(在
每一象限内，从左向右 降)；当k＜0时，双
曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向
右上升)．因此，它的增减性 与一次函数相
反．

11、统计初步：（1）概念：①所要考察的
对象的全 体叫做总体，其中每一个考察对象
叫做个体．从总体中抽取的一部份个体叫做
总体的一个样本， 样本中个体的数目叫做样
本容量．②在一组数据中，出现次数最多的
数(有时不止一个)，叫做 这组数据的众
数．③将一组数据按大小顺序排列，把处在
最中间的一个数(或两个数的平均数) 叫做
这组数据的中位数．

（2）公式：设有n个数?x1，x2，…，xn?，
那么：

①平均数为：（图41）；

②极差：

用一组数据的最大值减 去最小值所得的差
来反映这组数据的变化范围，用这种方法得
到的差称为极差，即：极差=最大 值-最小值；

③方差：

数据（图44），则 =（图42）

标准差：方差的算术平方根.

数据（图45），则 =（图43）

一组数据的方差越大，这组数据的波动越
大，越不稳定。

12、频率与概率：

（1）频率= ，各小组的频数之和等于总数，
各小 组的频率之和等于1，频率分布直方图
中各个小长方形的面积为各组频率。

（2）概率

①如果用P表示一个事件A发生的概率，则
0≤P（A）≤1；

P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；

②在具体情境中了解概率的意义， 运用列举
法（包括列表、画树状图）计算简单事件发
生的概率。

③大量的重复实验时频率可视为事件发生
概率的估计值；

13、锐角三角函数：

①设∠A是Rt△ABC的任一锐角，则∠A的
正弦：sinA＝ ?，∠A的余弦：cosA＝? ?，
∠A的正切：tanA＝? ．并且sin2A＋cos2A
＝1．

0＜sinA＜1，?0＜cosA＜1， ?tanA＞0．∠A
越大，∠A的正弦和正切值越大，余弦值反
而越小．

②余角公式：sin(90?－A)＝cosA，?cos(90
?－A)＝sinA．

h

l

α

③特殊角的三角函数值：sin30?＝cos60?
＝? ?，sin45?＝cos45?＝? ?，sin60?＝
cos30?＝? ?， tan30?＝ ，tan45?＝1，
tan60??＝ ．

④斜坡的坡度：?i＝? ?＝? ?．设坡角为α，
则i＝tanα＝? ?．

14、平面直角坐标系中的有关知识：

（1）对称性：若直角坐标系内一点P（a ，
b），则P关于x轴对称的点为P1（a，－b），
P关于y轴对称的点为P2（－a，b） ，关于
原点对称的点为P3（－a，－b）.

（2）坐标平移：若直角坐标系内一 点P（a，
b）向左平移h个单位，坐标变为P（a－h，
b），向右平移h个单位，坐标变为 P（a＋
h，b）；向上平移h个单位，坐标变为P（a，
b＋h），向下平移h个单位，坐标 变为P（a，
b－h）.如：点A（2，－1）向上平移2个
单位，再向右平移5个单位，则坐 标变为A
（7，1）.

15、二次函数的有关知识：

1.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫
做 的二次函数.

2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶
点.

① 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，
开口向上；当 时，开口向下；

相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于 轴（或重合）的直线记作 .特别
地， 轴记作直线 .

几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标



当 时

开口向上

当 时

开口向下
（ 轴）
（0,0）


（ 轴）
(0, )



( ,0)



( , )



( )



4.求抛物线的顶点、对称轴的方法

（1）公式法： ，∴顶点是 ，对称轴是直
线 .

（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线
的解析式化为 的形式，得到顶点为( , )，
对称轴是直线 .

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是
以对称 轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物
线的交点是顶点。

若已知抛物线上两点 （及y值相
同），则对称轴方程可以表示为：

9.抛物线 中， 的作用

（1） 决定开口方向及开口大小，这与 中
的 完全一样.

（2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置.
由于抛物线 的对称轴是直线

，故：① 时，对称轴为 轴；② （即 、 同
号）时，对称轴在 轴左侧；③ （即 、 异
号）时，对称轴在 轴右侧.

（3） 的大小决定抛物线 与 轴交点的位
置.

当 时， ，∴抛物线 与 轴有且只有
一个交点（0， ）：

① ，抛物线经过原点; ② ,与 轴交
于正半轴；③ ,与 轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，
仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .

11.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式： .已知图像上三点或三对 、
的值，通常选择一般式.

（2）顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，
通常选择顶点式.

（3）交点式：已知图像与 轴的交点坐
标 、 ，通常选用交点式： .

12.直线与抛物线的交点

（1） 轴与抛物线 得交点为(0, ).

（2）抛物线与 轴的交点

二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐
标 、 ，是对应一元二次方程

的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可
以由对应的一元二次方程的根的判别式判
定：

①有两个交点 ( ) 抛物线与 轴相
交；

②有一个交点（顶点在 轴上） ( )
抛物线与 轴相切；

③没有交点 ( ) 抛物线与 轴相离.

（3）平行于 轴的直线与抛物线的交点

同（2）一样可能有0个交点、1个交
点、2个交点.当有2个交点时，两交点的
纵坐标相等， 设纵坐

标为 ，则横坐标是 的两个实数根.

（4）一次函数 的图像 与二次函数 的图像
的交点，由方程组 的解的数目来确定：①
方程组有两组不同的解时 与 有两个交点;
②方

程组只有一组解时 与 只有一个交点；③方
程组无解时 与 没有交点.

（5）抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛
物线 与 轴两交点为 ，则



乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b)
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤
|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)2a
-b-√(b2-4ac)2a

根与系数的关系 X1+X2=-ba
X1*X2=ca 注：韦达定理

判别式

b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根

b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根

b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭
复数根


四、 不等式

1、若n为正奇数，由 可推出 吗？ （ 能 ）

若n为正偶数呢？ （ 均为非负数时才能）

2、同向不等式能相减，相除吗 （不能）

能相加吗？ （ 能 ）

能相乘吗？ （能，但有条件）

3、两个正数的均值不等式是：

三个正数的均值不等式是：

n个正数的均值不等式是：

4、两个正数 的调和平均数、几何平均数、
算术平均数、均方根之间的关系是

6、 双向不等式是：

左边在 时取得等号，右边在 时取得等号。

五、 数列

1、等差数列的通项公式是 ，前n项和公式
是： = 。

2、等比数列的通项公式是 ，

前n项和公式是：

3、当等比数列 的公比q满足 <1时， =S= 。
一般地，如果无穷数列 的前n项和的极限
存在，就把这个极限称为这个数列的各项和
（或所有项的和），用S表示，即S= 。

4、若m、n、p、q∈N，且 ，那么：当数列
是等差数列时，有 ；当数列 是等比数列时，
有 。

5、 等差数列 中，若Sn=10，S2n=30，则
S3n=60；

6、等比数列 中，若Sn=10，S2n=30，则
S3n=70；

六、 复数

1、 怎样计算？（先求n被4除所得的余
数， ）

2、 是1的两个虚立方根，并且：

3、 复数集内的三角形不等式是： ，其中
左边 在复数z1、z2对应的向量共线且反向
（同向）时取等号，右边在复数z1、z2对
应的向量 共线且同向（反向）时取等号。

4、 棣莫佛定理是：

5、 若非零复数 ，则z的n次方根有n个，
即：

它们在复平面内对应的点在分布上有什么
特殊关系？

都位于圆心在原点，半径为 的圆上，并且
把这个圆n等分。

6、 若 ，复数z1、z2对应的点分别是A、
B，则△AOB（O为坐标原点）的面积是 。

7、 = 。

8、 复平面内复数z对应的点的几个基本轨
迹：

① 轨迹为一条射线。

② 轨迹为一条射线。

③ 轨迹是一个圆。

④ 轨迹是一条直线。

⑤ 轨迹有三种可能情形：a)当 时，轨迹为
椭圆；b)当 时，轨迹为一条线段；c)当 时，
轨迹不存在。

⑥ 轨迹有三种可能情形：a)当 时，轨迹为
双曲线；b) 当 时，轨迹为两条射线；c) 当
时，轨迹不存在。

七、 排列组合、二项式定理

1、 加法原理、乘法原理各适用于什么情
形？有什么特点？

加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关。

2、排列数公式是： = = ；

排列数与组合数的关系是：

组合数公式是： = = ；

组合数性质： = + =

= =

3、 二项式定理： 二项展开式的通项公式：

八、 解析几何

1、 沙尔公式：

2、 数轴上两点间距离公式：

3、 直角坐标平面内的两点间距离公式：

4、 若点P分有向线段 成定比λ，则λ=

5、 若点 ，点P分有向线段 成定比λ，则：
λ= = ；

=

=

若 ，则△ABC的重心G的坐标是 。

6、求直线斜率的定义式为k= ，两点式为
k= 。

7、直线方程的几种形式：

点斜式： ， 斜截式：

两点式： ， 截距式：

一般式：

经过两条直线 的交点的直线系方程是：

8、 直线 ，则从直线 到直线 的角θ满足：

直线 与 的夹角θ满足：

直线 ，则从直线 到直线 的角θ满足：

直线 与 的夹角θ满足：

9、 点 到直线 的距离：

10、两条平行直线 距离是

11、圆的标准方程是：

圆的一般方程是：

其中，半径是 ，圆心坐标是

思考：方程 在 和 时各表示怎样的图形？

12、若 ，则以线段AB为直径的圆的方程是

经过两个圆

，

的交点的圆系方程是：

经过直线 与圆 的交点的圆系方程是：

13、圆 为切点的切线方程是

一般地，曲线 为切点的切线方程是： 。例
如，抛物线 的以点 为切点的切线方程
是： ，即： 。

注意： 这个结论只能用来做选择题或者填空
题，若是做解答题，只能按照求切线方程的
常规过程去做。

14、研究圆与直线的位置关系最常用的方法
有两种，即：


①判别式法：Δ>0，=0，<0，等价于直线与
圆相交、相切、相离；

②考查圆心到直线的距离与半径的大小关
系：距离大于半径、等于半径、小于半径，
等价于直线与圆相离、相切、相交。

15、抛物线标准方程的四种形式是：

16、抛物线 的焦点坐标是： ，准线方程
是： 。

若点 是抛物线 上一点，则该点到抛物线的
焦点的距离（称为焦半径）是： ，过该抛
物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦（称
为通径）的长是： 。

17、椭圆标准方程的两种形式是： 和

。

18、椭圆 的焦点坐标是 ，准线方程是 ，
离心率是 ，通径的长是 。其中 。

19、若点 是椭圆 上一点， 是其左、右焦
点，则点P的焦半径的长是 和 。

20、双曲线标准方程的两种形式是： 和

。

21、双曲线 的焦点坐标是 ，准线方程是 ，
离心率是 ，通径的长是 ，渐近线方程是 。
其中 。

22、与双曲线 共渐近线的双曲线系方程
是 。与双曲线 共焦点的双曲线系方程是 。

23、若直线 与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，
B(x2，y2)，则弦长为 ；

若直线 与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，
B(x2，y2)，则弦长为 。

24、圆锥曲线的焦参数p的几何意义是焦点
到准线的距离，对于椭圆和双曲线都有： 。

25、平移坐标轴，使新坐标系的原点 在原
坐标系下的坐标是（h，k），若点P在原坐
标系下的坐标是 在新坐标系下的坐标是 ，
则 = ， = 。

九、 极坐标、参数方程

1、 经过点 的直线参数方程的一般形式
是： 。

2、 若直线 经过点 ，则直线参数方程的标
准形式是： 。其中点P对应的参数t的几
何意义是：有向线段 的数量。

若点P1、P2、P是直线 上的点，它们在上
述参数方程中对应的参数分别是 则： ；当
点P分有向线段 时， ；当点P是线段P1P2
的中点时， 。

3、圆心在点 ，半径为 的圆的参数方程
是： 。

3、 若以直角坐标系的原点为极点，x轴正
半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为
直角坐标为 ，则 ， ， 。

4、 经过极点，倾斜角为 的直线的极坐标
方程是： ，

经过点 ，且垂直于极轴的直线的极坐标方
程是： ，

经过点 且平行于极轴的直线的极坐标方程
是： ，

经过点 且倾斜角为 的直线的极坐标方程
是： 。

5、 圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方
程是 ；

圆心在点 的圆的极坐标方程是 ；

圆心在点 的圆的极坐标方程是 ；

圆心在点 ，半径为 的圆的极坐标方程是 。

6、 若点M 、N ，则 。

十、 立体几何

1、求二面角的射影公式是 ，其中各个符号
的含义是： 是二面角的一个面内图形F的
面积， 是图形F在二面角的另一个面内的
射影， 是二面角的大小。

2、若直线 在平面 内的射影是直线 ，直线
m是平面 内经过 的斜足的一条直线， 与
所成的角为 ， 与m所成的角为 , 与m所
成的角为θ，则这三个角之间的关系是 。

3、体积公式：

柱体： ，圆柱体： 。

斜棱柱体积： （其中， 是直截面面积， 是
侧棱长）；

锥体： ，圆锥体： 。

台体： ， 圆台体：

球体： 。

4、 侧面积：

直棱柱侧面积： ，斜棱柱侧面积： ；

正棱锥侧面积： ，正棱台侧面积： ；

圆柱侧面积： ，圆锥侧面积： ，

圆台侧面积： ，球的表面积： 。

5、几个基本公式：

弧长公式： （ 是圆心角的弧度数， >0）；

扇形面积公式： ；

圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角公式： ；

圆台侧面展开图（扇环）的圆心角公式： 。

经过圆锥顶点的最大截面的面积为（圆锥的
母线长为 ，轴截面顶角是θ）：

十一、比例的几个性质

1、比例基本性质：

2、反比定理：

3、更比定理：

5、 合比定理；

6、 分比定理：

7、 合分比定理：

8、 分合比定理：



高中数学公式


诱导公式




sin(-a)=-sin(a)

cos(-a)=cos(a)

sin(pi2-a)=cos(a)

cos(pi2-a)=sin(a)

sin(pi2+a)=cos(a)

cos(pi2+a)=-sin(a)

sin(pi-a)=sin(a)

cos(pi-a)=-cos(a)

sin(pi+a)=-sin(a)

cos(pi+a)=-cos(a)

tgA=tanA=sinAcosA

两角和与差的三角函数

sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)

cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)

cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)

tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))(1-tan(a)tan
(b))

tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))(1+tan(a)tan
(b))

三角函数和差化积公式

sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)2)cos((a-b)
2)

sin(a)?sin(b)=2cos((a+b)2)sin((a-b)
2)

cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)2)cos((a-b)
2)
cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)2)sin((a-b)
2)


积化和差公式

sin(a)sin(b)=-12*[cos(a+b)-cos(a-b)]
cos(a)cos(b)=12*[cos(a+b)+cos(a-b)]
sin(a)cos(b)=12*[sin(a+b)+sin(a-b)]

二倍角公式
sin(2a)=2sin(a)cos(a)
cos(2a)= cos^2(a)-sin^2(a)=2cos^2(a)-1
=1-2sin^2(a)

半角公式
sin^2(a2)=(1-cos(a))2
cos^2(a2)=(1+cos(a))2
tan(a2)=(1-cos(a))sin(a)=sin(a)(1+
cos(a))

万能公式

sin(a)= (2tan(a2))(1+tan^2(a2))

cos(a)= (1-tan^2(a2))(1+tan^2(a2))

tan(a)= (2tan(a2))(1-tan^2(a2))

其它公式

a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+
c) [其中，tan(c)=ba]
a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-
c) [其中，tan(c)=ab]
1+sin(a)=(sin(a2)+cos(a2))^2
1-sin(a)=(sin(a2)-cos(a2))^2

其他非重点三角函数
csc(a)=1sin(a)
sec(a)=1cos(a)

双曲函数
sinh(a)=(e^a-e^(-a))2
cosh(a)=(e^a+e^(-a))2
tgh(a)=sinh(a)cosh(a)

初中数学常用的概念、公式和定理

1. 整数(包括:正整数、0、负整数)和
分数(包括:有限小数和无限环循小
数)都是有理数.
如:－3,,0.231,0.737373…,,-
.无限不环循小数叫做无理数..如:< br>π,－,0.1010010001…(两个1之间
依次多1个0).有理数和无理数统称为实数.
2. 绝对值:a≥0丨a丨=a;a≤0丨
a丨=－a.
如:丨－丨=;丨3.14－π丨=π－
3.14.
3.一个近似数,从左边笫一个 不是0的
数字起,到最末一个数字止,所有的数
字,都叫做这个近似数的有效数字.
如 :0.05972精确到0.001得0.060,结果
有两个有效数字6,0.
4.把一个 数写成±a×10
n
的形式(其中
1≤a<10,n是整数),这种记数法叫做科学记
数法.
如:－40700=－4.07×10
5
,0.000043=-< br>4.3
×
10
－5
.
5.被开方数的小数点每移动2位,算 术
平方根的小数点就向相同方向移动1位;
被开方数的小数点每移动3位,立方根
的小 数点就向相同方向移动1位.
如:已知=0.4858,则=-
48.58;已知=1.55 8,则=-
0.1588.
6.整式的乘除法:①几个单项式相乘除,
系数与系数相 乘除,同底数的幂结合起来相
乘除.
②单项式乘以多项式,用单项式乘以多
项式的每 一个项.③多项式乘以多项式,
用一个多项式的每一项分别乘以另一
个多项式的每一项.④多项 式除以单项
式,将多项式的每一项
分别除以这个单项式.
7.幂的运算性质:①a
m
×a
n
=a
m+n
.②a
m
÷
a
n
=a
m－n
.③(a
m
)
n
=amn
.④(ab)
n
=a
n
b
n
.⑤(-)
n
=n.⑥a
－n
=n,特别:()
－n
=()n
.⑦-
a
0
=1(a≠0).
如:a
3
× a
2
=a
5
,a
6
÷a
2
=a
4
,(a
3
)
2
=a
6
,(3a
3
-
)
3
=27a
9
,(－3)
－1
=－,5
－2
==,()
－
2
=()
2
=,(－3.14)
0
=1,(－)
0
=1.
8.乘法公式(反过来就是因式分解的公
式):①(a+b)(a－b)=a
2
－b
2
.②(a±
b)2
=a
2
±2ab+b
2
.③(a+b)(a
2
－
ab+b
2
)=a
3
+b
3
.④(a－b)( a
2
+ab+b
2
)=a
3
－
b
3
;a
2
+b
2
=(a+b)
2
－2ab,(a－b)2
=(a+b)
2
－4ab.
9.选择因式分解方法的原则是:先看能
否提公因式.在没有公因式的情况下:
二项式用平方差公式或立方和差公式,
三项式用 十字相乘法(特殊的用完全平
方公式),三项以上用分组分解法.注意:
因式分解要进行到每一 个多项式因式
都不能再分解为止.
10.分式的运算:乘除法要先把分子、分
母都分 解因式,并颠倒除式,约分后相
乘;加减法应先把分母分解因式,再通
分(不能去分母).注意 :结果要化为最
简分式.
11.二次根式:①()
2
=a(a≥0),②-
=丨a丨,③=×,④=-
(a>0,b≥0).
如:①(3)
2
=45.②=6.③a<0
时,=－a.④的平方根=4的平方
根=±2.
12.一 元二次方程:对于方
程:ax
2
+bx+c=0:①求根公式是x=-
,其中 =b
2
－4ac叫做根的判别式.
当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;
当Δ=0时,方程有个相等的实数根;当-
Δ<0时,方程没有实数根.注意:当Δ≥
0时,方 程有实数根.③若方程有两个实
数根x
1
和x
2
,则
x< br>1
+x
2
=－,x
1
x
2
=,并且二次三项 式
ax
2
+bx+c可分解为a(x－x
1
)(x－x
2< br>).④以a
和b为根的一
元二次方程是x
2
－(a+b)x+ab=0.
13.解分式方程(去分母 或换元)和无
理方程(两边平方或换元)必须检验.形
如:的方程组,用代入
法解;形 如:的方程组,先
把一个方程分解为两个一次方程,再把
这两个方程分别与另一个方程组合成< br>两个方程组,再用代入法分别解这两个
方程组.
14.不等式两边都乘以或除以同一个负
数,不等号要改变方向.
15.平面直角坐标系:①各限象内点的
坐标如图所示.
②横轴(x轴)上的点,纵坐标是0;纵轴
(y轴)上的点,横坐标是0.
③关于横轴对称的两个点,横坐标相同
(纵坐标互为相反数);
关于纵轴对称的两个点,纵坐标相同
(横坐标互为相反数);
关于原点对称的两个点,横坐标、纵坐
标都互为相反数.
16.一次函数y=kx+ b(k≠0)的图象是一
条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标).当
k>0时,y随x的增 大而增大(直线从左向右上
升);当k<0时,y随x的增大而减小(直线从左
向右下降).特 别:当b=0时,y=kx又叫做正比
例函数(y与x成正比例),图象必过原点.
17.反 比例函数y=(k≠0)的图象叫做
双曲线.当k>0时,双曲线在一、三象限
(从左向右降) ;当k<0时,双曲线在二、
四象限(从左向右上升).因此,它的增
减性与一次函数相反.
18.二次函数y=ax
2
+bx+c(a≠0)的图象
叫做抛物线(c是抛 物线与y轴的交点的
纵坐标).①a>0时,开口向上;a<0时,开
口向下.②顶点坐标是( －,),
对称轴是直线x=－.
特别:抛物线y=a(x－h)
2
+k的顶 点坐标
是(h,k),对称轴是直线x=h.
注意:求解析式的设法①已知三个点的
坐标,则设为一般形式y=ax
2
+bx+c;②
已知顶点坐标(h,k),则设为顶 点式
y=a(x－h)
2
+k;③已知抛物线与x轴的
两个交点坐标(x1
,0)和(x
2
,0),则设为
交点式y=a(x－x
1)(x－x
2
).
19.抛物线与x轴的位置关系:对于抛物
线y=a x
2
+bx+c①Δ<0时,它与x没有交点.②
Δ=0时,它与x轴只有一个交点( 与x轴相切).
③Δ>0时,它与x轴有两个交点(x
1
,0)和
(x
2
,0),其中x
2
1
和x
2
是方程ax+bx+c=0 的两个
根.




20.统计初步:(1)概念:①所 要考察的
对象的全体叫做总体,其中每一个考察
对象叫做个体.从总体中抽取的一部份
个体叫做总体的一个样本,样本中个体
的数目叫做样本容量.②在一组数据中,
出现次数最多的 数(有时不止一个),叫
做这组数据的众数.③将一组数据按大
小顺序排列,把处在最中间的一 个数
(或两个数的平均数)叫做这组数据的
中位数.
(2)公式:设有n个数x1
,x
2
,
…
,x
n
,那么:
①平 均数=(x
1
+x
2
+
…
+x
n
).②方 差S
2
=-
[(x
2
1
－)
2
+(x2
－)+
…
+(x
n
－)
2
.(是整数
时用)
③S
2
=[(x
2222
1
+x
2+
…
+x
n
)－n()].注:各
数据的数位较少或平均数是分 数时,用此公
式.
④若将n个数x
1
,x
2
,
…
,x
n
各减去一个适
当的数a,得到一组新数x
,
1
,x
,
2
,
…
,x
,
n
,
那么 原来那组数的方差S
2
=这组新数的
方差,平均数=a+
,.
方差越 大,这组数
据的波动就越大.通常用样本方差去估
计总体方差,用样本平均数去估计总体
平均数.方差的算术平方根叫做标准差
(3)频率:①把一组数分成若干个小组,
组距=( 最大值－最小值)÷组数(求组数时,
用收尾
法取整数),这时,落在某小组内的数据
的个数叫做这组的频数,每一小组的频数与
数据总
个数的比值叫做这一小组的频率.因此,
各组的频率的和等于1.在频率分布直
方图中,各小长方形的面积等于相应各
组的频率 .各小长方形的面积的和等于
1.
21.锐角三角函数:①设∠A是RtΔ的任
一锐 角,则∠A的正弦:sinA=,
∠A的余弦:cosA=,∠A的正
切:tanA=,∠A的 余切:cotA=-
.
并且sinA=cosB,tgA=ctgB,-
tgAct gA=1,sin
2
A+cos
2
A=1.00 0,ctgA>0.∠A越大,∠A
的正弦和正切值越大,余弦和余切值反< br>而越小.
②余角公式:sin(90
0
－A)=cosA,-
cos (90
0
－A)=sinA,tg(90
0
－A)=ctgA,-
c tg(90
0
－A)=tgA.
③特殊角的三角函数值:-
sin300
=cos60
0
=,sin45
0
=cos45
0< br>=-
,sin60
0
=cos30
0
=,sin0
0
=
cos90
0
=0,sin90
0
=cos0
0
=1,tg30
0
=ctg60
0
=,tg45
0
=ctg45
0
=1,tg60
0
=ctg30
0
=-< br>,tg0
0
=ctg90
0
=0.
④斜坡的坡度i==.设坡角为
α,则i=tgα=.
22.三角形:(1)在一个三角形中:等边
对等角,等角对等边.
(2).证明两 个三再形全等的方法
有:SAS,AAS,ASA,SSS,HL.(3)在RtΔ中,
斜边上 的中线等于斜边的一半.(4)证
明一个三角形是直角三角形的方法有:
①先证明有一个角等于 90
0
.
②先证明最长边的平方等于另两边的
平方和.③先证明一条边的中 线等于这
条边的一半.(5)三角形的中位线平行
于笫三边,并且等于笫三边的一半.(6)< br>等腰三角形中,顶角的平分线与底边上
的中线和高互相重合.
23.四边形:(1)n 边形的内角和等于(n
－2)180
0
,外角和等于360
0
.
(2)平行四边形的性质:对边平行且相
等;对角相等;邻角互补;对角线互相平分.
(3)证明一个四边形是平行四边形的方
法有:①先证两组对边平行.②先证两组对
边相等.
③先证一组对边平行且相等.④先证两
条对角线互相平分.⑤先证两组对角分别相
等.
(4)矩形的对角线相等且互相平分;菱
形的对角线互相垂直平分,并且四条边相
等.
(5)证明一个四边形是矩形的方法有:
①先证明它有三个角是直角.②先证它
是平行 四边形,再证它有一个角是直角
或对角线相等.
(6)证明一个四边形是菱形的方法有:①先证明它的四条边相等.②先证它是
平行四边形,再证它有一组邻边相等或
对角线互相垂 直.
(7)正方形既是矩形又是菱形,它具有
矩形和菱形的所有性质.
(8)梯形的中位线平行于两底并且等于
两底之和的一半.
(9)轴对称图形有:线 段,角,等腰三角
形,等腰梯形,矩形,菱形,正方形,正多
边形,圆.中心对称图形有:线段 ,平行
四边形,矩形,菱形,正方形,边数是偶
数的正多边形,圆.
24.证明两个 三角形相似的方法有:①
先证两组对应角相等.②先证两边对应
成比例并且夹角相等.③先证三 边对应
成比例.④先证斜边和一条直角边对应
成比例.相似三角形的性质:对应高的
比 ,对应角平分线的比,对应中线的比,
周长的比,都等于相似比.面积的比等
于相似比的平方.
25.平行切割定理:①如图1,DE∥BC-
=.
②如图2,若AB∥CD∥EF则=,=-
.
26.射影定理:如图3,ΔABC中,若∠
ACB=90
0
,
C D⊥AB,则:①AC
2
=AD
·
AB.②BC
2
=BD< br>·
BA.-
③AD
2
=DA
·
DB.

27.圆的有关性质:(1)垂径定理:如果
一条直线具备以下五个性质中的
任意两个性质:①经过圆心;②垂直弦;
③平分弦;④平分弦所对的劣弧;
⑤平分弦 所对的优弧,那么这条直线就
具有另外三个性质.注:具备①,③时,
弦不能是直径.(2)两 条平行弦所夹的
弧相等.(3)在同圆或等圆中,如果两个
圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的 弦
心距中有一组量相等,那么它所对应的
其余三组量都分别相等.(4)圆心角的
度数 等于它所对的弧的度数.(5)一条
弧所对的圆周角等于它所对的圆心角
的一半.(6)圆周角 等于它所对的弧的
度数的一半.(7)弦切角等于它所夹的
弧的度数的一半.(8)同弧或等弧 所对
的圆周角相等.(9)在同圆或等圆中,相
等的圆周角所对的弧相等.(10).900
的
圆周角所对的弦是直径.(11)圆内接四
边形的对角互补,外角等于它的内 对
角.
28.直线和圆的位置关系:(1)若⊙O的
半径为r,圆心到直线L的距离为d,则:
①d线L和⊙O相切.③d>r直线L和⊙O相离. (2)切线的判定定理:经过半径外端并
且垂直这条半径的直线是圆的切线.反
之:切线垂 直过切点的半径.(3)切线长
定理,弦切角定理,相交弦定理及其推
论,切割线定理及其推论 .(4)三角形的
内切圆的圆心叫做三角形的内心.三角
形的内心就是三内角平分线的交点.< br>三角形的外接圆的圆心叫做三角形的
外心.三角形的外心就是三边中垂线的
交点. (5)RtΔ的内切圆的半径R
内
=,任
意多边形的内切圆的半径R
内< br>=.
(6)圆外切四边形的一组对边的和等于
另一组对边的和.
29.圆和 圆的位置关系:(1)设两圆半径
为R和r,圆心距为d,则:①d>R+r两圆外
离.
②d=R+r两圆外切.③R－r≥r)两圆相交.④d=R－r两圆内切.
⑤d30.圆中常作的辅助线:(1)两圆相交,
常作公共弦, 连心线.(2)两圆相切,常
作公切线,连心线.(3)已知切线,常过
切点作半径.(4)已 知直径,常作直径所
对的圆周角.(5)求解有关弦的问题,作
弦心距.(6)弧的中点常和圆 心连结.
31.各顶点等分圆周正n边形各
边相等,各角相等,且每个内角=-
度, 中心角=外角=度.
32.面积公式:①S
正Δ
=×(边长)
2
. ②S
平行四边形
=底×高.③S
菱形
=底×高=×(对角线
的积)
④S
圆
=
π
R
2
.⑤C
圆周长
= 2πR.⑥弧长L=
-
.⑦S
扇形
==LR.⑧S
圆柱侧
= 底面周长×高.
⑨S
圆锥侧
=×底面周长×母线=πrR,并
且2πr=(如上图).





常见的初中数学公式

1 过两点有且只有一条直线
2 两点之间线段最短
3 同角或等角的补角相等
4 同角或等角的余角相等
5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂
直
6 直线外一点与直线上各点连接的所有线
段中，垂线段最短
7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一
条直线与这条直线平行
8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两
条直线也互相平行
9 同位角相等，两直线平行
10 内错角相等，两直线平行
11 同旁内角互补，两直线平行
12两直线平行，同位角相等
13 两直线平行，内错角相等
14 两直线平行，同旁内角互补
15 定理 三角形两边的和大于第三边
16 推论 三角形两边的差小于第三边
17 三角形内角和定理 三角形三个内角的
和等于180°
18 推论1 直角三角形的两个锐角互余
19 推论2 三角形的一个外角等于和它不
相邻的两个内角的和
20 推论3 三角形的一个外角大于任何一
个和它不相邻的内角
21 全等三角形的对应边、对应角相等
22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角
对应相等的两个三角形全等
23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边
对应相等的两个三角形全等
24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边
对应相等的两个三角形全等
25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的
两个三角形全等
26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直
角边对应相等的两个直角三角形全等
27 定理1 在角的平分线上的点到这个角
的两边的距离相等
28 定理2 到一个角的两边的距离相同的
点，在这个角的平分线上
29 角的平分线是到角的两边距离相等的所
有点的集合
30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的
两个底角相等 (即等边对等角）
31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分
底边并且垂直于底边
32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中
线和底边上的高互相重合
33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且
每一个角都等于60°
34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角
形有两个角相等，那么这两个角所对的边也
相等（等角对等边）
35 推论1 三个角都相等的三角形是等边
三角形
36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角
形是等边三角形
37 在直角三角形中，如果一个锐角等于
30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的
一半
39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线
段两个端点的距离相等
40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等
的点，在这条线段的垂直平分线上
41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点
距离相等的所有点的集合
42 定理1 关于某条直线对称的两个图形
是全等形
43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，
那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
44定理3 两个图形关于某直线对称，如果
它们的对应线段或延长线相交，那么交点在
对称轴上
45逆定理 如果两个图形的对应点连线被
同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于
这条直线对称
46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的
平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2
47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边
长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这
个三角形是直角三角形
48定理 四边形的内角和等于360°
49四边形的外角和等于360°
50多边形内角和定理 n边形的内角的和等
于（n-2）×180°
51推论 任意多边的外角和等于360°
52平行四边形性质定理1 平行四边形的对
角相等
53平行四边形性质定理2 平行四边形的对
边相等
54推论 夹在两条平行线间的平行线段相
等
55平行四边形性质定理3 平行四边形的对
角线互相平分
56平行四边形判定定理1 两组对角分别相
等的四边形是平行四边形
57平行四边形判定定理2 两组对边分别相
等的四边形是平行四边形
58平行四边形判定定理3 对角线互相平分
的四边形是平行四边形
59平行四边形判定定理4 一组对边平行相
等的四边形是平行四边形
60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角
61矩形性质定理2 矩形的对角线相等
62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边
形是矩形
63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边
形是矩形
64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等
65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂
直，并且每一条对角线平分一组对角
66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=
（a×b）÷2
67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是
菱形
68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行
四边形是菱形
69正方形性质定理1 正方形的四个角都是
直角，四条边都相等
70正方形性质定理2正方形的两条对角线
相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分
一组对角
71定理1 关于中心对称的两个图形是全等
的
72定理2 关于中心对称的两个图形，对称
点连线都经过对称中心，并且被对称中心平
分
73逆定理 如果两个图形的对应点连线都
经过某一点，并且被这一点平分，那么这两
个图形关于这一点对称
74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底
上的两个角相等
75等腰梯形的两条对角线相等
76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个
角相等的梯形是等腰梯形
77对角线相等的梯形是等腰梯形
78平行线等分线段定理 如果一组平行线
在一条直线上截得的线段相等，那么在其他
直线上截得的线段也相等
79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行
的直线，必平分另一腰
80 推论2 经过三角形一边的中点与另一
边平行的直线，必平分第三边
81 三角形中位线定理 三角形的中位线平
行于第三边，并且等于它的一半
82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于
两底，并且等于两底和的一半 L=（a+b）÷2
S=L×h
83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么
ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d
84 (2)合比性质 如果a／b=c／d,那么(a±b)
／b=(c±d)／d
85 (3)等比性质 如果a／b=c／d=…=m／
n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m) ／
(b+d+…+n)=a／b
86 平行线分线段成比例定理 三条平行线
截两条直线，所得的对应线段成比例
87 推论 平行于三角形一边的直线截其他
两边（或两边的延长线），所得的对应线段
成比例
88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或
两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边
89 平行于三角形的一边，并且和其他两边
相交的 直线，所截得的三角形的三边与原三
角形三边对应成比例
90 定理 平行于三角形一边的直线和其他
两边（或两边的延长线）相交，所构成的三
角形与原三角形相似
91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，
两三角形相似（ASA）
92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直
角三角形和原三角形相似
93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相
等，两三角形相似（SAS）
94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形
相似（SSS）
95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一< br>条直角边与另一个直角三角形的斜边和一
条直角边对应成比例，那么这两个直角三角
形相 似
96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对
应中线的比与对应角平分线的比都等于相
似比
97 性质定理2 相似三角形周长的比等于
相似比
98 性质定理3 相似三角形面积的比等于
相似比的平方
99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦
值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦
值
100任意锐角的正切值等于它的余角的余
切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正
切值
101圆是定点的距离等于定长的点的集合
102圆的内部可以看作是圆心的距离小于
半径的点的集合
103圆的外部可以看作是圆心的距离大于
半径的点的集合
104同圆或等圆的半径相等
105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是
以定点为圆心，定长为半径的圆
106和已知线段两个端点的距离相等的点
的轨迹，是着条线段的垂直平分线
107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，
是这个角的平分线
108到两条平行 线距离相等的点的轨迹，是
和这两条平行线平行且距离相等的一条直
线
109定理 不在同一直线上的三点确定一个
圆。
110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦
并且平分弦所对的两条弧
111推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂
直于弦，并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所
对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分
弦，并且平分弦所对的另一条弧
112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等
113圆是以圆心为对称中心的中心对称图
形
114定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角
所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的
弦心距相等
115推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心
角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一
组量相等那么它们所对应的其余各组量都
相等
116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对
的圆心角的一半
117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相
等
118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是
直角；90°的圆周角所对的弦是直径
119推论3 如果三角形一边上的中线等于
这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
120定理 圆的内接四边形的对角互补，并
且任何一个外角都等于它的内对角
121①直线L和⊙O相交 d＜r
②直线L和⊙O相切 d=r
③直线L和⊙O相离 d＞r
122切线的判定定理 经过半径的外端并且
垂直于这条半径的直线是圆的切线
123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过
切点的半径
124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线
必经过切点
125推论2 经过切点且垂直于切线的直线
必经过圆心
126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切
线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连
线平分两条切线的夹角
127圆的外切四边形的两组对边的和相等
128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对
的圆周角
129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，
那么这两个弦切角也相等
130相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交
点分成的两条线段长的积相等
131推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦
的一半是它分直径所成的两条线段的比例
中项
132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和
割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条
线段长的比例中项
133推论 从圆外一点引圆的两条割线，这
一点到每条割线与圆的交点的两条线段长
的积相等
134如果两个圆相切，那么切点一定在连心
线上
135①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切
d=R+r
③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)
④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜
R-r(R＞r)
136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆
的公共弦
137定理 把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆
的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交
点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边
形
138定理 任何正多边形都有一个外接圆和
一个内切圆，这两个圆是同心圆
139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°
／n
140定理 正n边形的半径和边心距把正n
边形分成2n个全等的直角三角形
141正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正
n边形的周长
142正三角形面积√3a／4 a表示边长
143如果在一个顶点周围有k个正n边形的
角，由于这些角的和应为360°，因此
k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2 ）(k-2)=4
144弧长计算公式：L=n兀R／180
145扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／
360=LR／2

146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长=
d-(R+r)
实用工具:常用数学公式


公式分类 公式表达式

乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b)
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b|
|a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)2a
-b-√(b2-4ac)2a

根与系数的关系 X1+X2=-ba X1*X2=ca
注：韦达定理

判别式
b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根
b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根
b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数
根

三角函数公式

两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)(1+tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)(ctgB+ctgA)
ctg(A-B)=(ctgActgB+1)(ctgB-ctgA)

倍角公式
tan2A=2tanA(1-tan2A)
ctg2A=(ctg2A-1)2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式
sin(A2)=√((1-cosA)2)
sin(A2)=-√((1-cosA)2)
cos(A2)=√((1+cosA)2)
cos(A2)=-√((1+cosA)2)
tan(A2)=√((1-cosA)((1+cosA))
tan(A2)=-√((1-cosA)((1+cosA))
ctg(A2)=√((1+cosA)((1-cosA))
ctg(A2)=-√((1+cosA)((1-cosA))

和差化积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)
2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)
-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)2)cos((A-B)2
cosA+cosB=2cos((A+B)2)sin((A-B)2)
tanA+tanB=sin(A+B)cosAcosB
tanA- tanB=sin(A-B)cosAcosB
ctgA+ctgBsin(A+B)sinAsinB
-ctgA+ctgBsin(A+B)sinAsinB

某些数列前n项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)2
1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)
12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n
+1)(2n+1)6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)24
1*2+2*3+3* 4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(
n+1)(n+2)3

正弦定理 asinA=bsinB=csinC=2R 注：
其中 R 表示三角形的外接圆半径

余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是
边a和边c的夹角

圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）
是圆心坐标
圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：
D2+E2-4F>0
抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py
x2=-2py

直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积
S=c'*h
正棱锥侧面积 S=12c*h' 正棱台侧面积
S=12(c+c')h'
圆台侧面积 S=12(c+c')l=pi(R+r)l 球的表
面积 S=4pi*r2
圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积
S=12*c*l=pi*r*l

弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0
扇形面积公式 s=12*l*r

锥体体积公式 V=13*S*H 圆锥体体积公
式 V=13*pi*r2h
斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S'是直截面面
积， L是侧棱长
柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h



小学数学公式大全
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第一部分： 概念

1、加法交换律：两数相加交换加数的位置，
和不变。

2、加法结合律：三个数相加，先把前两个
数相加，或先把后两个数相加，再同第三 个
数相加，和不变。

3、乘法交换律：两数相乘，交换因数的位
置，积不变。

4、乘法结合律 ：三个数相乘，先把前两个
数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个
数相乘，它们的积不变。

5、乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，
可以把两个加数分别同这个数相乘，再 把两
个积相加，结果不变。

如：（2+4）×5＝2×5+4×5

6、除法的性质：在除法里，被除数和除数
同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。
O除以任何不是O的数都得O。

简便乘法：被乘数、乘数末尾有O的乘法，
可以先把O前面的相乘，零不参加运算，
有几个零都落下，添在积的末尾。

7、什么叫等式？等号左边的数值与等号右
边的数值相等的式子叫做等式。

等式的基本性质：等式两边同时乘以（或除
以）一个相同的数，等式仍然成立。

8、什么叫方程式？答：含有未知数的等式
叫方程式。

9、 什么叫一元一次方程式？答：含有一
个未知数，并且未知数的次 数是一次的
等式叫做一元一次方程式。

学会一元一次方程式的例法及计算。即例出
代有χ的算式并计算。

10、分数：把单位“1”平均分成若干份，表
示这样的一份或几分的数,叫做分数。

11、分数的加减法则：同分母的分数相加减，
只把分子相加减，分母不变。异分母 的分数
相加减，先通分，然后再加减。

12、分数大小的比较：同分母的分数相比较，
分子大的大，分子小的小。
异分母的分数相比较，先通分然后再比较；
若分子相同，分母大的反而小。

13、分数乘整数，用分数的分子和整数相乘
的积作分子，分母不变。

14、分数乘分数，用分子相乘的积作分子，
分母相乘的积作为分母。

15、分数除以整数（0除外），等于分数乘
以这个整数的倒数。


16、真分数：分子比分母小的分数叫做真分
数。

17、假分数：分子比 分母大或者分子和分母
相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于
1。

叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比
例关系。如：yx=k( k一定)或kx=y

27、反比例：两种相关联的量，一种量变化，
另一种量也随着变化，如果这两种量 中相对
应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反
比例的量，它们的关系就叫做反比例关系。
18、带分数：把假分数写成整数和真分数的
形式，叫做带分数。

19、分数的基本性质：分数的分子和分母同
时乘以或除以同一个数

（0除外），分数的大小不变。

20、一个数除以分数，等于这个数乘以分数
的倒数。

21、甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘
以乙数的倒数。

分数的加、 减法则：同分母的分数相加减，
只把分子相加减，分母不变。异分母的分数
相加减，先通分，然 后再加减。

分数的乘法则：用分子的积做分子，用分母
的积做分母。

22、什么叫比：两个数相除就叫做两个数的
比。如：2÷5或3:6或13

比的前项和后项同时乘以或除以一个相同
的数（0除外），比值不变。

23、什么叫比例：表示两个比相等的式子叫
做比例。如3:6＝9:18

24、比例的基本性质：在比例里，两外项之
积等于两内项之积。

25、解比例：求比例中的未知项，叫做解比
例。如3:χ＝9:18

2 6、正比例：两种相关联的量，一种量变化，
另一种量也随着化，如果这两种量中相对应
的的比 值（也就是商k）一定，这两种量就
如：x×y = k( k一定)或k x = y

28、百分数：表示一个数是另一个数的百分
之几的数，叫做百分数。百分数也叫做百分
率或百分比。

29、把小数化成百分数，只要把小数点向右
移动两位，同时在后 面添上百分号。其实，
把小数化成百分数，只要把这个小数乘以
100％就行了。

30、把百分数化成小数，只要把百分号去掉，
同时把小数点向左移动两位。
31、把分数化成百分数，通常先把分数化成
小数（除不尽时，通常保留三位小数），再
把 小数化成百分数。其实，把分数化成百分
数，要先把分数化成小数后，再乘以100％
就行了。

32、把百分数化成分数，先把百分数改写成
分数，能约分的要约成最简分数。

33、要学会把小数化成分数和把分数化成小
数的化发。

34 、最大公约数：几个数都能被同一个数一
次性整除，这个数就叫做这几个数的最大公
约数。（或 几个数公有的约数，叫做这几个
数的公约数。其中最大的一个，叫做最大公
约数。）

35、互质数： 公约数只有1的两个数，
叫做互质数。

36、最小 公倍数：几个数公有的倍数，叫做
这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这
几个数的最小公倍 数。

37、通分：把异分母分数的分别化成和原来
分数相等的同分母的分数，叫做 通分。（通
分用最小公倍数）

38、约分：把一个分数化成同它相等，但分
子、分母都比较小的分数，叫做约分。（约
分用最大公约数）

39、最简分数：分子、分母是互质数的分数，
叫做最简分数。

40、分数计算到最后，得数必须化成最简分
数。

41、个位上是0、2、4、6、8的数，都能
被2整除，即能用2进行

42、约分。个位上是0或者5的数，都能被
5整除，即能用5进行约分。在约分时应注
意利用 。

43、偶数和奇数：能被2整除的数叫做偶数。
不能被2整除的数叫做奇数。

44、质数（素数）：一个数，如果只有1
和它本身两个约数，这样的数叫做质数（ 或
素数）。

45、合数：一个数，如果除了1和它本身还
有别的约数，这 样的数叫做合数。1不是质
数，也不是合数。

46、利息＝本金×利率×时间（时间一般以
年或月为单位，应与利率的单位相对应）

47、利率：利息与本金的比值叫做利率。一
年的利息与本金的比值叫做年利率。一 月的
利息与本金的比值叫做月利率。

48、自然数：用来表示物体个数的整数，叫
做自然数。0也是自然数。

49、循环小数：一个小数，从小数部分的某
一位起，一个数字或几个数字依次不断的重
复出现 ，这样的小数叫做循环小数。如3.
141414

50、不循环小数：一个小数 ，从小数部分起，
没有一个数字或几个数字依次不断的重复
出现，这样的小数叫做不循环小数。 如圆周
率：3. 141592654

51、无限不循环小数：一个小数，从小数 部
分起到无限位数，没有一个数字或几个数字
依次不断的重复出现，这样的小数叫做无限
不循环小数。如3. 141592654……

52、什么叫代数? 代数就是用字母代替数。

53、什么叫代数式?用字母表示的式子叫做
代数式。如：3x =ab+c


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第二部分：定义定理

一、算术方面

1．加法交换律：两数相加交换加数的位置，
和不变。

2．加法结合律：三个数相加，先把前两个
数相加，或先把后两个数相加，再同第

三个数相加，和不变。

3．乘法交换律：两数相乘，交换因数的位
置，积不变。

4．乘法结合律 ：三个数相乘，先把前两个
数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个
数相乘，它们的积不变。

5．乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，
可以把两个加数分别同这个数相乘，再 把两
个积相加，结果不变。如：（2+4）×5＝
2×5+4×5。

6． 除法的性质：在除法里，被除数和除数18．带分数：把假分数写成整数和真分数的
同时扩大（或缩小） 相同的倍数，商不变。形式，叫做带分数。
0除以任何不是0的数都得0。
19．分数 的基本性质：分数的分子和分母同
7．等式：等号左边的数值与等号右边的数时乘以或除以同一个数（0 除外），分数的
值相等的式子叫做等式。 大小不变。
等式的基本性质：等式两边同时乘以（或除
以）一个相同的数，等式仍然成立。 20 ． 一个数除以分数， 等于这个数乘以分数

8．方程式：含有未知数的等式叫方程式。

9．一元一次方程式：含有一个未知数，并
且未知数的次 数是一次的等式叫做一元一
次方程式。

学会一元一次方程式的例法及计算。即例出
代有χ的算式并计算。

10．分数：把单位“1”平均分成若干份，表
示这样的一份或几分的数，叫做分数。

11．分数的加减法则：同分母的分数相加减，
只把分子相加减，分母不变。异分母 的分数
相加减，先通分，然后再加减。

12．分数大小的比较：同分母的分数相比较，
分子大的大，分子小的小。
异分母的分数相比较，先通分然后再比较；
若分子相同，分母大的反而小。

13．分数乘整数，用分数的分子和整数相乘
的积作分子，分母不变。

14．分数乘分数，用分子相乘的积作分子，
分母相乘的积作为分母。

15．分数除以整数（0除外），等于分数乘
以这个整数的倒数。

16．真分数：分子比分母小的分数叫做真分
数。

17．假分数：分子比 分母大或者分子和分母
相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于
1。

的倒数。

21．甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘
以乙数的倒数

1 过两点有且只有一条直线
2 两点之间线段最短
3 同角或等角的补角相等
4 同角或等角的余角相等
5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂
直
6 直线外一点与直线上各点连接的所有线
段中，垂线段最短
7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一
条直线与这条直线平行
8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两
条直线也互相平行
9 同位角相等，两直线平行
10 内错角相等，两直线平行
11 同旁内角互补，两直线平行
12两直线平行，同位角相等
13 两直线平行，内错角相等
14 两直线平行，同旁内角互补
15 定理 三角形两边的和大于第三边
16 推论 三角形两边的差小于第三边
17 三角形内角和定理 三角形三个内角的
和等于180°
18 推论1 直角三角形的两个锐角互余
19 推论2 三角形的一个外角等于和它不
相邻的两个内角的和
20 推论3 三角形的一个外角大于任何一
个和它不相邻的内角
21 全等三角形的对应边、对应角相等
22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角
对应相等的两个三角形全等
23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边
对应相等的两个三角形全等
24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边
对应相等的两个三角形全等
25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的
两个三角形全等
26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直
角边对应相等的两个直角三角形全等
27 定理1 在角的平分线上的点到这个角
的两边的距离相等
28 定理2 到一个角的两边的距离相同的
点，在这个角的平分线上
29 角的平分线是到角的两边距离相等的所
有点的集合
30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的
两个底角相等 (即等边对等角）
31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分
底边并且垂直于底边
32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中
线和底边上的高互相重合
33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且
每一个角都等于60°
34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角
形有两个角相等，那么这两个角所对的边也
相等（等角对等边）
35 推论1 三个角都相等的三角形是等边
三角形
36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角
形是等边三角形
37 在直角三角形中，如果一个锐角等于
30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的
一半
39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线
段两个端点的距离相等
40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等
的点，在这条线段的垂直平分线上
41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点
距离相等的所有点的集合
42 定理1 关于某条直线对称的两个图形
是全等形
43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，
那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
44定理3 两个图形关于某直线对称，如果
它们的对应线段或延长线相交，那么交点在
对称轴上
45逆定理 如果两个图形的对应点连线被
同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于
这条直线对称
46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的
平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2
47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边
长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这
个三角形是直角三角形
48定理 四边形的内角和等于360°
49四边形的外角和等于360°
50多边形内角和定理 n边形的内角的和等
于（n-2）×180°
51推论 任意多边的外角和等于360°
52平行四边形性质定理1 平行四边形的对
角相等
53平行四边形性质定理2 平行四边形的对
边相等
54推论 夹在两条平行线间的平行线段相
等
55平行四边形性质定理3 平行四边形的对
角线互相平分
56平行四边形判定定理1 两组对角分别相
等的四边形是平行四边形
57平行四边形判定定理2 两组对边分别相
等的四边形是平行四边形
58平行四边形判定定理3 对角线互相平分
的四边形是平行四边形
59平行四边形判定定理4 一组对边平行相
等的四边形是平行四边形
61矩形性质定理2 矩形的对角线相等
62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边
形是矩形
63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边
形是矩形
64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等
65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂
直，并且每一条对角线平分一组对角
66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=
（a×b）÷2
67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是
菱形
68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行
四边形是菱形
69正方形性质定理1 正方形的四个角都是
直角，四条边都相等

70正方形性质定理2正方形的两 条对角线
相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分
一组对角
71定理1 关于中心对称的两个图形是全等
的
72定理2 关于中心对称的两个图形，对称
点连线都经过对称中心，并且被对称中心平
分
73逆定理 如果两个图形的对应点连线都
经过某一点，并且被这一
点平分，那么这两个图形关于这一点对称
74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底
上的两个角相等
75等腰梯形的两条对角线相等
76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个
角相等的梯形是等腰梯形
77对角线相等的梯形是等腰梯形
78平行线等分线段定理 如果一组平行线
在一条直线上截得的线段
相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行
的直线，必平分另一腰
80 推论2 经过三角形一边的中点与另一
边平行的直线，必平分第
三边
81 三角形中位线定理 三角形的中位线平
行于第三边，并且等于它
的一半
82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于
两底，并且等于两底和的
一半 L=（a+b）÷2 S=L×h
83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么
ad=bc
如果ad=bc,那么a:b=c:d
84 (2)合比性质 如果a／b=c／d,那么(a±b)
／b=(c±d)／d
85 (3)等比性质 如果a／b=c／d=…=m／
n(b+d+…+n≠0),那么
(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b
86 平行线分线段成比例定理 三条平行线
截两条直线，所得的对应
线段成比例
87 推论 平行于三角形一边的直线截其他
两边（或两边的延长线），所得的对应线段
成比例
88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或
两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边
89 平行于三角形的一边，并且和其他两边
相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三
角形三边对应成比例
90 定理 平行于三角形一边的直线和其他
两边（或两边的延长线）相交，所构成的三
角形与原三角形相似
91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，
两三角形相似（ASA）
92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直
角三角形和原三角形相似
93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相
等，两三角形相似（SAS）
94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形
相似（SSS）
95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一
条直角边与另一个直角三
角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么
这两个直角三角形相似
96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对
应中线的比与对应角平
分线的比都等于相似比
97 性质定理2 相似三角形周长的比等于
相似比
98 性质定理3 相似三角形面积的比等于
相似比的平方
99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦
值，任意锐角的余弦值等
于它的余角的正弦值
100任意锐角的正切值等于它的余角的余
切值，任意锐角的余切值等
于它的余角的正切值
101圆是定点的距离等于定长的点的集合
102圆的内部可以看作是圆心的距离小于
半径的点的集合
103圆的外部可以看作是圆心的距离大于
半径的点的集合

圆面积=半径的平方乘以派
长方形的周长=（长+宽）×2
正方形的周长=边长×4
长方形的面积=长×宽
正方形的面积=边长×边长
三角形的面积=底×高÷2



平行四边形的面积=底×高
梯形的面积=（上底+下底）×高÷2
直径=半径×2 半径=直径÷2
圆的周长=圆周率×直径=
圆周率×半径×2
圆的面积=圆周率×半径×半径
长方体的表面积=
（长×宽+长×高＋宽×高）×2
长方体的体积 =长×宽×高
正方体的表面积=棱长×棱长×6
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
圆柱的侧面积=底面圆的周长×高
圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积
圆柱的体积=底面积×高
圆锥的体积=底面积×高÷3
长方体（正方体、圆柱体）
的体积=底面积×高
平面图形
名称 符号 周长C和面积S
正方形 a—边长 C＝4a
S＝a2
长方形 a和b－边长 C＝2(a+b)
S＝ab
三角形 a,b,c－三边长
h－a边上的高
s－周长的一半
A,B,C－内角
其中s＝(a+b+c)2 S＝ah2
＝ab2·sinC
＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]12
＝a2sinBsinC(2sinA)

四边形 d,D－对角线长
α－对角线夹角 S＝dD2·sinα
平行四边形 a,b－边长
h－a边的高
α－两边夹角 S＝ah
＝absinα
菱形 a－边长
α－夹角
D－长对角线长
d－短对角线长 S＝Dd2
＝a2sinα
梯形 a和b－上、下底长
h－高
m－中位线长 S＝(a+b)h2
＝mh
圆 r－半径
d－直径 C＝πd＝2πr
S＝πr2
＝πd24
扇形 r—扇形半径
a—圆心角度数
C＝2r＋2πr×(a360)
S＝πr2×(a360)
弓形 l－弧长
b－弦长
h－矢高
r－半径
α－圆心角的度数 S＝r22·(πα180-sinα)
＝r2arccos[(r-h)r] - (r-h)(2rh-h2)12
＝παr2360 - b2·[r2-(b2)2]12
＝r(l-b)2 + bh2
≈2bh3
圆环 R－外圆半径
r－内圆半径
D－外圆直径
d－内圆直径 S＝π(R2-r2)
＝π(D2-d2)4
椭圆 D－长轴
d－短轴 S＝πDd4
立方图形
名称 符号 面积S和体积V
正方体 a－边长 S＝6a2
V＝a3
长方体 a－长
b－宽
c－高 S＝2(ab+ac+bc)
V＝abc
棱柱 S－底面积
h－高 V＝Sh
棱锥 S－底面积
h－高 V＝Sh3
棱台 S1和S2－上、下底面积
h－高 V＝h[S1+S2+(S1S1)12]3
拟柱体 S1－上底面积
S2－下底面积
S0－中截面积
h－高 V＝h(S1+S2+4S0)6
圆柱 r－底半径
h－高
C—底面周长


S底—底面积
S侧—侧面积
S表—表面积 C＝2πr
S底＝πr2
S侧＝Ch
S表＝Ch+2S底
V＝S底h
＝πr2h

空心圆柱 R－外圆半径
r－内圆半径
h－高 V＝πh(R2-r2)
直圆锥 r－底半径
h－高 V＝πr2h3
圆台 r－上底半径
R－下底半径
h－高 V＝πh(R2＋Rr＋r2)3
球 r－半径
d－直径 V＝43πr3＝πd26
球缺 h－球缺高
r－球半径
a－球缺底半径 V＝πh(3a2+h2)6
＝πh2(3r-h)3
a2＝h(2r-h)
球台 r1和r2－球台上、下底半径
h－高 V＝πh[3(r12＋r22)+h2]6
圆环体 R－环体半径
D－环体直径
r－环体截面半径
d－环体截面直径 V＝2π2Rr2
＝π2Dd24
桶状体 D－桶腹直径
d－桶底直径
h－桶高 V＝πh(2D2＋d2)12
(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)
V＝πh(2D2＋Dd＋3d24)15







1. 整数(包括:正整数、0、负整数)
和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都
是有理数.
如:－3,0.231,0.73737…. 无限不环
循小数叫做无理数.
如:π, 0.1010010001…(两个1之间依次多
1个0).有理数和无理数统称为实数.
2. 绝对值:a≥0 丨a丨=a; a≤0
丨a丨=－a.
如:丨－ 5 丨= 5 丨3.14－π丨=π
－3.14.
3.一个近似数,从左边笫一个不是0的< br>数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都
叫做这个近似数的有效数字.如:0.05972精
确到0.001得0.060,结果有两个有效数字
6,0.
4.科学记数法. < br>5.被开方数的小数点每移动2位,算术
平方根的小数点就向相同方向移动1位;被
开方 数的
小数点每移动3位,立方根的小数点就向相
同方向移动1位.
6.整式的乘除 法:①几个单项式相乘除,
系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相
乘除.
②单项式乘以


多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.
项式的每一项分 别乘以另一个多项式的每
一项.
③多项式除以单项式,将多项式的每一
项分别除以这个单项式.
7.幂的运算性质：
8.乘法公式(反过来就是因式分解的公
式：
9.选择因式分解方法的原则是:先看 能
否提公因式.在没有公因式的情况下:二项
式用平方
差公式或立方和差公式,三项式用十字相乘
法(特殊的用完全平方公式),三项以上用分
组分解法.注意:因式分解要进行到每一个
多项式因式都不能再分解为止.
10.分 式的运算:乘除法要先把分子、分
母都分解因式,并颠倒除式,约分后相乘;加
减法应
先把分母分解因式,再通分(不能去分母).
注意:结果要化为最简分式.
11.二次根式:
12.一元二次方程:对于方
程:ax2+bx+c=0:①求根公式 ,其中 =b2－
4ac叫做根
的判别式.当Δ>0时,方程有两个不相等的
实数根;当Δ= 0时,方程有个相等的实数根;
当 Δ<0时,方程没有实数根.注意:当
Δ≥0时,方程有实 数根.③跟与系数的关系
（韦达定理）④以a和b为根的一元二次方
程是 x2－(a+b)x+ab=0.
13.解分式方程(去分母或换元)和无理
方程(两边平方或换元)必须检验.
14.不等式两边都乘以或除以同一个负
数,不等号要改变方向.
15.平面直角坐标系:①各限象内点的
坐标表示.
②横轴(x轴)上的点,纵坐标是0;纵轴
(y轴)上的点,横坐标是0.
③关于横轴对称的两个点,横坐标相同
(纵坐标互为相反数);
关于纵轴对称的两个点,纵坐标相同
(横坐标互为相反数);
关于原点对称的两个点,横坐标、纵坐
标都互为相反数.
16.一次函数y=kx+ b(k≠0)的图象是一
条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标).
当k>0时,y随x的增 大而增大(直线从左向
右上升);当k<0时,y随x的增大而减小(直
线从左向右下降).特 别:当b=0时,y=kx 又
叫做正比例函数(y与x成正比例),图象必
过原点.
17.反比例函数图象叫做双曲线.当k>0
时,双曲线在一、三象限(从左向右降);当
k <0时,双曲线在二、四象限(从左向右上升).
因此,它的增减性与一次函数相反.
18. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
叫做抛物线(c是抛物线与y轴的交点的纵
坐 标).①a>0时,开口向上;a<0时,开口向
下.②顶点坐标，对称轴。当抛物线y=a(x
－h)2+k时顶点坐标是(h,k),对称轴是直线
x=h.
注意:求解析式的设法
①已知三个点的坐标,则设为一般形
式y=ax2+bx+c;
②已知顶点坐标(h,k),则设为顶点式
y=a(x－h)2+k;
③已知抛物线与x轴的两个交点坐标
(x1,0)和(x2,0), 则设为交点式y=a(x－
x1)(x－x2).
19.抛物线与x轴的位置关系:对于抛
物线y=ax2+bx+c ①Δ<0时,它与x没有 交
点.②Δ=0时,它与x轴只有一个交点(与x
轴相切).③Δ>0时,它与x轴有两个交点
(x1,0)和(x2,0),其中x1和x2是方程
ax2+bx+c=0的两个根. 20.统计初步:(1)概念:①所要考察的
对象的全体叫做总体,其中每一个考察对象
叫 做个体.从总体中抽取的一部份个体叫做
总体的一个样本,样本中个体的数目叫做样
本容量.② 在一组数据中,出现次数最多的
数(有时不止一个),叫做这组数据的众
数.③将一组数据按大 小顺序排列,把处在
最中间的一个数(或两个数的平均数)叫做
这组数据的中位数.
(2)公式:设有n个数 x1,x2,…,xn ,
那么:
①平均数 .②方差
③方差越大,这组数据的波动就越大.通常
用样
本方差去估计总体方差 ,用样本平均数去估
计总体平均数.方差的算术平方根叫做标准
差
(3)频率:①把 一组数分成若干个小组,
组距=(最大值－最小值)÷组数(求组数时,
用收尾法取整数),这 时,落在某小组内的数
据的个数叫做这组的频数,每一小组的频数
与数据总个数的比值叫做这一 小组的频率.
因此,各组的频率的和等于1.在频率分布直
方图中,各小长方形的面积等于相应 各组的
频率.各小长方形的面积的和等于1.

22.三角形:
(1)在一个三角形中:等边对等角,等角
对等边.
(2).证明两个三再形全等的方法
有:SAS,AAS,ASA,SSS,HL.
(3)在RtΔ中,斜边上的中线等于斜边
的一半.
(4)证明一个三角形是直角三 角形的方
法有:①先证明有一个角等于90度.②先证
明最长边的平方等于另两边的平方和.③ 先
证明一条边的中线等于这条边的一半.
(5)三角形的中位线平行于笫三边,并
且等于笫三边的一半.
(6)等腰三角形中,顶角的平分线与底
边上的中线和高互相重合.
23.四边形：
(1)n边形的内角和等于(n－2)180°,
外角和等于360°.
(2)平行四边形的性质:对边平行且相
等;对角相等;邻角互补;对角线互相平分.
(3)证明一个四边形是平行四边形的方
法有:①先证两组对边平行.②先证两组对
边相等. ③先证一组对边平行且相等.④先
证两条对角线互相平分.⑤先证两组对角分
别相等.
(4)矩形的对角线相等且互相平分;菱
形的对角线互相垂直平分,并且四条边相
等.
(5)证明一个四边形是矩形的方法
有:①先证明它有三个角是直角.②先证它
是平行 四边形,再证它有一个角是直角或对
角线相等.
(6)证明一个四边形是菱形的方法
有:①先证明它的四条边相等.②先证它是
平行四边形,再
证它有一组邻边相等或对角线互相垂直.
(7)正方形既是矩形又是菱形,它具有
矩形和菱形的所有性质.
(8)梯形的中位线平行于两底并且等于
两底之和的一半.
(9)轴对称图形有:线 段,角,等腰三角
形,等腰梯形,矩形,菱形,正方形,正多边形,
圆. 中心对称图形有:线段,平行四边形,矩
形,菱形,正方形,边数是偶数的正多边形,
圆. < br>24.证明两个三角形相似的方法有:①
先证两组对应角相等.②先证两边对应成比
例并 且夹角相等.③先证三边对应成比
例.④先证斜边和一条直角边对应成比例.
相似三角形的性质 :对应高的比,对应角平
分线的比,对应中线的比,周长的比,都等于
相似比.面积的比等于
相似比的平方.
25.平行切割定理：
26.射影定理：ΔABC中,若
∠ACB=90°,CD⊥AB,则:①AC2=AD·AB. ②
BC2=BD·BA . ③AD2=DA·DB.
27.圆的有关性质：
（1) 垂径定理:如果一条直线具备以下
五个性质中的任意两个性质:①经过圆
心;②垂直弦;③平分 弦;④平分弦所对的劣
弧;⑤平分弦所对的优弧,那么这条直线就
具有另外三个性质.注:具备 ①,③时,弦不
能是直径.
(2)两条平行弦所夹的弧相等.
(3)在同圆或等圆 中,如果两个圆心角、
两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组
量相等,那么它所对应的其余 三组量都分别
相等.
(4)圆心角的度数等于它所对的弧的度
数.
(5)一条弧所对的圆周角等于它所对的
圆心角的一半.
(6)圆周角等于它所对的弧的度数的一
半.
(7)弦切角等于它所夹的弧的度数的一
半.
(8)同弧或等弧所对的圆周角相等.
(9)在同圆或等圆中,相等的圆周角所
对的弧相等.
(10)90°的圆周角所对的弦是直径.
(11)圆内接四边形的对角互补,外角等
于它的内对角.
28.直线和圆的位置关系
（1）若⊙O的半径为r,圆心到直线L
的距离为d,则 :①d交.②d=r直线L和⊙O相切.③d>r直线L
和⊙O相离. < br>(2)切线的判定定理:经过半径外端并
且垂直这条半径的直线是圆的切线.反之:
切线 垂直
过切点的半径.
(3)切线长定理,弦切角定理,相交弦定
理及其推论,切割线定理及其推论.
(4 )三角形的内切圆的圆心叫做三角形
的内心.三角形的内心就是三内角平分线的
交点.三
角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心.三
角形的外心就是三边中垂线的交点.
(5)圆外切四边形的一组对边的和等于
另一组对边的和.
29.圆和圆的位置关系
（1)设两圆半径为R和r,圆心距为d,
则:①d>R+r 两圆外离.②d=R+r 两圆外
切.③R－r－r 两圆内切.⑤d30.圆中常作的辅助线（1)两圆相交,
常作公共弦 ,连心线.(2)两圆相切,常作公
切线,连心线.(3)已知切线,常过切点作半
径.(4) 已知直径,常作直径所对的圆周
角.(5)求解有关弦的问题,作弦心距.(6)弧
的中点常和 圆心连结.
31.正n边形各边相等,各角相等。
32.面积公式:①S正Δ. ②S平行四边形=底×
高.③S菱形=底×高=对角线的积
④S圆=πR2.⑤C圆周长=2πR.⑥弧长L
⑦S扇形