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加速运动公式三角函数推导及公式大全

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-10 21:15
tags:三角函数诱导公式

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三角函数诱导公式
公式一:设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等
sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)
cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)
tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)
cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)
公式二:设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
公式三:任意角α与- α的三角函数值之间的关系
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα
公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
公式六:π2±α与α的三角函数值之间的关系
sin(π2+α)=cosα
sin(π2-α)=cosα
cos(π2+α)=-sinα
cos(π2-α)=sinα
tan(π2+α)=-cotα
tan(π2-α)=cotα
cot(π2+α)=-tanα
cot(π2-α)=tanα

诱导公式记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限”。
“奇、偶”指的是π2的倍数的奇偶,“ 变与不变”指的是三角函数的名称
的变化:“变”是指正弦变余弦,正切变余切。(反之亦然成立)“符 号看象限”
的含义是:把角α看做锐角,不考虑α角所在象限,看n·(π2)±α是第几象
限 角,从而得到等式右边是正号还是负号。以cos(π2+α)=-sinα为例,等
式左边cos(π 2+α)中n=1,所以右边符号为sinα,把α看成锐角,所以π2<
(π2+α)<π,y=co sx在区间(π2,π)上小于零,所以右边符号为负,所
以右边为-sinα。

符号判断口诀:
全,S,T,C,正。这五个字口诀的意思就是说:第一象限内任何一个角的 四种三
角函数值都是“+”;第二象限内只有正弦是“+”,其余全部是“-”;第三象限内
只 有正切和余切是“+”,其余全部是“-”;第四象限内只有余弦是“+”,其余全
部是“-”。 也可以这样理解:一、二、三、四指的角所在象限。全正、正弦、正切、余
弦指的是对应象限三角函 数为正值的名称。口诀中未提及的都是负值。
“ASTC”反Z。意即为“all(全部)”、“si n”、“tan”、“cos”按照将字母Z反
过来写所占的象限对应的三角函数为正值。

另一种口诀:正弦一二切一三,余弦一四紧相连,言之为正。

万能公式推导
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα[cos2(α)+sin2(α)],

(因为cos2(α)+sin2(α)=1)

再把分式上下同除cos^2(α),可得sin2α=2tanα[1+tan2(α)]

然后用α2代替α即可。

同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

三倍角公式推导
tan3α=sin3αcos3α

=(sin2αcosα+cos2αsinα)(cos2αcosα-sin2αsinα)

=[2sinαcos2(α)+cos2(α)sinα-sin3(α)][cos3( α)-cosαsin2(α)-
2sin2(α)cosα]

上下同除以cos3(α),得:

tan3α=[3tanα-tan3(α)][1-3tan2(α)]

sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

=2sinαcos2(α)+[1-2sin2(α)]sinα

=2sinα-2sin3(α)+sinα-2sin3(α)

=3sinα-4sin3(α)

cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα

=[2cos2(α)-1]cosα-2cosαsin2(α)

=2cos3(α)-cosα+[2cosα-2cos3(α)]

=4cos3(α)-3cosα



sin3α=3sinα-4sin3(α)

cos3α=4cos3(α)-3cosα

和差化积公式推导
首先, 我们知道sin(a+b)=sinacosb+cosasinb,sin(a-b)=sinacosb- cosasinb

我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb

同理,若把两式相减,就得到cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]2

同样的,我们还知道cos(a+b)=cosacosb- sinasinb,cos(a-b)=cosacosb+sinasinb

所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb

同理,两式相减我们就得到sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]2

这样,我们就得到了积化和差的公式:

cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]2

sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]2

好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的
四个公式

我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)2,b=(x-y)2

把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:

sinx+siny=2sin[(x+y)2]cos[(x-y)2]

sinx-siny=2cos[(x+y)2]sin[(x-y)2]

cosx+cosy=2cos[(x+y)2]cos[(x-y)2]

cosx-cosy=-2sin[(x+y)2]sin[(x-y)2]

同角三角函数的基本关系式
倒数关系

tanα ·cotα=1

sinα ·cscα=1

cosα ·secα=1

商的关系

sinαcosα=tanα=secαcscα

cosαsinα=cotα=cscαsecα

平方关系

sin2(α)+cos2(α)=1

1+tan2(α)=sec2(α)

1+cot2(α)=csc2(α)

同角三角函数关系六角形记忆法
构造以“上弦、中切、下割;左正、右余、中间1”的正六边形为模型。

倒数关系

对角线上两个函数互为倒数;

商数关系

六边形任 意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。(主要是两条虚线
两端的三角函数值的乘 积,下面4个也存在这种关系。)由此,可得商数关系式。

平方关系

在带有阴影线的三角形中,上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函
数值的平方。

总结
两角和差公式

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ )(1-tanαtanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)(1+tanαtanβ)

二倍角的正弦、余弦和正切公式

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos2(α)-sin2(α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α)

tan2α=2tanα[1-tan2(α)]

tan*(12)α+=(sin α)(1+cos α)=(1-cos α)sin α

半角的正弦、余弦和正切公式

sin2(α2)=(1-cosα)2

cos2(α2)=(1+cosα)2

tan2(α2)=(1-cosα)(1+cosα)

tan(α2)=(1—cosα)sinα=sinα1+cosα

万能公式

sinα=2tan(α2)*1+tan2(α2)+

cosα=[1-tan2(α2)][1+tan2(α2)]

tanα=[2tan(α2)][1-tan2(α2)]

三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin3α=3sinα-4sin3(α)

cos3α=4cos3(α)-3cosα

tan3α=[3tanα-tan3(α)][1-3tan2(α)]

三角函数的和差化积公式

sinα+sinβ=2sin[(α+β)2]cos[(α-β)2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)2]sin[(α-β)2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)2]cos[(α-β)2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)2]sin[(α-β)2]

三角函数的积化和差公式

sinα·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=- 0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]

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