歌能-宣传语
§2.6 条件分布与条件数学期望
一、
条件分布 我们知道随机变量的分布列全面地描述了随机变量的统计规律，如果要同
时研究两个随机变量，就需 要他们的联合分布列，设二维随机变量（
能取值为（
）的可
）i.j=1.2…,为了 计算联合分布列，利用乘法公式：
其中
常常记作
1）
2）
这说明
事实上因而
是表示在“
j=1.2…容易验证这时有
i=1.2…
” 的条件下””的条件概率，
具有分布列的两个性质，
确是一个分布列 ，它描述了在””的条件
下，随机变量的统计规律，当然一般来说这个分布列与 原来的分布列
不同，称为条件分布列。
如果（
从而
）的联合分布列已知，则边际分布列为：
， （或 ， ）也可求得联合分布列
由对称性，同时还有
反过来，如果已知
。
设 与 相互独立
显然当 与 相互独立时
，。
二、
条件数学期望
既然
1、
定义
定义：设随机变量在“”条件下的条件分布列为，
是一个分布列，当然可以对这个分布列求数学期望；
又 ， 则称
。
为在“”条件下的条件数学期望，简
称条件期望，记作
例1：某射手进行射击，每 次击中目标的概率为p(0
的射击次数，试求：联合分布列
。
解： 其中
, 条件分布列, 及条件期望
于是条件分布列为：
这时
在这个例子中，条件期望
。
的意义是很直观的，如果已知第二次击
中发生在第n次射击，那么第一次击中目标的可能性在第一，第二 、……第n-1
次，并且发生在第
在已知
均值为。
2、
条件数学期望的性质
条件期望具有与普通数学期望相类似的性质，例如有：
1）若 ，则存在，且有
；
,
存在，且
存在
。
次的概率都是 ，因为也就是说
的条件下， 的取值为1，2……，n-1是等可能的，从而它的
特别地， 当c为一个常数时，
2）若
则
是两个常数，又
=
前面考察了在固定“
+ ；
” 的条件下条件期望的性质，由条件期望定义可
就有一个确定的实数
时，这个
知，当给定时，对于的每一个可能取值
与之对应，因而
函数值就等于
3）
而
是 的单值函数，当
。
，记这个函数为
由此刻可知，随机变量 对 求条件期望后再期望，等于对这个随机变量
直接求期望，这是条件期望的一个重要的基本性质。
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本文更新与2020-09-10 19:55，由作者提供，不代表本网站立场，转载请注明出处：https://www.bjmy2z.cn/gaokao/391702.html
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