n求和公式用样本方差估计总体方差

第2课时 用样本方差估计总体方差

1．会用样本方差估计总体方差；(重点、难点)
2．体会样本代表性的重要意义．

一、情境导入
某篮球队对运动员进行3分球投篮成绩测试，每人每天投3分球10 次，对甲、乙两名
队员在五天中进球的个数统计结果如下：
队员
甲
乙
每人每天进球数
10
7

6
9

10
7

6
8

8
9
他们的平均进球数都是8，现在从甲、乙两名队员中选出一人去参加3分球投篮大赛，
你认为应该选哪 名队员去？为什么？
二、合作探究
探究点一：用样本方差估计总体方差
【类型一】 质量问题
两台机床同时生产直径(单位：mm)为10的零件，为了检验产品 的质量，质量检
验员从两台机床的产品中各抽出5件进行测量，结果如下：
机床甲
机床乙
8
7
9
10
10
10
11
10
12
13
如果你是质量检验员，在收集到上述数据 后，你将利用哪些统计知识来判断这两台机床
生产的零件的质量优劣？
解析：求出每组数据的平均数，根据方差公式求出每组的方差，然后根据方差的大小进
行比较．
11
解：x
甲
＝(8＋9＋10＋11＋12)＝10(mm)，x
乙
＝(7＋10＋10＋10＋13)＝10(mm)．由于
55
x
甲
＝x
乙
，因此平均直径不能反映两台机床生产出的零件的质量优劣；
222
再计算方差，可得s
2
甲
＝2，s
乙
＝3.6，∵s
甲< br>乙
，∴甲机床生产出的零件直径波动小．∴
从产品质量稳定性的角度看，甲 机床生产的零件质量更好一些；
从众数来看，甲机床只有1个零件的直径是10mm，而乙机床有3个 零件的直径是10mm，
∴从众数的角度看，乙机床生产的零件质量更好一些．
方法总结：解 决此题，要先分别计算两组数据的平均数，只有在平均数相等或非常接近
的情况下，才能利用方差的大小 判断数据的稳定性．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
【类型二】 产量问题

在8个试验点对两个早稻品种进行栽培对比试验，它们在各试验点的产量如下(单
位：kg)：
甲：402，492，495，409，460，420，456，501；
乙：428，466，465，428，436，455，449，459.
哪种水稻的平均产量较高？哪种水稻的产量比较稳定？
解析：要比较哪种水稻的产量稳定，需比较两种水稻产量的方差．
1
解：x
甲
＝(402＋492＋495＋409＋460＋420＋456＋501)＝454.375(kg )，
8
1
x
乙
＝(428＋466＋465＋428＋436＋4 55＋449＋459)＝448.25(kg)，
8
1
222
s
2
甲
＝[(402－454.375)＋(492－454.375)＋…＋(501－454 .375)]≈1407，
8
1
222
s
2
乙
＝ [(428－448.25)＋(466－448.25)＋…＋(459－448.25)]≈216. 8
2
因为x
甲
>x
乙
，所以甲种水稻的平均产量较高； 又因为s
2
甲
>s
乙
，所以乙种水稻比甲种水稻
的产量稳定 ，由此可估计乙种水稻的产量比较稳定．
方法总结：方差越小，产量越稳定．当样本具有代表性时，可用样本方差去估计总体方
差．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题
【类型三】 比赛成绩问题
如图所示是甲、乙两人10次射击成绩(环数)的条形统计图，则下列说法正确的是
( )

A．甲比乙的成绩稳定
B．乙比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人的成绩一样稳定
D．无法确定谁的成绩更稳定
8×4＋9×2＋1 0×48×3＋9×4＋10×3
1
解析：∵x
甲
＝＝9(环)，x
乙
＝＝9(环)，s
2
甲
＝×
101010
[4×(8－9 )
2
＋2×(9－9)
2
＋4×(10－9)
2
]＝0.8 ，s
2
乙
＝
1
×[3×(9－8)
2
＋4×(9－ 9)
2
＋3×(10－
10
2
9)
2
]＝0.6， ∵x
甲
＝x
乙
，s
2
甲
>s
乙
， ∴乙比甲的成绩稳定．故选B.
方法总结：从统计图中读取数据信息是解决本题的前提．方差是反映数据稳定性的统计

量，方差越小，数据稳定性越好．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
探究点二：根据方差做决策
【类型一】 根据方差做决策
某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加， 按团体总数排列名
次，在规定时间内每人踢100个以上(含100个)为优秀，下表是成绩最好的甲、 乙两班各5
名学生的比赛数据(单位：个).


甲班
乙班
1号
89
100
2号
100
96
3号
96
110
4号
118
90
5号
97
104
总数
500
500
统计发现两班总数相等，此时有人 建议，可以通过考查数据中的其他信息来评判．试从
两班比赛数据的中位数、方差、优秀率三个方面考虑 ，你认为应该选定哪一个班为冠军？
解析：平均数＝总成绩÷学生人数；中位数是按次序排列后的第3 个数．根据方差的计
算公式得到数据的方差．
解：甲班5名学生比赛成绩的中位数是97个，乙班5名学生比赛成绩的中位数是100
个；
11
x
甲
＝×500＝100(个)，x
乙
＝×500＝1 00(个)；
55
1
22222
s
2
甲
＝[(8 9－100)＋(100－100)＋(96－100)＋(118－100)＋(97－100)]＝94，
5
1
22222
s
2
乙
＝[(100－100)＋ (96－100)＋(110－100)＋(90－100)＋(104－100)]＝46.4；
5
甲班的优秀率为2÷5×100%＝40%，乙班的优秀率为3÷5×100%＝60%；
答：应选乙班定为冠军．因为乙班5名学生的比赛成绩的中位数比甲班大，方差比甲班
小，优秀 率比甲班高，综合评定乙班踢毽子水平较高．
方法总结：在解决决策问题时，既要看平均成绩，又要看 方差的大小，还要分析变化趋
势，进行综合分析，从而做出科学的决策．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题
【类型二】 结合方差与图表信息解决问题
为了了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间 ，小明对班级同 学一周内收看
“两会”新闻的次数情况作了调查，调查结果统计如图所示(其中男生收看3次的人数没有
标出)．


根据上述信息，解答下列各题：
(1)该班级女生人数是________，女生收看“两会”新闻次数的中位数是________；
(2)对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体
总人数 的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”．如果该班级男生对“两会”新闻
的“关注指数”比女 生低5%，试求该班级男生人数；
(3)为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点， 小明给出了男生的部
分统计量(如下表)．

统计量
(次)
(次)
(次)
该班级男生
收看人数
平均数
中位数
众数
方差

3





3





4





2
根据你所学过的统计知识，适当计算女生的有关统计量， 进而比较该班级男、女生收看
“两会”新闻次数的波动大小．
解析：(1)将柱状图中的女生 人数相加即可求得总人数，中位数为第10与11名同学的
次数的平均数；(2)先求出该班女生对“两 会”新闻的“关注指数”，即可得出该班男生对
“两会”新闻的“关注指数”，再列方程解答即可；(3 )比较该班级男、女生收看“两会”
新闻次数的波动大小，需要求出女生的方差．
解：(1)20人 3
(2)该班女生对“两会”新闻的“关注指数”为
13
×100%＝65%，所以男生对“两会”
20
x－（1＋3＋6）
＝60%，解得 x＝25，
x
新闻的“关注指数”为60%.设该班的男生有x人，则
答：该班级男生有25人；
1×2＋2×5＋3×6＋4×5＋5×2
(3)该班级女生收看“两会”新闻次数的平均数为 ＝3，
20
女生收看“两会”新闻次数的方差为
2×（3－1）
2
＋5×（3－2）
2
＋6×（3－3）
2
＋5×（3－4）
2
＋2×（3－5）
2
13
＝，因
2010
为2＞错误!.所以男生 收看“两会”新闻次数的波动幅度比女生收看“两会”新闻次数的波
动幅度大．

方 法总结：解答此类问题，首先要读懂图表，弄清楚统计图表的意义和统计图表中每部
分的具体数据，从图 表中提取有效信息．问题的顺利解答在很大程度上取决于是否能够正确
地识图表、用图表．
三、板书设计


本节课学习了用样本方差来估计总体方差，注意样本的选 择应具有代表性．教学过程中通过
实例的讲解感受抽样的必要性，体会用样本估计总体的思想，增强学生 的探索推理能力以及
逻辑思维能力