用电的计算公式2021版新高考数学：同角三角函数的基本关系与诱导公式含答案

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2021版新高考数学：同角三角函数的基本关系与诱导公式含
答案




















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1 19


第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公
式
sin α
[
考点要求
]

1.
理解同角三角函数的基本关系式：< br>sin
α
＋
cosα
＝
1
、
cos α
＝
tan α
；
22
π
2.
能利用单位圆中的三 角函数线推导出
2
±
α
、
π
±
α
的正弦、 余弦、正切的诱导公
式．


(对应学生用书第68页)


2 19

1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin
2
α＋cos
2
α＝1；
sin α
(2)商数关系：tanα＝
cos α
．
2．诱导公式
组序
角
正弦
余弦
正切
口诀
[
常用结论
]

1．同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cos α)
2
＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α．
2．诱导公式的记忆口诀
π
“奇变偶不变、符号看象限”、其中 的奇、偶是指
2
的奇数倍和偶数倍、变
与不变指函数名称的变化．
一
2kπ＋α(k∈Z)
sin α
cos α
tan α
二
π＋α
－sin α
－cos α
tan α
三
－α
－sin α
cos α
－tan α
四
π－α
sin α
－cos α
－tan α
五
π
2
－α
cos α
sin α

六
π
2
＋α
cos α
－sin α

函数名不变、符号看象限
函数名改变
符号看象限

一、思考辨析(正确的打“√”、错误的打“×”)

3 19

(1)若α、β为锐角、则sin
2
α＋cos
2
β＝1.( )
sin α
(2)若α∈R、则tanα＝
cos α
恒成立．( )
(3)sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( )
22
(4)若sin (kπ－α)＝
3
(k∈Z)、则sin α＝
3
.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材改编
1．化简sin 690°的值是( )
1133
A．
2
B．－
2
C．
2
D．－
2

1
B [sin 690°＝sin (720°－30°)＝－sin 30°＝－
2
.选B.]
5
π
2．若sin α＝
5
、
2
＜α＜π、则tan α＝________．
1
π
25
－
2
[∵
2
＜α＜π、∴cos α＝－1
－
sin2α＝－
5
、
sin α
1
∴tanα＝
cos α
＝－
2
.]
3．已知tan α＝2、则
sin α
＋
cos α
的值为________．
sin α
－
cos α
tan α
＋
1
2
＋
1
3 [原式＝＝＝3.]
tan α
－
1
2
－
1
π
cos
（
α
－
2
）
4．化简·sin (α－π)·cos (2π－α)的结果为______．
5
sin
（
2
π
＋
α
）
sinα
－sin
2
α [原式＝
cos α
·(－sin α)·cos α＝－sin
2
α.]

4 19


(对应学生用书第68页)
考点1 同角三角函数基本关系式
同角三角函数基本关系的应用技
巧
sin α
(1)弦切互化：利用公式tanα＝
cos α
实现角α的弦切互化．
(2)和(差)积转换：利用(sin α±cos α)
2
＝1±2sin αcos α进行变形、转化．
1
(3)“1”的变换：1＝sin
2
α＋ cos
2
α＝cos
2
α(tan
2
α＋1)＝sin2
α(1＋
tan2α
).
“知一求二”问题
π
(1)[一题多解]已知cosα＝k、k∈R、α∈(
2
、π)、则sin (π＋α)＝( )
A．－1
－
k2 B．1
－
k2

5 19

C．±1
－
k2 D．－k
π
3
(2)(20xx·福州模拟)若α∈(
2
、π)、sin (π－α)＝
5
、则tan α＝( )
4
A．－
3

3
C．－
4

4
B．
3

3
D．
4

π
(1)A (2)C [(1)法一：(直接法)由cos α＝k、α∈(
2
、π)得sin α＝1
－
k2、所
以sin (π＋α)＝－sin α＝－1
－
k2.故选A.
法二：(排除法)易知k＜0、从而sin (π＋α)＝－sin α＜0、排除选项BCD、故
选A.
π
343
(2)因为α∈(
2
、π)、sin α＝
5
、所以cos α＝－
5
、所以tan α＝－
4
.]
利用同角三角函数的基本关系求
解问题的关键是熟练掌握同 角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三
角函数的基本关系本身是恒等式、也可以看作是方程 、对于一些题、可利用已知
条件、结合同角三角函数的基本关系列方程组、通过解方程组达到解决问题的 目
的、此时应注意在利用sin
2
α＋cos
2
α＝1求sinα或 cos α时、符号的选取．

6 19

弦切互化
(1)(20xx·郑州模拟)已知
sin α
＋
3cos α
1
＝5、则cos
2
α＋
2
sin2α的值是( )
3cos α
－
sin α
33
A．
5
B．－
5
C．－3 D．3
(2)已知θ为第四象限角、sin θ＋3cos θ＝1、则tan θ＝________．
sin α
＋
3cos αtan α
＋
3
4
(1)A (2)－
3
[(1)由＝5得＝5、
3cos α
－
sin α
3
－
tan α
可得tan α＝2、
cos2α
＋
sinαcos α
1
＋
tanα
3 1
则cos
2
α＋
sin2α＝cos
2
α＋sinαco s α＝
＝＝.故选A.
2
cos2α
＋
sin2α
1< br>＋
tan2α
5
(2)由(sinθ＋3cos θ)
2
＝1 ＝sin
2
θ＋cos
2
θ、得6sinθcos θ＝－8cos
2
θ、又因为θ为

7 19

4
第四象限角、所以cosθ≠0、所以6sin θ＝－8cos θ、所以tan θ＝－
3
.]
若已知正切值、求一个关于正弦
和余弦的齐次分式的值、则 可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其
转化为一个关于正切的分式、代入正切值就可以求出 这个分式的值、这是同角三
角函数关系中的一类基本题型．
sin α±cos α与sin αcos α关系的
应用

8 19

23
(1)若|sin θ|＋|cos θ|＝
3
、则
sin
4
θ＋cos
4
θ＝( )
5
A．
6

8
C．
9

17
B．
18

2
D．
3

(2)已知θ为第二象限角、sinθ、cos θ是关于x的方程2x
2
＋(3－1)x＋m＝
0(m∈R)的两根、则sin θ－cos θ＝( )
1
－
3
A．
2

C．3
B．
1
＋
3
2

D．－3
234
(1)B (2)B [(1)因为|sin θ|＋|cos θ|＝
3
、两边平方、得1＋|sin 2θ|＝
3
.所以
1117
|sin 2θ|＝
3
.所以s in
4
θ＋cos
4
θ＝1－2sin
2
θcos
2
θ＝1－
2
sin
2
2θ＝
18
.故选B.
(2)因为sinθ、cos θ是方程2x
2
＋(3－1)x＋m＝0(m∈R)的两根、所以sin θ＋
1
－
3
m
cos θ＝
2
、sin θ·cos θ＝
2
、可得(sin θ＋cos θ)
2
＝1＋2sin θ·cos θ＝1＋m＝
2
－
3
3
2
、解得m＝－
2
.因为θ为第二象限角、所以sin θ＞0、cos θ＜0、即sin θ
3
－cos θ＞0、因为(sin θ－cos θ)
2
＝1－2sin θ·cos θ＝1－m＝1＋
2
、所以sin θ－
cos θ＝
3
1
＋
3
1
＋
2
＝
2
.故选B.]

9 19

对于sin α＋cos α、sin α－cos α、
sin αcos α这三个式子、知一可求二、若令sin α＋cos α＝t(t∈[－2、2])、则sin
t2
－
1
αcos α＝
2
、sin α－cos α＝±2
－
t2(注意根据α的范围选取正、负号)、体现了
方程思想的应用．
1
π
1.已知sin (π＋α)＝－
3
、则tan (
2
－α)值为( )
A．22
2
C．
4

B．－22
D．±22
1122
πcos α
D [因为sin (π＋α)＝－
3
、所以sin α＝
3
、cos α＝±
3
、tan (
2
－α)＝
sin α
＝±22.故选D.]

10 19

sin θ
＋
cos θ
2
＋sin
θ的值为( )
sin θ
16
B．
5

17
D．
10

sinθ
＋
cos θsinθ
＋
cos θtanθ
＋< br>1
sin2θ
2
＋sin
θ＝
＋＝
sin θsin θtan θ
＋
sin2θ
＋
cos2θ
2．已知tan θ＝2、则
19
A．
5

23
C．
10

C [原式＝
tan2θ
23
、将tanθ＝2代入、得原式＝
10
.故选C.]
tan2θ
＋
1
3
－
1
3．已知sin x＋cos x＝
2
、x∈(0、π)、则tan x＝( )
3
A．－
3

C．3
D [因为sin x＋cos x＝
3
B．
3

D．－3
3
－
1
3
、且x∈(0、π)、所以1＋2sin x cos x＝1－
22
、
3
所以2sin x cos x＝－
2
＜0、所以x为钝角、所以sin x－cos x＝
（
sin x
－
cos x
）
2＝
sin x
cos x
＝－3.]
1
＋
3
31
、结合已知解得sin x＝、cos x＝－
222
、则tan x＝
4．若3sin α＋cos α＝0、则
1
的值为________．
cos2α
＋
2sinαcos α
101
[3sin α＋cos α＝0?cos α≠0?tan α＝－
33
、
cos2α
＋
sin2α
1
＋
tan2α
1
＝＝＝
cos2α
＋
2sinαcos αcos2α
＋
2sinαcos α
1
＋
2tanα
考点2 诱导公式的应用
1
1
＋（－
3
）
2
2
1
－
3
10
＝< br>3
.]

11 19

应用诱导公式的一般思路
(1)化大角为小角、化负角为正角；
ππ
(2)角中含有加减
2
的整数倍时、用公式去掉
2
的整数倍．
(1)设f(α)＝
2sin
（
π
＋
α
）
cos
（
π
－
α
）－
cos
（
π
＋
α
）

3ππ
1
＋
sin2α
＋
cos
（＋
α
）－
sin2
（＋< br>α
）
22
23π
(1＋2sinα≠0)、则f(－
6
)＝________．
π5π2π
(2)已知cos (
6
－θ)＝a、则cos (
6
＋θ)＋sin (
3
－θ)的值是________．
(1)3 (2)0 [(1)因为f(α)＝
（－
2sin α
）（－
cos α
）＋
cos α
＝
1
＋
sin2α
＋
s inα
－
cos2α

12 19

2sinαcos α
＋
cos αcos α
（
1
＋
2sin α
）
1
＝＝
tan α
、
2sin2α
＋
sinαsin α
（
1
＋
2sin α
）
23π
所以f(－
6
)＝
11
＝＝
23πππ
＝3.
tan
（－
6
）
tan
（－
4π
＋
6
）
tan
6
1
5πππ2ππ
(2)因为cos (
6
＋θ)＝cos [π－(
6
－θ)]＝－cos (
6
－θ)＝－a、sin (
3
－θ)＝sin [
2
ππ5π2π
＋(
6
－θ)]＝cos (
6
－θ)＝a、所以cos (
6
＋θ)＋sin (
3
－θ)＝0.]
(1)已知角求值问题、关键是利用
诱导公式把任意 角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意
口诀“奇变偶不变、符号看象限”的应用 ．
(2)对给定的式子进行化简或求值时、要注意给定的角之间存在的特定关系、
充分利用给 定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象
限、防止符号及三角函数名出错．

13 19


3π
tan
（
π
＋
α
）
cos
（
2π
＋
α
）
sin
（
α
－
2
）
cos
（－
α
－
3π
）
sin
（－
3π
－
α
）
1.化简：
＝______．
－1 [原式＝
cos
（
3π
＋
α
）
[
－
sin
（
3π
＋
α
）
]
π
tan αcos αsin
（
2
＋
α
）
tan αcos αcos α
＝＝
（－
cos α
）
sin α
（－
cos α
）
sin α
＝－
tan αcos αsin αcos α
＝－
sin αcos α
·
sin α
＝－1.]
π
tan αcos αsin [
－
2π
＋（
α
＋
2
）
]
2．已知角α终边上一点P(－4、3)、
π
cos
（
2
＋
α
）
·sin
（－
π
－
α
）
则的值为________．
11π9π
cos
（
2
－
α
）
·sin
（
2
＋
α
）
（－
sin α
）
sin α
3
－
4
[原式＝＝tan α、
（－
sin α
）
cos α
3
根据三角函数的定义得tan α＝－
4
.]
考点3 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用

14 19

求解诱导公式与同角关系综合问
题的基本思路和化简要求
基本
思路
①分析结构特点、选择恰当公式；
②利用公式化成单角三角函数；
③整理得最简形式
①化简过程是恒等变换；
②结果要求项数尽可能少、次数尽可能低、结构尽可能简单、能求值
的要求出值
化简
要求

cos2
（
nπ
＋
x
）
·sin2
（
nπ
－
x
）
(n∈Z). cos2[
（
2n
＋
1
）
π
－
x]< br>(1)化简f(x)的表达式；
已知f(x)＝

15 19

π504π
(2)求f(
2018
)＋f(
1 009
)的值．
[解] (1)当n为偶数、即n＝2k(k∈Z)时、
cos2
（
2kπ
＋
x
）
·sin2
（
2kπ－
x
）
f(x)＝
cos2[
（
2×2k
＋
1
）
π
－
x]
cos2x·sin2
（－
x
）
cos2x·
（－
sinx
）
2
＝＝＝sin
2
x；
cos2
（
π
－
x
）（－
cos x
）
2
当n为奇数、即n＝2k＋1(k∈Z)时、
f(x)＝
＝
＝
cos2[
（
2k
＋
1
）
π
＋
x]·sin2[
（
2k
＋
1
）
π
－x]

cos2{[2×
（
2k
＋
1
）＋1]π
－
x}
cos2[2kπ
＋（
π
＋
x< br>）
]·sin2[2kπ
＋（
π
－
x
）
]< br>
cos2[2×
（
2k
＋
1
）
π
＋（
π
－
x
）
]
cos2
（
π
＋
x
）
·sin2
（
π
－
x
）（－
cosx
）
2sin2x
＝
cos2
（
π
－x
）（－
cosx
）
2
＝sin
2
x、
综上得f(x)＝sin
2
x.
π504π
(2)由(1)得f(
20xx
)＋f(
1 009
)
π1008π
＝sin
2
20xx
＋sin
2
2 018

πππ
＝sin
2
20xx
＋sin
2< br>(
2
－
20xx
)
ππ
＝sin
2
20xx
＋cos
2
20xx
＝1.
(1)利用同角三角函数关系式和诱

16 19

导公式求值或化简时、关键是寻求条件、结论间的联系、灵活使用公式进行变
形．
(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．
[教师备选例题]
1
已知－π＜x＜0、sin (π＋x)－cos x＝－
5
.
(1)求sin x－cos x的值；
(2)求
sin 2x
＋
2sin2x
的值．
1
－
tanx
1
[解] (1)由已知、得sin x＋cos x＝
5
、
1
两边平方得sin
2
x＋2sinx cos x＋cos
2
x＝
25
、
24
整理得2sinx cos x＝－
25
.
49
∵(sin x－cos x)＝1－2sin x cos x＝
25
、
2
由－π＜x＜0知、sin x＜0、
12
又sin x cos x＝－
25
＜0、
∴cos x＞0、∴sin x－cos x＜0、
7
故sin x－cos x＝－
5
.
sin 2x
＋
2sin2x2sin x
（
cos x
＋
sin x
）
(2)＝
sin x
1
－
tanx
1
－
cos x
2sin x cos x
（
cos x
＋
sin x
）
＝
cos x
－
sin x
＝
－
25
×
5< br>7
5
241
24
＝－
175
.

17 19

1.已知α为锐角、且2tan (π－α)
π
－3cos (
2
＋β)＋5＝0、tan (π＋α)＋6sin (π＋β)－1＝0、则sin α的值是( )
35
A．
5

310
C．
10

37
B．
7

1
D．
3

C [由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0.
tan α－6sin β－1＝0、
解得tan α＝3、
310
又α为锐角、故sin α＝
10
.]
cos
（－
α
）＋
3sin
（
π
＋
α
）
2
π
2．已知tan (π－α)＝－
3
、且α∈(－π、－
2
)、则
cos
（
π
－
α
）＋
9sin α
＝________．
12
－
5
[由tan (π－α)＝－
3
、
2
得tan α＝
3
、
则
＝
＝
cos
（－
α
）＋
3sin
（
π
＋
α
）

cos
（
π
－
α
）＋
9sin α
cos α
－
3sin α

－
cos α
＋
9sin α
1
－
3tan α1
－
2
1
＝＝－
5
.]
－
1
＋
9tan α
－
1
＋
6

18 19

1
π
3．已知sin α＋cos α＝－
5
、且
2
＜α＜π、则
为________．
351
[由sin α＋cos α＝－
125
平方得
12
sin αcos α＝－
25
、
π
∵
2
＜α＜π、
7
∴sin α－cos α＝
（
sin α
＋
cos α
）
2
－
4sin αcos α＝、
5
cos α
－
sin α
1111
＋＝
sin α
－
cos α
＝
sin αcos α
＝
sin
（
π
－
α
）
cos
（
π
－
α
）
11
＋的值
sin
（
π
－
α
）
cos
（
π
－α
）
∴
－
5
7
－
25
35
＝
1212
.]


19 19