内计算公式谈单摆周期公式中的等效摆长和等效重力加速度-2019年文档

谈单摆周期公式中的等效摆长和等效重力加速度

单摆的周期公式T=2π是惠更 斯从实验中总结出来的,单摆
的恢复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力
(mgs inθ)偏角越大回复力越大,由于摆球的轨迹是圆弧,所以除
最高点外摆球的恢复力并不等于合外力。 在有些振动系统中,L
不一定是绳长,g也不一定是当地的重力加速度,因此出现了等效
摆长和 等效重力加速度的问题。
等效摆长:在摆球的直径远小于绳长的情况下,摆长L为小
球 重心与悬点间的距离。即L=L+r,其中L为摆线长,r为小球重
心与球绳连接点间的距离。通常使用 均匀球体,r为球的半径。
例如图(1)所示用两根等长的细线悬挂在水平天花板下的双线摆
的 等效摆长为l'=Lsinα。
例如图(2)所示等效摆长为:l'=L+Lsinα=L(1+sinα),故周
期T=2π。
例如图(3)所示是一种记录地震装置的水平摆,摆球m固定
在边长为L、质量可忽略不计 的等边三角形的顶点A上,它的对
边BC跟竖直线成不大的夹角α,摆球可绕固定轴BC摆动,求摆球做微小振动的周期?
解(1) 如图(4)所示摆球处于平衡位置时过A作一竖直线,< br>延长BC交与D(如右图),DA即为等效摆长,其长度
为:l'=sin60°=L,而等效重 力加速度仍为g,因此周期为
T=2πL。
解(2) 如图(3)所示在平衡位置时( 图中的ABC平面内),把
摆球的重力G分解为与轴BC平行的分力G1和与轴垂直的分力
G2 ,此时等效摆长为l=Lsin60°=L,等效重力加速度为
g'==gsinα,因此周期为T=2 πL。
1.等效重力加速度:公式中的g由单摆所在的空间位置决定,
由G=g知,g 随地球表面不同位置、不同高度而变化。在不同的
星球上也不相同,因此应求出单摆所在处的等效重力加 速度,即g
不一定等于9.8ms2。
2. g还由单摆系统的运动状态决定。如单摆 处于加速上升
的升降机内,设加速度为a,此时摆球处于超重状态,摆球静止在
平衡位置时,悬 线对摆球的拉力为mg+ma,摆球的质量不变则等效
重力加速度为g+a。再如,单摆处在在轨道上航 行的航天飞机内,
摆球完全失重,悬线的拉力是零,等效重力加速度是零,因此周期
无穷大,即 单摆不摆动了。
3. g还由摆球所处的物理环境决定,如图(6)所示带电小球
做成 的单摆在竖直方向的匀强电场中静止时,悬线的拉力是
mg+qE,此时等效重力加速度为g'=mg+ qEm。
所以等效重力加速度等于摆球在平衡位置不摆动时,摆线的
拉力与摆球质量的比值。
4 .如图(7)所示若带电小球处在水平方向的匀强电场中,摆
球的平衡位置在O处(也叫物理最低点), 此时摆线对小球的拉力
为F=,等效重力加速度是g'=。
5.对于一些特殊情况,用 摆球在平衡位置不摆动时,摆线的
拉力与摆球质量的比值,来求等效重力加速度就不再成立,如图
(5)所示在悬点和小球都带同种电荷的情况下,小球静止在平衡
位置时悬线的拉力为F=mg+K, 但此时等效重力加速度g'=g,即周
期为2π,因为尽管悬线的拉力大于mg,但在摆动过程中摆球的
恢复力仍等于mgsinα,即静电力对恢复力没有贡献。
综上所述,等效重力加速度 的求法,在恒力场里,当摆球在平
衡位置不摆动时,可以用摆线的拉力与摆球质量的比值来求等效
重力加速度。