海伦公式.8.诱导公式

课题序号
课题名称
教
学
目
标

教学重点
与难点


学情
分析

15-18
诱导公式
课 型
授课时数
新授课
4课时
1．通过本节课的教学，使学生掌握诱导公式的推导方法和记忆方法．
2．会运用这些公式求解任意角的三角函数的值，并会进行一般的三角关
系式的化简和证明．
3．培养学生观察问题、解决问题、抽象概括问题的能力，并注意完善学
生的基本数学思想和数学意识．
重点：诱导公式的类型
难点：诱导公式的推广
从学生熟悉的特殊角的三角函数值入手，慢慢渗透引入非特殊角的三角函数
求值。
板


书


设


计


诱导公式及其法则1
诱导公式及其法则2
诱导公式及其法则3
诱导公式及其法则4
诱导公式及其法则5
例题分析及课外练习


教后记





理清并熟记诱导公式的5个法则，利用讲练结合的形式完成相关练习。


1

教学程序
与内容
一、新课
讲授

教 师 活 动
师：我们前面学习过诱导公式一，请说出诱导公 式一及其文字叙述．它
在转化任意角的三角函数中所起的作用是什么？
生：（学生口述的同时，教师板书诱导公式一．）
sin（k·360°+α）=sinα，cos（k·360°+α）=cosα
tan（k·360°+α）=tanα，cot（k·360°+α）=cotα．
（k∈Z）
文字叙述：终边相同的角的同一个三角函数的值相等．
它在转化任意角的三角函数中所 起的作用是：把求任意角的三角函
数值的问题，转化为求0°～360°（或0～2π）之间角的三角函 数
值的问题．
师：（副板书）试求出sin2016°的值．
生：由公式一，
sin2016°=sin（5×360°×216°）=sin216°． （至此，绝大多数
同学已无法再演算下去了．）
（以旧知识的复习，导出新的问题，使学生 新的求知欲得到激发，渴
望得到回答，以达到以旧带新，以旧拓新的目的．）
师：能否导 出一些新的公式来解决这类问题？可先看这道具体问题
如何求解．我们知道0°～90°之间的角的三角 函数值可以通过查表
求得．那么，能否借助一个工具，在0°～90°之间找到一个角α，
把求 sin216°的值的问题转化为求α角的三角函数值问题？（进一步
诱导，使学生进入愤悱状态．）
师：（投影图1）216°角的终边OP在第三象限内，将OP反向


2
学生
活动
























延长，与单位圆交于P′ 点，则在0°～90°之间找到一个角α=216°
-180°=36°．由于△OPM≌△OP′M′ ，所以有MP=M
′P′．又因为sin216°=MP，sin36°=M′P′，而MP与M′P ′的
长度相同、方向相反，所以有sin216°=-sin36°．这样便把求sin216°
的值的问题，转化为可查表的36°角的三角函数求值问题．
你能把以上几何变换的过程，用三角关系式表示出来吗？
生：sin216°=sin（180°+36°）=-sin36°．
师：180°～ 270°之间角的余弦函数问题，是否也可以通过这种变
换，转化为求α角在0°～90°之间的三角函 数问题？（迁移作用）

师：180°～270°之间角的正切、余切函数的求值问题，是否 也可以
通过这样的变换转化求值？
（师适当提示：方法1，仍通过三角函数线观察出结果）
师：可见180°～270°之间角的三角函数求值问题都可以通过类似
的变换求出三角函数 的值．能否把这种变换求值的方法，总结成公式
形式？
（从具体问题的求解，到公式的形成是一种质的飞跃．）
师：（适当提示：先把180°～270°之间的角用α（α是0°～90°
之间的角）表示出来．）
sin（180°+α）=-sinα，cos（180°+α）=-cosα，
tan（180°+α）=tanα，cot（180°+α）=cotα．
师：这组公式通 常称为诱导公式二．观察其结构特征：①同名函数关
系；②符号规律：右边符号与180°+α角所在象 限（第三象限）角的
原三角函数值的符号相同．（为总结公式的记忆方法打基础．）

师：任意角的三角函数值问题，可以由公式一化为0°～360°之间角
的三角函数值问题；180° ～270°之间角的三角函数值，又可通过诱
导公式二化为0°～90°之间角的三角函数值，从而得出 函数值；那
么90°～180°、270°～360°之间的角的三角函数值问题，能否转
3
化为0°～90°之间角的三角函数值来求出解答？（横向联想，公式
二的归纳过程，会对学生 的思维产生正向的影响．）
（师提示：由对称性找出角的终边间的关系，再证出三角函数线的数
量关系，正切、余切函数的诱导公式可由同角三角函数的基本关系式
推出．）

sin（-α）=-sinα，cos（-α）=cosα，
tan（-α）=-tanα，cot（-α）=-cotα．
（及时评价、反馈．）
师：这组公式通常称为诱导公式三．观察其结构特征：①同名函数
关系；②符号规律是：右边符号与- α所在的第四象限角的原三角函
数值的符号相同．
sin（180°-α）=sinα，cos（180°-α）=-cosα，
tan（180°-α）=-tanα，cot（180°-α）=-cotα．
（师及时评价、反馈．）
师：这组公式通常称为诱导公式四．观察其结构特征：①同名函数 关
系；②符号规律：右边符号与180°-α所在的第二象限角的原三角函
数值的符号相同．
师：由于360°-α角与-α角的终边相同，它们的同一三角函数值相
等，所以有（板书）
sin（360°-α）=-sinα，cos（360°-α）=cosα，
tan（360°-α）=-tanα，cot（360°-α）=-cotα．
师：目前 ，连同公式一，我们一共得到了五组诱导公式，利用它们，
可以求出任意角的三角函数值．为使公式更具 一般性，不妨大胆猜测：
若公式中的角α为任意角，公式是否仍能成立？（推广到一般性．）
师：本节课推得的公式较多，如何记忆这些公式呢？（机械记忆显然
不可行．）




4
教学程序
与内容





















二．实例分
析
















教 师 活 动
由推证公式的过程可知，其结构具有一定的规律性：①等号两边的函< br>数名称相同；②符号规律：把α看作锐角时，等号右边的符号与
k·360°+α（k∈Z）（第 一象限角）、-α（第四象限角）、180°+α
（第三象限角）、180°-α（第二象限角）、36 0°-α（第四象限角）
所在象限的原三角函数值的符号相同．（可回顾图2）
综上所述，这些公式可以概括如下
k·360°+α（k∈Z），-α，180°±α，360°- α的三角函数值，
等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的
符号．
师：用诱导公式都可以解决哪些问题？（自问自答）
作用1：求值．一般可按如下步骤进行：
学生
活动


以上步骤可简化为：
负化正；正化主；主化锐角可查表．
（0°～360°之间的角α叫做主值或主角）
例1 求下列各三角函数值

．



再由诱导公式一“正化主”，注意去掉的是2kπ即12π，而不能去掉
5









































（2）tan2025°=tan（5×360°+225°）=tan225°=tan（180°+ 45°）
=tan45°=1．
师：新学公式，不得跳步．（3）、（4）小题请同学完成 ．（各请一位同
学板演，同时教师巡视．）
（3）cos（-519°）=cos519°=cos（360°+159°）=cos159°
=cos（180°-21°）=-cos21°=-0.9336．

（及时反馈．）
例2
tan（-α）．
分析：本题既要看代数结构，三角结构，还要观察角的结构．请同学
观察：
（1）各项均与角α有关，所以先用诱导公式化简为同角的三角函数；
（2）需求sinα，cosα，tanα的值；
（3）求和可得到解答．
解


（说明：以上过程可由学生先解，然后老师及时反馈．）
例3 求证：
师：请同学注意观察此题的代数结构、三角结构和 角的结构，然
后独立完成．（一名同学板演，同时老师巡视．）

6






三，课堂练
习

四，课堂小
结










五，课外作
业

=1


课本P76练习3


记忆公式，要把握五组公式的结构特征：
（1）函数名称关系：函数名相同；
（2）符号规律：公式右边的符号为把α视为锐角时， 角k·360°+
α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α所在象限的原三角函数值的符号．（回顾图2-7）
记忆：水平诱导名不变；符号看象限．
应用：（1）计算求 值．步骤可简单记为：负化正，正化主，主化锐角
可查表．（2）化简证明．要分析题目的三个结构—— 代数结构、三角
结构和角的结构．
希望同学们今后在不断的应用实践中，总结出更简捷的方 法和解题步
骤．（鼓励学生不断实践和总结，以达到更好地使公式内化的目的．）

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