市场的公式随机变量的数字特征练习题

解. 由离散型随机变量
的数学期望公式可知

E(X)=1×18+2
×14+3×12+4×
18=218;
1.设随机变量X的概率分布为
X 1 2 3 4
p 18 14 12 18
求E(X),E(X
2
),E(X+2)
2
.
E(X
2
)= 1
2
×18+2
2
×
14+3
2
×12+4
2
×
18=618;
E(X+2)
2
=E(X
2
+4X+4)

=E(X
2
)+4E(X)+4=618+4
×218+4=1778.

解.由题意可知,随机变量
X
的取值范围是
0, 1, 2, 3,且取这些值的概率为



2.某种产品共有10件, 其中有次品3件.现从
中任取3件,求取出的3件产品中次品数X
的数学期望和方差.

.
因此 E(X)=0×724+1×
2140+2×740+3×1120=910;
E(X
2
)=0
2
×724+1
2
×2140+2
2
×740+3
2
×1120=1310;
∴
D(X)=E( X
2
)-(E(X))
2
=1310-(910)
2
=49 100.

解. 随机变量X表示在取得合格品之前,
已经取出的废品数.
所以 X的所有可能取值为0, 1, 2, 3,
且取这些值的概率为

P
(
X
=0)=912=34





3.一批零件中有9个合格品与3个废品,在安
装机器时,从这批零件中任取1个,如果取出


的是废品就不再放回.求在取得合格品之前,
已经取出的废品数的数学期望和方差.

.
所以由数学期望公式得到
E(X)=0×34+1×944+2
×9220+3×1220=0.3
E(X
2
)= 0
2
×34+1
2
×
944+2< br>2
×9220+3
2
×1220=922
∴ < br>D(X)=E(X
2
)-(E(X))
2
=922-0.3
2
=0.319.

4.射击比赛,每人射
解. 随机变量X表示此人的得分.
四次(每次一发),约
定全部不中得0分,
根据题意,可得
只中一弹的得20
分,中两弹得40分,

,

中三弹得70分,中
四弹得100分.某人
每次射击的命中率

均为35,求他得分
的数学期望.

,

,


,



.


所以


=54.05.

解. 根据连续型随机变量的数学期望和方差公式可知

5.设随机变量X的概率
分布密度函数为


又因为

,
求X的数学期望和方
差.





;
∴
D
(
X
)=
E
(
X
2
)-(
E
(< br>X
))
2
=π
2
12-12 .

6.设随机变量X的概率分布
解. 根据连续型随机变量的数学期望和方差公式可
密度函数为
知



,

.
求X的数学期望和方差.
又根据密度函数的性质


∴ A=1516 即 E(X)=1.
又∵

;

得到
∴ D(X)=E(X
2
)-(E(X))
2
=87-1=17.

解. 显然常数a＞0.
由密度函数的性质
7.设随机变量X的概率
分布密度函数为

根据数学期望公式得到
,

;

;


①
可知
且已知方差D(X)=1, 求

常数a和b.
∴ 由已知 D(X)=E(X
2
)-(E(X))
2
=a
3
b6=1 ②
解方程①②得到 .

8.设随机变量X的概率分布密度函数为
,
求X的方差.

解. 根据连续型随机变量的数学
期望和方差公式可知





∴
D(X)=E(X
2
)-(E(X))
2
=16-0=16.