误差传递公式三角函数公式与推导公式

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三角函数公式
定义式：
锐角三角函数 任意角三角函数
图形

任意
直角三角形
角三角函数
正弦（sin）
余弦（cos）
正切（tan或tg）
余切（cot或ctg）
正割（sec）
余割（csc）
函数关系
倒数关系：



商数关系：

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平方关系：



诱导公式
公式一：设
为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

公式二：设
为任意角，
与的三角函数值之间的关系：

公式三：任意角
与的三角函数值之间的关系：

公式四：
与的三角函数值之间的关系：

公式五：
与的三角函数值之间的关系：
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公式六：

及
与

的三角函数值之间的关系：

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记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°± α，则函数名
称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如
2k ×90°±α，则函数名称不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：
k×π 2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函
数值，前面加上一个把α看 作锐角时原三角函数值的符号；
(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看 作锐角时
原三角函数值的符号。
记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：


记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角．

以诱导公式二为例：

若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的 角（终边
在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三
象限是 负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二．
以诱导公式四为例：


若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在
第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值
在第二象限是负值，正切 函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了
诱导公式四．
诱导公式的应用：
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运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：


特别提醒：三角函数化简与求 值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函
数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求 是项数要最少，次数
要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。
基本公式
和差角公式
二角和差公式






证明如图，负号的情况只需要用-
β
代替
β
即可．cot(
α
+
β
)推导只需把角
α
对边设
为1，过程与tan(α
+
β
)相同．
证明正切的和差角公式

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证明正弦、余弦的和差角公式



三角和公式


和差化积





口诀：正加正，正在前，余加余，余并肩，正减正，余在前，余减余，负正弦．
积化和差




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倍角公式
二倍角公式



三倍角公式





证明：

sin
3
a
=sin(a+2a)
=sin^2a·cosa+cos^2a·sina
=2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina
=3sina-4sin^3a
cos
3
a
=cos(2a+a)
=cos^2acosa-sin^2asina
=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa
=4cos^3a-3cosa
sin
3
a
=3sina-4sin^3a
=4sina(34-sin^2a)
=4sina[(√32)-sina][(√32)+sina]
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
=4sina*2s in[(60+a)2]cos[(60°-a)2]*2sin[(60°-a)2]cos[60°+a)2 ]
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)
cos
3
a
=4cos^3a-3cosa
=4cosa(cos^2a-34)
=4cosa[cos^2a-(√32)^2]
=4cosa(cosa- cos30°)(cosa+cos30°)
=4cosa*2cos[(a+30°)2]cos[ (a-30°)2]*{-2sin[(a+30°)2]sin[(a-30°)2]}
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]
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=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
上述两式相比可得：
tan
3
a=tana·tan(60°-a)·tan(60°+a)
四倍角公式
sin
4
a=-4*[cosa*sina*(2*sina^2-1)]
cos
4
a=1+(-8*cosa^2+8*cosa^4)
tan4
a=(4*tana-4*tana^3)(1-6*tana^2+tana^4)
五倍角公式



n
倍角公式
应用欧拉公式：

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上式用于求n倍角的三角函数时，可变形为：


所以，

其中，Re表示取实数部分，Im表示取虚数部分．而

所以，
n倍角的三角函数

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半角公式

（正负由所在的象限决定）
万能公式

辅助角公式

证明：
由于

，显然
，且


故有：
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三角形定理
正弦定理
详见词条：正弦定理

在任意△
ABC
中，角< br>A
、
B
、
C
所对的边长分别为
a
、
b
、
c
，三角形外接圆的
半径为
R
．则有：

正弦定理变形可得：



余弦定理
详见词条：余弦定理

在如图所示的在△
ABC
中，有

余弦定理

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或

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