eps公式直角三角形1

直角三角形1


一．选择题（共26小题）

1．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）

A．一个锐角和斜边对应相等

B．两条直角边对应相等

C．两个锐角对应相等

D．斜边和一条直角边对应相等

2．下 列条件中：①两条直角边分别相等；②两个锐角分别相等；③斜边和一条
直角边分别相等；④一条边和一 个锐角分别相等；⑤斜边和一锐角分别相等；
⑥两条边分别相等．其中能判断两个直角三角形全等的有（ ）

A．6个

B．5个

C．4个

D．3个

3．如图，∠B=∠E=90°，AB=DE，AC=DF，则△ABC≌△DEF的理由是（ ）


A．SAS

B．ASA

C．AAS

D．HL

4．如图，BE=CF，AE⊥BC，DF ⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还
需要添加一个条件是（ ）


A．AE=DF

B．∠A=∠D

C．∠B=∠C

D．AB=DC

5．如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，边AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于
点E，AD平分∠BAC，则下列结论不正 确的是（ ）

第1页（共36页）



A．∠B的度数等于30°

C．∠ADB的度数等于120°

B．AC=AE=BE=AD

D．Rt△ADE≌Rt△BDE≌Rt△ADC

6．如图，已知AC⊥BD，垂足 为O，AO=CO，AB=CD，则可得到△AOB≌△COD，
理由是（ ）


A．HL

B．SAS

C．ASA

D．AAS

7．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD=ED，A D=2，BC=3，则△ADE的
面积为（ ）


A．1

B．2

C．5

D．无法确定

8．如图，AB⊥AC于A，BD⊥CD于D，若AC=DB，则下列结论中不正确的是（ ）


A．∠A=∠D

B．∠ABC=∠DCB

C．OB=OD

D．OA=OD

9．如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，CD与CE分别是斜边AB上的高与中线，
以下判断中正确的个数有（ ）

①∠DCB=∠A；②∠DCB=∠ACE；③∠ACD=∠BCE；④∠BCE=∠BEC．

第2页（共36页）



A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

10．如图，△ ABC中，AB=AC，点P为△ABC内一点，∠APB=∠BAC=120°．若AP+BP=4，
则PC的最小值为（ ）


A．2

B．2

C．

D．3

11．在一个直角三角形中，有一个锐角等于45°，则另一个锐角的度数是（ ）

A．75°

B．60°

C．45°

D．30°

12．直角三角形的一个锐角∠A是另一个锐角∠B的3倍，那么∠B的度数是
（ ）

A．22.5°

B．45°

C．67.5°

D．135°

13．下列判断：①有两个内角分 别为55°和25°的三角形一定是钝角三角形；②
直角三角形中两锐角之和为90°；③三角形的三个 内角中至少有两个锐角；④
三条高不相交的三角形一定是钝角三角形，其中正确的有（ ）个．

A．1

B．2

C．3

D．4

14．直角三角形两个锐角平分线相交所成角的度数为（ ）

A．90°

B．135°

C．120°

D．45°或135°

15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B= 2∠A，CD⊥AB，BD=1，则AD的长
度是（ ）


A．1


B．2

C．3

第3页（共36页）
D．4


16．如图，在△ABC中，AB =AC，∠B=30°，AD⊥AB，交BC于点D，AD=4，则
BC的长为（ ）


A．8

B．4

C．12

D．6

17．如图，在等边△ABC中，AB=10cm，D是AB的中点，过点D 作DE⊥AC于点
E，则EC的长是（ ）


A．2.5cm

B．5cm

C．7cm

D．7.5cm

18 ．如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=2cm，则BC的长等于
（ ）


A．8cm

B．6cm

C．4cm

D．2cm

19．如图，在Rt△ABC中，∠A= 30°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB，AC
于D、E两点，若BD=2，则AC的长是（ ）


A．2

B．3

C．4

D．8

20．如图，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC于点E， EF∥AB交
BC于点F，已知AE=5，则△EFC的周长为（ ）

第4页（共36页）



A．60

B．45

C．30

D．15

21．某市为了 美化环境，计划在如图所示的三角形空地上种植草皮，已知这种草
皮每平方米售价为a元，则购买这种草 皮至少需要（ ）


A．450a元

B．225a元

C．150a元

D．300a元

22．如图，在Rt△ABC中 ，∠ACB=90°，如果CD、CM分别是斜边上的高和中线，
AC=2，BC=4，那么下列结论中 错误的是（ ）


A．∠ACD=∠B

B．CM=

C．∠B=30°

D．CD=

23．如图，一根木棍（AB）， 斜靠在与地面（OM）垂直的墙（OM）上，当木棍
A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行时，AB的中 点P到点O的距离（ ）


A．变大

C．先变小后变大

B．变小

D．不变

24 ．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，
过E作E F∥DC交BC的延长线于F，若四边形DCFE的周长为18cm，AC的长
第5页（共36页）


6cm，则AD的长为（ ）


A．13cm

B．12cm

C．5cm

D．8cm

25．直角三角形斜边上的高与中线分别为5cm和6cm，则它的面积为（ ）
cm
2
．

A．30

B．60

C．45

D．15

26．如图，△ABC中，AB=AC=16 ，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，连接DE，
若△CDE的周长为26，则BC的长为（ ）


A．20



B．16

C．10

D．8

二．填空题（共14小题）

27．在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的4倍，则较小锐角的度数为
度．

28．如图△ABC中，点M是BC的中点，∠ACB=90°，AC=5，B C=12，AN平分∠
BAC，AN⊥CN，则MN= ．


29 ．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°．AC的垂直平分线交BC于F，交
AC于E ，交BA的延长线于G，若EG=3，则BF的长是 ．

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30．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD 是△ABC的角平分线，CD=2，
则BC= ．


31．如图， 在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，
DM⊥BC，垂足为M ，若AB=4cm，则DE= cm．


32．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4cm，则AB= cm．

33．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，CE是边AB上的中线，如果 CD=BE，
∠B=40°，那么∠BCE= 度．


34．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB=20，则CD= ．


35．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB上的中点，若∠AC D=20°，则∠
B= ．

第7页（共36页）



36．Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，AC=10，则BD= ．

37．两边长分别为3和4的直角三角形，则直角三角形斜边上中线的长是 ．

38．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D是AB的中点，则CD= ．


39．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，AB=4c m，D是AB的中点，现将
△BCD沿BA方向平移1cm，得到∠EFG，FG交AC于H，FE交A C于M，则
△EFG与△ABC重叠部分的面积为 cm
2

40．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AC=26，BD=24，M、N分别< br>是AC、BD的中点，则线段MN的长为 ．




第8页（共36页）



直角三角形1
参考答案与试题解析



一．选择题（共26小题）

1．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）

A．一个锐角和斜边对应相等

B．两条直角边对应相等

C．两个锐角对应相等

D．斜边和一条直角边对应相等

【分析】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．

【解答】解：A、一个锐角和斜边对应相等，正确，符合AAS，

B、两条直角边对应相等，正确，符合判定SAS；

C、不正确，全等三角形的判定必须有边的参与；

D、斜边和一条直角边对应相等，正确，符合判定HL．

故选：C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、A SA、AAS、HL．

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等 时，必须有边
的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

2．下列条 件中：①两条直角边分别相等；②两个锐角分别相等；③斜边和一条
直角边分别相等；④一条边和一个锐 角分别相等；⑤斜边和一锐角分别相等；
⑥两条边分别相等．其中能判断两个直角三角形全等的有（ ）

A．6个

B．5个

C．4个

D．3个

【分析】画出两直角三角形，根据选项条件结合图形逐个判断即可．

【解答】解：①两条直角边分别相等；正确；

②两个锐角分别相等；错误；

③斜边和一条直角边分别相等，正确；

④一条边和一个锐角分别相等；错误；

第9页（共36页）


⑤斜边和一锐角分别相等；正确；

⑥两条边分别相等，错误；

其中能判断两个直角三角形全等的有3个．

故选：D．

【点评】 本题考查了直角三角形全等的判定的应用，注意：直角三角形的全等的
判定定理有SAS，ASA，AA S，SSS，HL．

3．如图，∠B=∠E=90°，AB=DE，AC=DF，则△ABC≌△DEF的理由是（ ）


A．SAS

B．ASA

C．AAS

D．HL

【分析】根据直角三角形的判定定理进行选择．

【解答】解：∵在Rt△ABC与Rt△DEF中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．

故选：D．

【点评】 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、ASA、AAS 、HL．

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边
的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

4．如图，BE=CF， AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还
需要添加一个条件是 （ ）


A．AE=DF

B．∠A=∠D

C．∠B=∠C

D．AB=DC

第10页（共36页）


【分析】根据垂直定义求出∠CFD=∠AEB=90°，再根据全等三角形的判 定定理推
出即可．

【解答】解：条件是AB=CD，

理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，

∴∠CFD=∠AEB=90°，

在Rt△ABE和Rt△DCF中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），

故选：D．

【点评】 本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判
定定理进行推理是解此题的关键．

5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，边AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于
点E，AD平分∠BAC，则下列结论不正确的是（ ）


A．∠B的度数等于30°

C．∠ADB的度数等于120°

B．AC=AE=BE=AD

D．Rt△ADE≌Rt△BDE≌Rt△ADC

【分析】根据线段垂直平分线上的 点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，根据
等边对等角可得∠BAE=∠B，然后利用直角三角形 两锐角互余列式求出∠CAE=
∠BAE=∠B=30°，根据全等三角形的性质可对各选项分析判断后 利用排除法求
解．

【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，

∴AE=BE，AD=BD，

∴∠BAE=∠B，

∵AE平分∠BAC，

∴∠CAE=∠BAE，

∵∠C=90°，

∴∠CAE=∠BAE=∠B=30°，∠ADE=∠BDE=60°，

第11页（共36页）


∴∠ADB=120°，

故A，C正确；

易得Rt△ADE≌Rt△BDE≌Rt△ADC，故D正确；

由全等三角形的性质易得AC=AE=BE，但不等于AD，故B错误，符合题意，

故选：B．

【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性 质，角
平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等边对等角的性质，以及三角
形的内角和定 理，熟记各性质是解题的关键．

6．如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO=CO，AB= CD，则可得到△AOB≌△COD，
理由是（ ）


A．HL

B．SAS

C．ASA

D．AAS

【分析】结合图形，利用直角三角形判定全等的方法判断即可．

【解答】解：在Rt△AOB和Rt△COD中，

，

∴Rt△AOB≌Rt△COD（HL），

则如图，已知AC⊥BD，垂足为O，A O=CO，AB=CD，则可得到△AOB≌△COD，
理由是HL，

故选：A．

【点评】此题考查了直角三角形全等的判定，以及全等三角形的判定，熟 练掌握
直角三角形全等的判定方法是解本题的关键．

7．已知如图，AD∥BC，A B⊥BC，CD⊥DE，CD=ED，AD=2，BC=3，则△ADE的
面积为（ ）


第12页（共36页）


A．1

B．2

C．5

D．无法确定

【分析】因为知 道AD的长，所以只要求出AD边上的高，就可以求出△ADE的
面积．过D作BC的垂线交BC于G， 过E作AD的垂线交AD的延长线于F，
构造出Rt△EDF≌Rt△CDG，求出GC的长，即为EF 的长，然后利用三角形的
面积公式解答即可．

【解答】解：过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于
F，

∵∠EDF+∠FDC=90°，

∠GDC+∠FDC=90°，

∴∠EDF=∠GDC，

于是在Rt△EDF和Rt△CDG中，

，

∴△DEF≌△DCG，

∴EF=CG=BC﹣BG=BC﹣AD=3﹣2=1，

所以，S
△
ADE
=（AD×EF）÷2=（2×1）÷2=1．

故选：A．


【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目需要作 辅助线构造直角三
角形，利用全等三角形和面积公式来解答．对同学们的创造性思维能力要求
较 高，是一道好题．

8．如图，AB⊥AC于A，BD⊥CD于D，若AC=DB，则下列结论中不正确的是（ ）


A．∠A=∠D

B．∠ABC=∠DCB

C．OB=OD

D．OA=OD

【分析】根据已知及全等三角形 的判定方法进行分析，从而得到答案．做题时要
第13页（共36页）


结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．

【解答】解：∵AB⊥AC于A，BD⊥CD于D

∴∠A=∠D=90°（A正确）

又∵AC=DB，BC=BC

∴△ABC≌△DCB

∴∠ABC=∠DCB（B正确）

∴AB=CD

又∵∠AOB=∠COD

∴△AOB≌△DOC

∴OA=OD（D正确）

C中OD、OB不是对应边，不相等．

故选：C．

【点评】本题 考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、ASA、AAS、H L．

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

9．如图，在Rt△ABC中 ，∠ACB=90°，CD与CE分别是斜边AB上的高与中线，
以下判断中正确的个数有（ ）

①∠DCB=∠A；②∠DCB=∠ACE；③∠ACD=∠BCE；④∠BCE=∠BEC．


A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

【分析】根据垂直的定义得到∠CDB=90°，根据余角的性质得到∠D CB=∠A，故
①正确；根据直角三角形的性质得到AE=CE=BE，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACE，于是得到∠DCB=∠ACE，故②正确；同理得到∠ACD=∠BCE，故
③正 确；由于BC不一定等于BE，于是得到∠BCE不一定等于∠BEC，故④错
第14页（共36页）


误．

【解答】解：∵CD⊥AB，

∴∠CDB=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠A+∠B=∠BCD+∠B=90°，

∴∠DCB=∠A，故①正确；

∵CE是斜边AB上的中线，

∴AE=CE=BE，

∴∠A=∠ACE，

∴∠DCB=∠ACE，故②正确；

∵∠A+∠ACD=90°，

∴∠ACD=∠B，

∵CE=BE，

∴∠BCE=∠B，

∴∠ACD=∠BCE，故③正确；

∵BC不一定等于BE，

∴∠BCE不一定等于∠BEC，故④错误；

故选：C．

【点评】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关
键．

10．如图，△ABC中，AB=AC，点P为△ABC内一点，∠APB=∠BAC=120°．若A P+BP=4，
则PC的最小值为（ ）


A．2

B．2

C．

D．3

【分析】把△APB绕点 A逆时针旋转120°得到△AP′C，作AD⊥PP′于D，根据旋
转变换的性质和等腰三角形的性质 得到∠AP′P=30°，根据直角三角形的性质得
到PP′=AP，根据勾股定理和配方法计算．
【解答】解：把△APB绕点A逆时针旋转120°得到△AP′C，作AD⊥PP′于D，

第15页（共36页）


则AP=AP′，∠PAP′=120°，∠AP′C=∠APB=120°，

∴∠AP′P=30°，

∴PP′=AP，∠PP′C=90°，

∵AP+BP=4，

∴BP=4﹣PA，

在Rt△PP′C中，PC=
则PC的最小值为
故选：B．

=2，

==，


【点评】本题考查的是直角三角形的性 质，等腰三角形的性质以及配方法的应用，
掌握旋转变换的性质，含30度角的直角三角形的性质是解题 的关键．

11．在一个直角三角形中，有一个锐角等于45°，则另一个锐角的度数是（ ）

A．75°

B．60°

C．45°

D．30°

【分析】根据直角三角形两锐角互余即可解决问题；

【解答】解：∵直角三角形两锐角互余，

∴另一个锐角的度数=90°﹣45°=45°，

故选：C．

【点评】本题考查直角三角形的性质，记住直角三角形两锐角互余是解题的关键．

12．直角三角形的一个锐角∠A是另一个锐角∠B的3倍，那么∠B的度数是
（ ）

A．22.5°

B．45°

C．67.5°

D．135°

【分析】设∠B=x°，由直角三 角形的性质结合条件可得到关于x的方程，可求得
答案．

【解答】解：

设∠B=x°，则∠A=3x°，

由直角三角形的性质可得∠A+∠B=90°，

∴x+3x=90，解得x=22.5，

第16页（共36页）


∴∠B=22.5°，

故选：A．

【点评】本题主要 考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是
解题的关键．

13．下 列判断：①有两个内角分别为55°和25°的三角形一定是钝角三角形；②
直角三角形中两锐角之和为 90°；③三角形的三个内角中至少有两个锐角；④
三条高不相交的三角形一定是钝角三角形，其中正确 的有（ ）个．

A．1

B．2

C．3

D．4

【分析】根据锐角三角形、钝角三角形、直角三角形的性质即可一一判断；

【解答】 解：：①有两个内角分别为55°和25°的三角形一定是钝角三角形；正确，
符合题意，

②直角三角形中两锐角之和为90°；正确，符合题意；

③三角形的三个内角中至少有两个锐角；正确，符合题意；

④三条高不相交的三角形一定是钝角三角形；正确，符合题意；

故选：D．

【点评】本题考查锐角三角形、钝角三角形、直角三角形的性质等知识，解题的
关键是灵活运用 所学知识解决问题，属于中考常考题型．

14．直角三角形两个锐角平分线相交所成角的度数为（ ）

A．90°

B．135°

C．120°

D．45°或135°
< br>【分析】根据题意可以求得直角三角形两个锐角平分线相交所成角的度数，本题
得以解决．

【解答】解：直角三角形两个锐角平分线相交所成角的度数为：180°﹣90°×
0.5 =180°﹣45°=135°或180°﹣135°=45°，

故选：D．
【点评】本题考查直角三角形的性质，解答本题的关键是明确直角三角形的两个
锐角互余．

15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=2∠A，CD⊥AB，BD=1，则AD的 长
度是（ ）

第17页（共36页）



A．1

B．2

C．3

D．4
【分析】利用直角三角形的两锐角互余，求出∠A、∠B的度数，利用直角三角
形中含30°角的边 间关系，求出BC、AC的长，利用勾股定理求出AD．

【解答】解：在Rt△ABC中，

∵∠ACB=90°，∠B=2∠A，

∴∠A=30°，∠B=60°．

∵CD⊥AB，

∴∠BDC=∠ADC=90°．

在Rt△DBC中，∵∠B=60°，

∴∠BCD=30°，

又BD=1，

∴BC=2BD=2，

∴CD==．

，

在R t△DAC中，∵∠A=30°，CD=
∴AC=2
∴AD=
故选：C．

，

=3．


【点评】本题考查了直角三角形中含30° 角的边间关系，勾股定理等知识．含30°
角的直角三角形的边间关系：在直角三角形中，30°角所对 的边等于斜边的一
半．解决本题亦可通过相似或者锐角三角函数．

16．如图，在△ ABC中，AB=AC，∠B=30°，AD⊥AB，交BC于点D，AD=4，则
BC的长为（ ）

第18页（共36页）



A．8

B．4

C．12

D．6

【分析】由等腰三角 形的性质得出∠B=∠C=30°，∠BAD=90°；易证得∠DAC=∠
C=30°，即CD=AD =4．Rt△ABD中，根据30°角所对直角边等于斜边的一半，
可求得BD=2AD=8；由此可求 得BC的长．

【解答】解：∵AB=AC，

∴∠B=∠C=30°，

∵AB⊥AD，

∴BD=2AD=2×4=8，

∠B+∠ADB=90°，

∴∠ADB=60°，

∵∠ADB=∠DAC+∠C=60°，

∴∠DAC=30°，

∴∠DAC=∠C，

∴DC=AD=，4

∴BC=BD+DC=8+4=12，

故选：C．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、含30°角 的直角三
角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，求出BD和CD的长度是解决问题
的关键．

17．如图，在等边△ABC中，AB=10cm，D是AB的中点，过点D作DE⊥AC于 点
E，则EC的长是（ ）


A．2.5cm


B．5cm

C．7cm

第19页（共36页）
D．7.5cm


【分析】根据等边三角形的性质得到AC=AB=10， ∠A=60°，根据直角三角形的性
质求出AE，计算即可．

【解答】解：∵△ABC是等边三角形，

∴AC=AB=10，∠A=60°，

∵D是AB的中点，

∴AD=AB=5，

∵DE⊥AC，

∴∠AED=90°，

∴∠ADE=30°，

∴AE=AD=2.5，

∴EC=AC﹣AE=7.5，

故选：D．

【点评】本题考查的是直角三角形的性质，等边三角形的性质，在直角三 角形中，
30°角所对的直角边等于斜边的一半．

18．如图，在△ABC中，AB =AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=2cm，则BC的长等于
（ ）


A．8cm

B．6cm

C．4cm

D．2cm

【分析】首先根据AB=AC，可得∠B的度数，再求出∠DAC的度数 ，然后根据直
角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可
得 到BD的长，再根据等角对等边可得到CD的长，进而可得到答案．

【解答】解：∵AB=AC，∠C=30°，

∴∠B=∠C=30°，

∴∠BAC=120°，

∵AB⊥AD，AD=2cm，

∴∠BAD=90°，BD=2AD=4cm，

∴∠DAC=120°﹣90°=30°，

第20页（共36页）


∴AD=CD=2cm，

∴CB=DB+CD=6cm．

故选：B．

【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，以及直角三角形的性质，解 决问题
的关键是理清角之间的关系，进而得到线段之间的关系．

19．如图，在Rt △ABC中，∠A=30°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB，AC
于D、E两点，若BD=2， 则AC的长是（ ）


A．2

B．3

C．4

D．8

【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AD =CD，进而结合已知角得出DC，
BC的长，进而利用勾股定理得出答案．

【解答】解：连接DC，

在Rt△BCA中，∵DE为AC的垂直平分线，

∴AD=CD，

∴∠A=∠DCA=30°，

∴∠BDC=60°，

在Rt△CBD中，

cos∠BDC==，

，

，AC=2BC=4

解得：DC=4，BC=2
在Rt△CBA中，BC=2
故选：C．


【点评】此题主要考查了含30度角的直角三角形和线段垂直平分线的性质，正
确得 出DC的长是解题关键．

第21页（共36页）


20．如图 ，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC于点E，EF∥AB交
BC于点F，已知AE= 5，则△EFC的周长为（ ）


A．60

B．45

C．30

D．15

【分析】首先根据含30°角的直角三角形的 性质求得AD的长，继而求得等边△
ABC的边长，然后求得EC的长，根据平行线的性质得出∠EFC =∠B=60°，∠FEC=
∠A=60°，即可证得△EFC是等边三角形，从而求得△EFC的周长 ．

【解答】解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=60°，

∵DE⊥AC，

∴∠ADE=30°，

∴AD=2AE=2×5=10，

∵D为AB的中点，

∴AB=2AD=20，

∴AC=AB=20，

∴EC=AC﹣AE=15，

∵EF∥AB，

∴∠EFC=∠B=60°，∠FEC=∠A=60°，

∴△EFC是等边三角形，

∴△EFC的周长=3EC=3×15=45．

故选：B．

【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形 的性质，
平行线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．

21．某市为了美化环境 ，计划在如图所示的三角形空地上种植草皮，已知这种草
皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需 要（ ）

第22页（共36页）



A．450a元

B．225a元

C．150a元

D．300a元

【分析】如图，作BH⊥AC于H，先利用邻补角的定义得到∠AB H=30°，再根据
含30度的直角三角形三边的关系得到BH=AB=10，则根据三角形的面积公< br>式可计算出三角形的面积，从而得到购买这种草皮的费用．

【解答】解：如图，作BH⊥AC于H，则∠ABH=180°﹣∠BAC=30°，

在Rt△ABH中，BH=AB=10，

所以S
△
ABC
=×10×30=150，

所以购买这种草皮至少需要150a元．

故选：C．


【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所
对的直角边等于斜边 的一半．

22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，如果CD、CM分别是斜边上 的高和中线，
AC=2，BC=4，那么下列结论中错误的是（ ）


A．∠ACD=∠B

B．CM=

C．∠B=30°

D．CD=

【分析】根据同角的余角相等判断A；根据勾股定理和直角三角形的性质 判断B；
根据三角形的面积公式计算，判断D．

【解答】解：∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCD=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠B+∠BCD=90°，

第23页（共36页）


∴∠ACD=∠B，A正确，不符合题意；

在Rt△ACB中，AB==2，

∵∠ACB=90°，CM是斜边上的中线，

∴CM=，B正确，不符合题意；

，AC=2，

在Rt△ACB中，AB=2
∴∠B≠30°，C错误，符合题意；

×2×4=×2
解得，CD=
故选：C．

【点评】本题考查的是直 角三角形的性质和勾股定理，在直角三角形中，斜边上
的中线等于斜边的一半．

23 ．如图，一根木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（OM）上，当木棍
A端沿墙下滑，且B端 沿地面向右滑行时，AB的中点P到点O的距离（ ）

×CD，

，D正确，不符合题意；


A．变大

C．先变小后变大

B．变小

D．不变

【分析】根据直角三角形斜边中线的性质即可解决问题；

【解答】解：连接OP．

在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，AP=PB，

∴OP=AB．

∵AB的长是定值，

∴OP是定值，

故选：D．

第24页（共36页）



【点评】本题考查直角三角形斜边中 线的性质，解题的关键是记住直角三角形斜
边中线等于斜边一半．

24．如图，在R t△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，
过E作EF∥DC交B C的延长线于F，若四边形DCFE的周长为18cm，AC的长
6cm，则AD的长为（ ）


A．13cm

B．12cm

C．5cm

D．8cm

【分析】由三角形中位线定理推知ED∥ FC，2DE=BC，然后结合已知条件“EF∥DC”，
利用两组对边相互平行得到四边形DCFE为 平行四边形，根据在直角三角形
中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB=2DC，即可得出四边形D CFE的周
长=AB+BC，故BC=18﹣AB，然后根据勾股定理即可求得．

【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，

∴ED是Rt△ABC的中位线，

∴ED∥FC．BC=2DE，

又 EF∥DC，

∴四边形CDEF是平行四边形；

∴DC=EF，

∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，

∴AB=2DC，

∴四边形DCFE的周长=AB+BC，

第25页（共36页）


∵四边形DCFE的周长为18cm，AC的长6cm，

∴BC=18﹣AB，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∴AB
2
=BC
2
+AC
2
，即AB
2
=（18﹣AB）
2
+6
2
，

解得：AB=10cm，

∴AD=5cm，

故选：C．

【点评】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，平行四
边形的判定和性 质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．

25．直角三角形斜边上的高与中线分别为5cm和6cm，则它的面积为（ ）
cm
2
．

A．30

B．60

C．45

D．15

【分析】据直角三角形斜边上中线性质求出斜 边长，再根据直角三角形的面积公
式求出面积即可．

【解答】解：∵直角三角形的斜边上的中线为6cm，

∴斜边为2×6=12（cm），

∵直角三角形斜边上的高为5cm，

∴此直角三角形的面积为×12×5=30（cm
2
），

故选：A．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：直角三角 形斜边
上中线等于斜边的一半．

26．如图，△ABC中，AB=AC=16，AD 平分∠BAC，点E为AC的中点，连接DE，
若△CDE的周长为26，则BC的长为（ ）


A．20

B．16

C．10

第26页（共36页）
D．8



【分析】根据等腰三 角形的性质可得AD⊥BC，再根据在直角三角形中，斜边上
的中线等于斜边的一半可得答案．

【解答】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，

∴AD⊥BC，

∴∠ADC=90°，

∵点E为AC的中点，

∴DE=CE=AC=8．

∵△CDE的周长为26，

∴CD=10，

∴BC=2CD=20．

故选：A．

【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，以及直角三角形的性质，关键是掌
握在直角三角形 中，斜边上的中线等于斜边的一半．



二．填空题（共14小题）

27．在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的4倍，则较小锐角的度数为 18
度．

【分析】设较小锐角为x度．根据直角三角形两锐角互余，构建方程即可解决问
题；

【解答】解：设较小锐角为x度．

由题意：4x+x=90，

解得x=18，

故答案为18．

【点评】本题考查直角三角形的 性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决
问题，属于中考常考题型．

28．如 图△ABC中，点M是BC的中点，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，AN平分∠
BAC，A N⊥CN，则MN= 4 ．

第27页（共36页）


【分析】依据AN平分∠BAC，AN⊥CN，即可得到CN=DN，即N是CD的中点，
再根据点 M是BC的中点，即可得出MN是△BCD的中位线，依据MN=BD=
（AB﹣AD）进行计算即可．

【解答】解：如图所示，延长CN，交AB于点D，

∵∠ACB=90°，AC=5，BC=12，

∴AB=13，

∵AN平分∠BAC，AN⊥CN，

∴∠ACD=∠ADC，

∴AC=AD=5，

∴CN=DN，即N是CD的中点，

又∵点M是BC的中点，

∴MN是△BCD的中位线，

∴MN=BD=（AB﹣AD）=（13﹣5）=4，

故答案为：4．


【点评】本题主要考查了三角形中位线定理的运用，解决问题的关键是作辅助线
构造 等腰三角形ACD，利用三角形中位线定理得到MN的长．

29．如图，在△ABC中，AB =AC，∠BAC=120°．AC的垂直平分线交BC于F，交
AC于E，交BA的延长线于G，若E G=3，则BF的长是 4 ．


第28页（共36页）

< br>【分析】根据线段垂直平分线得出AE=EC，∠AEG=∠AEF=90°，求出∠B=∠C=∠
G=30°，根据勾股定理和含30°角的直角三角形性质求出AE和EF，即可求出
FG，再求出B F=FG即可．

【解答】解：∵AC的垂直平分线FG，

∴AE=EC，∠AEG=∠AEF=90°，

∵∠BAC=120°，

∴∠G=∠BAC﹣∠AEG=120°﹣90°=30°，

∵∠BAC=120°，AB=AC，

∴∠B=∠C=（180°﹣∠BAC）=30°，

∴∠B=∠G，

∴BF=FG，

∵在Rt△AEG中，∠G=30°，EG=3，

∴AG=2AE，

即（2AE）
2
=AE
2
+3
2
，

∴AE=
即CE=
（负数舍去），

，

同理在Rt△CEF中，∠C=30°，CF=2EF，

（2EF）
2
=EF
2
+（）
2
，

∴EF=1（负数舍去），

∴BF=GF=EF+CE=1+3=4，

故答案为：4．

【点评】本题考查了勾股定理，含30°角的直角三角形性质，等腰 三角形的性质
和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．

30．如 图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，CD=2，
则BC = 6 ．


【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE=CD=2 ，根据直角三角形
第29页（共36页）


的性质得到BD=2DE=4，结合图形计算即可．

【解答】解：作DE⊥AB于E，

∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB，

∴DE=CD=2，

∵DE⊥AB，∠B=30°，

∴BD=2DE=4，

∴BC=CD+BD=6，

故答案为：6．


【点评】本题考查的是直角三角形的性质，角平分线的性 质，在直角三角形中，
30°角所对的直角边等于斜边的一半．

31．如图，在等边 △ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，
DM⊥BC，垂足为M，若A B=4cm，则DE= 2 cm．


【分析】根据等边三角形的性质得到AC=A B=4，∠ACB=60°，求出DM，根据直
角三角形的性质计算．

【解答】解：∵△ABC是等边三角形，

∴AC=AB=4，∠ACB=60°，

∴DC=2，∠CDM=30°，

∴CM=CD=1，

∴DM=
∵CE=CD，

∴∠CDE=∠E=30°，

第30页（共36页）

=，


∴DE=2DM=2
故答案为：2
，

．

【点评】本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的性质，直角三角形中，< br>30°角所对的直角边等于斜边的一半．

32．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4cm，则AB= 8 cm．

【分析】根据题意和在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，可以求得AB的长．

【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4cm，

∴AB=2BC=8cm，

故答案为；8


【点评】本 题考查含30度角的直角三角形，解答本题的关键是明确在直角三角
形中，30°角所对的直角边是斜边 的一半．

33．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，CE是边AB上的中线，如 果CD=BE，
∠B=40°，那么∠BCE= 20 度．


【分析】连 接DE，根据直角三角形的性质得到DE=BE，得到∠EDB=∠B=40°，根
据三角形的外角的性 质计算即可．

【解答】解：连接DE，

∵CE是△ABC边AB上的中线，

∴DE是△ABD边AB上的中线，

∵AD⊥BC，

∴DE=AB=BE，

∴∠EDB=∠B=40°，

第31页（共36页）


∵CD=BE，

∴CD=DE，

∴∠DEC=∠DCE=∠EDB=20°，

故答案为：20．


【点评】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握直角三角形
中，斜边上的中 线等于斜边的一半是解题的关键．

34．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB=20，则CD= 10 ．


【分析】根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答．

【解答】解：∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，

∴CD=AB=10，

故答案为：10．

【点评】本题考查的直 角三角形的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于
斜边的一半是解题的关键．

35．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB上的中点，若∠ACD=20°，则∠B=
70° ．


【分析】先根据直角三角形斜边中线的性质得：AD=CD， 由等腰三角形的性质得：
∠A=20°，最后利用直角三角形两锐角互余可得结论．

【解答】解：∵∠C=90°，D为AB上的中点，

第32页（共36页）


∴CD=AB=AD，

∴∠A=∠ACD=20°，

∴∠B=90°﹣20°=70°，

故答案为：70°．

【点评 】本题考查了直角三角形的性质．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜
边的一半．

36．Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，AC=10，则BD= 5 ．

【分析】由已知条件推知BD是直角三角形Rt△ABC斜边AC上的中线，所以根
据直角三角 形斜边上的中线与斜边的数量关系填空即可．

【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为AC的中点，连接BD，

∴线段BD是斜边AC上的中线，

∴AC=2BD，

又∵AC=10，

∴BD=AC=5．

故答案为：5．


【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边
上的 中线等于斜边的一半．

37．两边长分别为3和4的直角三角形，则直角三角形斜边上中线的长是 2.5
或2 ．

【分析】分4是斜边时和4是直角边时，利用勾股定理列式求出斜边，然后根据
直 角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．

【解答】解：4是斜边时，此直角三角形斜边上的中线长=×4=2，

4是直角边时，斜边==5，

此直角三角形斜边上的中线长=×5=2.5，

第33页（共36页）


综上所述，此直角三角形斜边上的中线长为2.5或2．

故答案为：2.5或2．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半的性质，勾股定理，
难点在于分情况讨论．

38．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D是AB的中点，则CD= 3 ．


【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．

【解答】解：∵∠ACB=90°，D为AB的中点，

∴CD=AB=×6=3．

故答案为：3．

【点评】本题考查了 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质
是解题的关键．

39．如 图，△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，AB=4cm，D是AB的中点，现将
△BC D沿BA方向平移1cm，得到∠EFG，FG交AC于H，FE交AC于M，则
△EFG与△ABC重 叠部分的面积为 cm
2


【分析】过C作CN⊥AB于N，证明△BC D为等边三角形，利用含30°角的直角
三角形的性质计算出CN，MF，HM，再表示出△FHM和△ FGE的面积，求差
即可．

【解答】解：过C作CN⊥AB于N，

∵△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，

∴BC=AB=×4=2．

第34页（共36页）


∵△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，

∴CD=BD=AD=2，

∵∠ABC=60°，

∴△BCD为等边三角形，

∴NB=BD=1，CN=
∵DG=1，AD=2，

∴GH=AG=1，

∴FH=1，

∵∠A=30°，

∴∠A=30°=∠AHG=∠FHM=30°，

∵FE∥CB，∠ACB=90°，

∴MF=FH=，HM=
∴S
△
EFG
=S
△
BCD
=×2×=
S
△
M FH
=××
∴S
四边形
GHME
=
故答案为：
﹣< br>．

=
=
，

（cm
2
），

FM=
，

．

NB=，


【点评】本题考查了平移的性质，含30°角的直角三角形的性 质，等边三角形的
判定与性质，平行线的性质，解题的关键是准确作出辅助线、灵活运用相关
的 定理．

40．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AC=26，BD =24，M、N分别
是AC、BD的中点，则线段MN的长为 5 ．

第35页（共36页）



【分析】根据在直角三角形中，斜边 上的中线等于斜边的一半得到BM=DM=5，
根据等腰三角形的性质得到BN=4，根据勾股定理得到 答案．

【解答】解：连接BM、DM，


∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，

∴BM=AC，DM=AC，

∴BM=DM=13，又N是BD的中点，

∴BN=DN=BD=12，

∴MN=
故答案为：5．

【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角
形中，斜边上的中线等于 斜边的一半是解题的关键．



=5，

第36页（共36页）