复化梯形公式(完整版)勾股定理知识点、经典例题

知识点及例题
知识点一：勾股定理

如果直角三角形的两直 角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a
2
＋b
2
＝c
2
．即直角三角形中两直角边的平方和等
于斜边的平方．






要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。
（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。
（3）理解勾股定理的一些变式：
c
2
=a
2
+b
2
, a
2
=c
2
-b
2
， b
2
=c
2
-a
2
， c
2
=(a+b)
2
-2ab
知识点二：用面积证明勾股定理

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。
图（1）中，所以。






方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。
图（2）中，所以。

方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。










在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,
在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,
所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.
方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。




，所以。
知识点三：勾股定理的作用


1．已知直角三角形的两条边长求第三边； 2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；
3．用于证明平方关系的问题； 4．利用勾股定理，作出长为的线段。
2. 在理解的基础上熟悉下列勾股数

满足不定方程x
2
+y
2
=z
2
的三个正整数，称为勾股数 （又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角
形一定是直角三角形。
熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：
①3、4、5②5、12、13；③8、 15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41．
如果(a,b,c)是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。
经典例题透析

类型一：勾股定理的直接用法

1、在Rt△ABC中，∠C=90°
(1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a.
思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=
(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=


(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=
总结升华：有一些题目的图形较复杂， 但中心思想还是化为直角三角形来解决。如：不规则图形的面积，可转化
为特殊图形求解，本题通过将图 形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差或和。

举一反三
【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?
【答案】∵∠ACD=90°
AD=13, CD=12
∴AC
2
=AD
2
－CD
2

=13
2
－12
2

=25
∴AC=5
又∵∠ABC=90°且BC=3
∴由勾股定理可得
AB
2
=AC
2
－
BC
2

=5
2
－3
2

=16
∴AB= 4
∴AB的长是4.

类型二：勾股定理的构造应用

2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.


思路点拨：由条件
，
长.
解析：作
∴
∴（在
于D，则因
（
，
的两个锐角互余）
，想到构造含

角的直角三角形，为此作于D，则有
，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的
中，如果一个锐角等于，

那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
根据勾股定理，在

根据勾股定理，在

中，
.
中，
.
∴ .
总结升华：利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用. 当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构
造直角三角形以便应用勾股定理.

举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.

思路点拨: 图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形. 因此，我们考虑构造一个以BP为一
边的直角三角形. 所以连结BM. 这样，实际上就得到了4个直角三角形. 那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平
方之间的关系.
解析：连结BM，根据勾股定理，在
.
而在中，则根据勾股定理有
.
∴
又∵
∴
在

（已知），
.
中，根据勾股定理有
，

中，





∴.

【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求 ：四边形ABCD的面积。

分析：如何 构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，
根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
解析：延长AD、BC交于E。
∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。
∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，
∴BE
2
=AE
2
-AB
2
=8
2
-4
2
=48， BE=
∵DE
2
= CE
2
-CD
2
= 4
2
-2
2
=12，∴DE=
∴S
四边形
ABCD
=S
△
ABE
-S
△
CDE
=

AB·BE-
=
=
。
。
CD·DE=





类型三：勾股定理的实际应用

（一）用勾股定理求两点之间的距离问题
3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出 发，沿北偏东60°方向走了
沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。
（1）求A、C两点之间的距离。
（2）确定目的地C在营地A的什么方向。
到达B点，然后再















思路点拨：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，利用勾股定理求解。
解析：（1）过B点作BEAD
∴∠DAB=∠ABE=60°
∵30°+∠CBA+∠ABE=180°
∴∠CBA=90°
即△ABC为直角三角形


由已知可得：BC=500m，AB=
由勾股定理可得：
所以
（2）在Rt△ABC中，
∵BC=500m，AC=1000m
∴∠CAB=30°
∵∠DAB=60°
∴∠DAC=30°
即点C在点A的北偏东30°的方向
总结升华：本题是一道实际问题，从已知条件出发判断出△A BC是直角三角形是解决问题的关键。本题涉及平行
线的性质和勾股定理等知识。

举一反三
【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的 某工厂，问这辆卡车能否通过
该工厂的厂门?

【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如 图所示，点D
在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ， 与地面交于H．
解：OC＝1米 (大门宽度一半)，
OD＝0.8米 （卡车宽度一半）
在Rt△OCD中，由勾股定理得：
CD＝＝＝０.６米，
CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．

因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．





（二）用勾股定理求最短问题
4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状 ，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、
B、C、D，且正好位于一个正方形的四个 顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如
图实线部分．请你帮助计算一 下，哪种架设方案最省电线．

思路点拨：解答本题的思路是：最 省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出
结论．
解析：设正方形的边长为1，则图（1）、图（2）中的总线路长分别为
AB+BC+CD＝3，AB+BC+CD＝3
图（3）中，在Rt△ABC中

同理

∴图（3）中的路线长为
图（4）中，延长EF交BC于H，则FH⊥BC，BH＝CH
由∠FBH＝
EA＝ED＝FB＝FC＝
∴EF＝1－2FH＝1－
及勾股定理得：

∴此图中总线路的长为4EA+EF＝
3＞2.828>2.732
∴图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线．
总结升华：在实际生产工作中，往 往工程设计的方案比较多，需要运用所学的数学知识进行计算，比较从中选出
最优设计．本题利用勾股定 理、等腰三角形的判定、全等三角形的性质．

举一反三
【变式】如图， 一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着
圆 柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．

解：



如图，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm， 根据勾股定理得
（提问：勾股定理）
∴ AC＝＝
答：最短路程约为１０．７７cm．
＝≈１０．７７（cm）（勾股定理）．
类型四：利用勾股定理作长为
5、作长为、、
的线段

的线段。
，直角边为和1的直角三角形斜 思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于
边长就是，类似地可作
作法：如图所示
。

（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB，使AB为斜边；
（2）以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角
（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形
。斜边为
、
；
、、的长度就是 ，这样斜边
、、、。
总结升华：（1）以上作法根据勾股定理均可证明是正确 的；（2）取单位长时可自定。一般习惯用国际标准的单位，
如1cm、1m等，我们作图时只要取定一 个长为单位即可。

举一反三 【变式】在数轴上表示的点。
解析：可以把看作是直角三角形的斜边，，
为了有利于画图让其他两边的长为整数，
而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。

作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，
以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。
类型五：逆命题与勾股定理逆定理

6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确
1．原命题：猫有四只脚．（正确）
2．原命题：对顶角相等（正确）
3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（正确）
4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（正确）
思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。
解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）
2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）
3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．?（正确）
4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．（正确）
总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。
7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c， 且满足a
2
+b
2
+c
2
+50=6a+8b+10c，判 断ΔABC的形状。

思路点拨：要判断ΔABC的形状，需要找到a、b、c的关系， 而题目中只有条件a
2
+b
2
+c
2
+50=6a+8b+ 10c，故只有
从该条件入手，解决问题。
解析：由a
2
+b
2
+c
2
+50=6a+8b+10c，得 ：
a
2
-6a+9+b
2
-8b+16+c
2
-10c+25=0,
∴ (a-3)
2
+(b-4)
2
+(c-5)
2
=0。
∵ (a-3)
2
≥0, (b-4)
2
≥0, (c-5)
2
≥0。
∴ a=3，b=4，c=5。
∵ 3
2
+4
2
=5
2
,
∴ a
2
+b
2
=c
2
。
由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。
总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。

举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD= 13，求四边形ABCD的面积。
【答案】：连结AC
∵∠B=90°，AB=3，BC=4
∴AC
2
=AB
2
+BC
2
=25（勾股定理）
∴AC=5
∵AC
2
+CD
2
=169，AD
2
=169
∴AC
2
+CD
2
=AD
2

∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）


【变式2】已知: △ABC的三边分别为m
2
－n
2
,2mn,m
2
+n2
(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形.
分析:本题是利用勾股定理的的逆定理， 只要证明:a
2
+b
2
=c
2
即可
证明：

所以△ABC是直角三角形.






















【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。
请问FE与DE是否垂直?请说明。
【答案】答：DE⊥EF。
证明：设BF=a，则BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a,
∴ EF2
=BF
2
+BE
2
=a
2
+4a
2
=5a
2
；
DE
2
=CE
2
+C D
2
=4a
2
+16a
2
=20a
2
。
连接DF（如图）
DF
2
=AF
2
+AD< br>2
=9a
2
+16a
2
=25a
2
。
∴ DF
2
=EF
2
+DE
2
,
∴ FE⊥DE。
经典例题精析

类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法

1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。
思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定< br>理列出方程，求出未知数的值进而求面积。
解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：
（3x）
2
+（4x）
2
＝20
2

化简得x
2
＝16；




∴直角三角形的面积＝×3x×4x＝6x
2
＝96
总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。
举一反三 【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。
【答案】如图，等边△ABC，作AD⊥BC于D

























则：BD＝BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）
∵AB＝AC＝BC＝2（等边三角形各边都相等）
∴BD＝1
在直角三角形AB D中，AB
2
＝AD
2
+BD
2
，即：AD
2＝AB
2
－BD
2
＝4－1＝3

BC·AD＝
∴AD＝
S
△
ABC
＝
注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为a。


【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。
【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x，y，根据题意得：





















由（1）得：x+y＝7，
（x+y）
2
＝49，x
2
+2xy+y
2
＝49 (3)
(3)－(2)，得：xy＝12
∴直角三角形的面积是xy＝×12＝6（cm
2
）
【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。
思路点拨：首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。
解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：
（n+1）
2
+（n+2）
2
＝（n+3）
2

化简得：n
2
＝4
∴n＝±2，但当n＝－2时，n+1＝－1<0，∴n＝2
总结升华：注意直角三角形中两“直 角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是
斜边的情况下，首先要先确定 斜边，直角边。
【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40
解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，
对数据较大的可以用c
2＝a
2
+b
2
的变形：b
2
＝c
2
－ a
2
＝（c－a）（c+a）来判断。
例如：对于选择D，
∵8
2
≠（40+39）×（40－39），
∴以8，39，40为边长不能组成直角三角形。
同理可以判断其它选项。 【答案】：A
【变式5】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求 四边形ABCD的面积。
解：连结AC
∵∠B=90°，AB=3，BC=4
∴AC
2
=AB
2
+BC
2
=25（勾股定理）
∴AC=5
∵AC
2
+CD
2
=169，AD
2
=169
∴AC
2
+CD
2
=AD
2

∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）
∴S
四边形
ABCD
=S
△
ABC
+S
△
ACD
=AB·BC+AC·CD=36

类型二：勾股定理的应用

2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交 汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行
驶时，周围100m以内 会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请
说明理由 ，如果受影响，已知拖拉机的速度为18kmh，那么学校受影响的时间为多少秒？


思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于1 00m则
受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。（2）要求出学校受影响的 时间，实质是要求拖拉机对
学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校， 行至哪一点后结束影响学校。
解析：作AB⊥MN，垂足为B。
在 RtΔABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°， AP＝160，

























∴ AB＝AP＝80。 （在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半）
∵点 A到直线MN的距离小于100m,
∴这所中学会受到噪声的影响。
如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC＝100(m)，
由勾股定理得： BC
2
＝100
2
-80
2
＝3600,∴ BC＝60。

同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD＝100(m)，BD＝60(m),
∴CD＝120(m)。
拖拉机行驶的速度为 : 18kmh＝5ms
t＝120m÷5ms＝24s。
答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。
总结升华:勾股 定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角
三 角形以便利用勾股定理。
举一反三 【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避 开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条
“路”。他们仅仅少走了__________步路（假设2 步为1m），却踩伤了花草。

解析：他们原来走的路为3+4＝7(m)

设走“捷径”的路长为xm，则
故少走的路长为7－5＝2(m)
又因为2步为1m，所以他们仅仅少走了4步路。【答案】4
【变式2】如图中的虚线网格我们称 之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三
角形称为单位正三角形。
（1）直接写出单位正三角形的高与面积。
（2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？
（3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。

【答案】（1）单位正三角形的高为，面积是

。

（2）如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积。
（3）过A作AK⊥BC于点K（如图所示），则在Rt△ACK中，，
，故
类型三：数学思想方法
（一）转化的思想方法
我们在求三角形的边或角，或进行推理 论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决．
3、如图所示，△ ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且
D E⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。

思路点拨：现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化 ，根据直角三角
形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD．
解：连接AD．
因为∠BAC=90°，AB=AC． 又因为AD为△ABC的中线，
所以AD=DC=DB．AD⊥BC．
且∠BAD=∠C=45°．
因为∠EDA+∠ADF=90°． 又因为∠CDF+∠ADF=90°．
所以∠EDA=∠CDF． 所以△AED≌△CFD（ASA）．
所以AE=FC=5．
同理：AF=BE=12．
在Rt△AEF中，根据勾股定理得：
，所以EF=13。
总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等 知识。通过此题，我们可以了解：当已
知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把 它们放在同一直角三角形中求解。
（二）方程的思想方法
4、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，，求、、的值。
思路点拨：由，再找出、的关系即可求出和的值。
解：在Rt△ABC中，∠A=60°，∠B=90°-∠A=30°，
则
因为
，由勾股定理，得
，所以，
。
，，。
总结升华：在直角三角形中，30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。
举一反三：【变式】如 图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求
E F的长。

解：因为△ADE与△AFE关于AE对称，所以AD=AF，DE=EF。
因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠C=90°，
在Rt△ABF中， AF=AD=BC=10cm，AB=8cm，
所以
设，则。
。 所以。

在Rt△ECF中，








，即
即EF的长为5cm。
，解得。