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几何第03讲_基本直线形底和高的选取
知识图谱
-底和高的选取正方形对角线等 腰直角三角形斜边面积与长度的相互转化几何第03讲_基本直线形底和高的选取
错题回顾
底和高的选取
知识精讲
一.正方形对角线
我们把正方形沿对角 线剪成两个一样的等腰直角三角形,再拼接成一个大的
等腰直角三角形,总面积没有发生改变,由此可以 得出正方形面积公式:正方形
面积=.
二.等腰直角三角形斜边
等腰直角三角形的面积等于直角边长平方的一半.如果不知道直角边长,只
知道斜边长,也能求 出等腰直角三角形的面积:等腰直角三角形面积=
.
等腰直角三角形斜边 上的高等于斜边的一半,而且斜边上的高还把等腰直角
三角形分成了两个一模一样的小等腰直角三角形.
三.面积与长度的相互转化
我们已经学过基本直线形面积公式.已知三角 形的底和高,我们很容易算出
面积.如果已知三角形的面积和一条边的长度,就可以算出以这条边为底对 应的
高是多少;如果已知三角形的面积和一条高的长度,就可以算出与这条高所对应
的底边的长 度.这种反求的方法,在几何问题中是经常会遇到的.
需要注意的是,已知三角形面积和底( 或高),求三角形高(或底)的时候,
切记首先要“×2”.
三点剖析
重难点:等腰直角三角形面积公式,不要忘记除以4.
题模精讲
题模一 正方形对角线
例1.1、
如图,已知正方形ABCD,对角线长10厘米.正方形ABCD 的面积是多少平
方厘米?
答案:
50
解析:
,所以正方形的面积是
平方厘米.
例1.2、
如图,正方形ABCD被两条平行的直线截成了面积相等的三个部分,其中上、< br>下两部分都是等腰直角三角形.已知两条截线的长度都是10厘米,那么整个正
方形的面积是多少 平方厘米?
答案:
75
解析:
最上方的三角形和最下方的两个等腰直角三角形可以拼成一个正方形,对角
线是10厘米,所以 这两个三角形的面积和是
相等,所以这个图形的面积是
,三部分面积
平方厘米.
例1.3、
如图,已知正方形ABCD 的边长是8厘米,E、F、G、H分别是边AD、AB、
BC、CD的中点,连接E、F、G、H也得到 一个正方形,请问正方形EFGH的
面积是多少平方厘米?
答案:
32
解析:
外围的四个小三角形可以 拼成一个正方形,这个正方形和正方形EFGH边
长一样,所以大正方形的面积等于正方形EFGH面积 的2倍,所以小正方
形的面积是
平方厘米.
题模二 等腰直角三角形斜边
例2.1、
一个等腰直角三角形,最长的边长为20厘米,它的面积是________平方厘米.
答案:
100
解析:
,即平方厘米.
在等腰直角三角形中,
例2.2、
如图,△ABC与△ADE都是等腰直角三角形,BC长8cm,DE长4cm,求阴影
部分的面积.< br>
答案:
12
解析:
,△ABC面积为
.
,所以阴影部分的面积△ADE面积为
为
例2.3、
如图,等 腰直角三角形ABC中,斜边长8厘米.四边形CDEF为正方形,正方
形CDEF的面积是多少平方厘 米?
答案:
8
解析:
连接CE,四个一样的三角形组成了大三角形,所以正方形的面积是整个大
三角形面积的一半,三角形A BC的面积是
正方形的面积是
平方厘米,所以
平方厘米.
例2.4、
如图所示,
60平方厘米,则
厘米,长方形BDEF中的厘米, 阴影的面积是
的面积是_____平方厘米.
A、
33
B、
32
C、
31
D、
30
答案:
D
解析:
平方厘米,所以
厘米,所以
平方厘米.选D.
厘米,所以
平方厘米,
的面积是
已知
题模三 面积与长度的相互转化
例3.1、
三角形面积是12平方米,其中底边是4米,那么高是__________米.
答案:
6
解析:
.
三角形面积=底×高÷2,反过来高是:
例3.2、
如图,ABCD是 一个长10厘米,宽6厘米的长方形,三角形ADE的面积比三
角形CEF的面积大10平方厘米,求C F的长.
答案:
4cm
解析:
如上图,△ADE的面积比△CEF的面积大10平方厘米,则△ADE与梯形ABCE
的面积 和比△CEF与梯形ABCE的面积和也大10平方厘米,即长方形ABCD
的面积比△ABF的面积大 10平方厘米.所以△ABF的面积为
,
,.
例3.3、 < br>把小正方形的每边延长3厘米后,得到一个大正方形,大正方形的面积比小正
方形的面积大48平 方厘米.小正方形的面积是多少平方厘米?
答案:
25
解析:
面积差48平方厘米,其实就是4个小直角三角形的 面积,所以每一个小正
方形的面积是12平方厘米,小三角形的高是
方形的边长是
厘米,所以小正
平方厘米.
厘米,小正方形的面积是
例3.4、
如图,直角三角形ABC的边长BC=3,AC=4,AB=5,DG垂直于AB且DG=1.2,求正方形CEDF的边长.
答案:
解析:
连结DA、DB、DC.,而
可表示为,故正方形CEDF的边长为
.
例3.5、
如图所示,梯形ABCD的上底AD长5厘米,下底BC长12厘米 .腰CD的长
为8厘米,过B点向CD作出的垂线BE的长为9厘米,那么梯形ABCD的面
积 是多少?
答案:
51平方厘米
解析:
作出梯形的高DF,连接BD,那么BE正 好是△BCD的高.在△BCD中,
厘米,对应的高长9厘米,所以面积是平方厘米.再把BC看作厘底边,对应的高是DF,由三角形的面积反求高可得:
米.在梯形ABCD中,上底和下底分别为 5厘米和12厘米,高是厘米,
所以面积为
平方厘米.
例3.6、
如图,在长方形ABCD中,长
上一点,若△GEC的面积等于32,宽
,求HF的长.
,,G是AD边
答案:
4cm
解析:
,故
,
.
例3.7、
如下图,直角梯形ABCD中,,,,且三角形AED、三角
形FCD和 四边形EBFD的面积相等,求三角形DEF 的面积.
答案:
解析:
,
,所以.
,
,所以.
,
.
例3.8、
如图 所示,正方形ABCD的边长是18,E是CD中点,且ABFH是长方形,两
个阴影三角形面积相等. 那么,四边形AEFB的面积是______.
答案:
216
解析:
和
,则.
,由两个阴影部分面积相等,可以得出
得出,得出
例3.9、
图中有3个大小不同的正方形,其中大正方形的周长比小正方形的周长大8,
大正方形的面积比中正方形 的面积大12.大正方形的面积是多少?
答案:
49
解析:
因大正方形的周长比小正方形的周长大8,也就是说大正方形的每条边长度< br>比小正方形的多
相等,则每段的长度是
.如下图所示,图中这两段以粗线画出的线段长度
.
由于大正方形的面积比中正方形的面积大12.比较一下可知,如下图 中的
4个阴影三角形
的总面积为12,于是每个三角形的面积是.
同时阴影三角形的一条直角边的长度为1,那么另一条直角边的长度就是
.又大正方 形的边长就是两条直角边的长度和,为
大正方形的面积为:
.那么
.
随堂练习
随练1.1、
如图,已知正方形A BCD,对角线长6厘米.正方形ABCD的面积是多少平方
厘米?
答案:
18
解析:
,所以正方形的面积是平
方厘米.
随练1.2、
如 图,等腰直角三角形ABC中,斜边长8厘米.等腰直角三角形ABC的面积
是多少平方厘米?
答案:
16
解析:
两个等腰直角三角形可以拼成一个正方形,所以等腰直角三角形ABC的面
积是
平方厘米.
随练1.3、
三角形底边是12米,高是11米,面积是__________平方米.
答案:
66
解析:
.
三角形面积=底×高÷2,
随练1.4、
如图所示两个等腰直角三角形 ,恰好拼成一个直角梯形,已知较小的等腰直角
三角形的斜边长6厘米,那么这个直角梯形的面积是多少 平方厘米?
答案:
27
解析:
平方厘米,三角形BCD的
平方厘米.
等腰直角三角形ABD的面积是
面积是
平方厘米,所以梯形的面积是
随练1.5、
如图所示,梯形ABCD的上底AD长8 厘米,下底BC长16厘米.腰CD的长
为8厘米,过B点向CD作出的垂线BE的长为10厘米,梯形 ABCD的面积是
多少平方厘米?
答案:
60
解析:
平方厘米,所以BC边上的高是三角形BCD的面积 是
厘米,所以梯形的高也是6厘米,梯形的面积是
平方厘米.
随练1.6、
在长方形ABCD中,AB=8厘米,BC=12厘米,E、F、G分别为边A B、BC、CD的中点,H为AD边上任意一点,图中阴影部分的面
积是________平方厘米.< br>
答案:
36
解析:
整个 图形被分成了3个三角形,每一个三角形的面积算出之后相加即可,所
以整个阴影的面积是
.< br>
随练1.7、
如图在直角梯形ABDC中,ACE和BDE都是等腰直角三角形
(1)如果△ACE的面积是8,△BDE的面积为18.请问:梯形ABDC的面积是多少?
(2 )如果△ACE的面积是9,△BDE的面积为16.请问:梯形ABDC的面积是多少?
答案:
(1)50(2)49
解析:
,(1)
,所以梯形的面积是
(2)
CED的面积是
,
,梯形的面积是
所以三角西的那个
.
随练1.8、 < br>如图所示,平行四边形的一边长为15厘米,这条边上的高为6厘米,一条线段
将此平行四边形分 成了两部分,它们的面积相差18平方厘米.请问:其中梯形
的上底是多少厘米?
答案:
3厘米
解析:
如下图所示,从线段的 顶点做边的平行线,把梯形又分成了一个三角形和一
个小平行四边形,分割出的三角形显然和原来的三角 形面积相等.
那么最左边的小平行四边形的面积就是多出来的18平方厘米,又其 高为6
厘米,它的底边长又正好是所需求的梯形的上底长.所以,梯形的上底长为
厘米.
自我总结
课后作业
作业1、
如图所示是一个由正方形 ABCD和等腰直角三角形BCE组成的梯形,三角形
BCE的斜边BE长8厘米,这个梯形的面积是多 少平方厘米?
答案:
48
解析:
,所以三角形BCE的面积是
,连接对角线发现正方形的面积是三角形BCE面积的2倍,所以梯形的面积是
.
作业2、
如图,等腰直角三角形A BC中,斜边长6厘米.等腰直角三角形ABC的面积
是多少平方厘米?
答案:
9
解析:
两个等腰直角三角形可以拼成一个正方形,所以等腰直角三角形ABC的面
积是
平方厘米.
作业3、
如图,等腰直角三角形ABC中,斜边长10厘米. 等腰直角三角形ABC的面积
是多少平方厘米?
答案:
25
解析:
两个等腰直角三角形可以拼成一个正方形,所以等腰直角三角形ABC的面
积是
平方厘米.
作业4、
三角形底边是6米,高是8米,面积是__________平方米.
答案:
24
解析:
.
三角形面积=底×高÷2,
作业5、
如图所示,梯形ABCD的上底A D长4厘米,下底BC长8厘米.腰AB的长
为4厘米,过C点向AB作出的垂线CE的长为6厘米,三 角形ADC的面积是
多少平方厘米?
答案:
18
解析:
厘米,根据三角形的面积公式可以求出
厘米 ,所以梯形的高是3厘米,
平方厘米.
三角形ABC的面积是
三角形ABC的BC边上的高是
梯形的面积等于
作业6、
如图所示,梯形ABCD的上底AD长6厘米,下底BC长12厘米.腰CD的长< br>为9厘米,过B点向CD作出的垂线BE的长为8厘米,梯形ABCD的面积是
多少平方厘米?< br>
答案:
54
解析:
平方 厘米,所以BC边上的高是三角形BCD的面积是
厘米,所以梯形的高也是6厘米,梯形的面积是
平方厘米.
作业7、
如图,平行四边形ABCD的边BC长10c m,直角三角形BCE的直角边EC长
8cm,已知两块阴影部分的面积和比△EFG的面积大10cm
2
,求CF的长.
答案:
5cm
解析:
同时加上BCFG可知,梯形ABCD面积比△BCE面积大10cm
2
.直角三角
形BCE的面积为
,故.
作业8、
如图所示,把小正方形的每边延长2厘米后,得到一个大正方形.大正方形的
面积比小正方形的 面积大36平方厘米,那么小正方形的边长是多少厘米?
答案:
7厘米
解析:
可以看出,大正方形恰好比小正方形多出了四个相 同的直角三角形,而且直
角三角形的一条直角边正好是延长出去的2厘米线段,图中空白部分的4
个直角三角形面积总和为36平方厘米,每个三角形的面积为平方
厘米.在这4个直角三角形中,较短 的直角边长等于2厘米,那么较长的
直角边长为
厘米.所以小正方形的边长为厘米.
作业9、
如图所示,ABCD是一个长方形,点E在CD延长线上.已知AB= 5,BC= 12,
且△AFE的面积等于20,那么△CFE的面积等于多少?
答案:
60
解析:
,,那么△ABE的面积 就是
,AF的长度为
.又因为△AFE的
.那么
.在△
.
已知
面积是20,因此△ABF的面积是
在△AFE中,ED是AF边上对应的高,所 以ED的长度为
CEF中,底边
,高,因此面积为
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