圆体积公式《三角形格点与面积》专题

三角形格点与面积

1．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长为 1个单位长度．△ABC的顶点都在正方形网格的格点
上，且通过两次平移（沿网格线方向作上下或左右 平移）后得到△A'B'C'，点C的对应点是直线上的格点C'．
（1）画出△A'B'C'；
（2）在BC上找一点P，使AP平分△ABC的面积；
（3）试在直线l上画出所有的格点Q，使得由点A'、B'、C'、Q四点围成的四边形的面积为9．

2．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如 图所示，现将△ABC平
移，使点A变换为点A′，点B′、C′分别是B、C的对应点．
（1）请画出平移后的△A′B′C′；
（2）若连接AA′，CC′，则这两条线段之间的关系是 ．
（3）作直线MN，将△ABC分成两个面积相等的三角形．

3．如图：在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图（只能借助于网格）．
（1）画出△ABC中BC边上的高AH和BC边上的中线AD．
（2）画出将△ABC向右平移5格又向上平移3格后的△A′B′C′．
（3）△ABC的面积为 ．
（4）若连接AA′，CC′，则这两条线段之间的关系是 ．
第1页（共35页）

三角形格点与面积


4．正方形网格中的每个小正方形的边长均 为1个单位长度，△ABC各顶点的位置如图所示．将△ABC平移，使点
A移到点D，点E、F分别是 B、C的对应点．
（1）画出平移后的△DEF；
（2）在AB上找一点P，使得线段CP平分△ABC的面积；
（3）利用网格画△ABC的高BH；
（4）连接AD、CF，AD与CF的关系是 ．

5．如图，三角形ABC的顶点A，B，C都在格点（正方形网格线的交点）上，将三角 形ABC向左平移2格，再向
上平移3格，得到三角形A'BC“（设点A、B、C分别平移到A′、B ′、C′）
（1）请在图中画出平移后的三角形A'B′C′；
（2）若连接BB′、CC′，则这两条线段的位置关系是 ．数量关系是
（3）若BB'与AC相交于点P，则∠A'B'P，∠B'PA与∠PAB三个角之间的数量关系为
A．∠A'B'P+∠B'PA+∠PAB＝180°
B．∠A'B'P+∠B'PA+∠PAB＝360°
C．∠A'B'P+∠B'PA﹣∠PAB＝180°
D．∠A'B'P+∠B'PA﹣∠PAB＝360°
第2页（共35页）

三角形格点与面积


6．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单 位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平
移，使点C变换为点D，点A、B的对应 点分别是点E、F．
（1）在图中请画出△ABC平移后得到的△EFD；
（2）在图中画出△ABC的AB边上的高CH；
（3）若点P在格点上，且S
△< br>PBC
＝S
△
ABC
（点P与点A不重合），满足这样条件的P点有 个．

7．如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．
（ 1）画出△ABC向右平移4个单位后得到的△A
1
B
1
C
1
；
（2）画出△ABC中AB边上的中线CM；
（3）图中△ABC的面积是 ．

第3页（共35页）

三角形格点与面积

8．如 图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的< br>对应点B′．根据下列条件，利用网格点和直尺画图：
（1）补全△A′B′C′；
（2）作出△ABC的中线CD；
（3）画出BC边上的高线AF；
（4）若△ABC与△ABE面积相等，则图中满足条件且异于点C的格点E共有 个．
（注：格点指网格线的交点）

9．画图（只能借助于网格）并填空：
如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小正方形的顶点叫格点．
（1）将△ABC向左平移4格，再向上平移1格，请在图中画出平移后的△A′B′C′；
（2）△A′B′C′的面积为 ；
（3）利用网格在图中画出△ABC的中线AD，高线AE；
（4）在右图中能使S
△
PBC
＝S
△
ABC
的格点p的个数有 个（点P异于A）．

10．画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方 格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′
C′，图中标出了点B的对应点B′．
（1）在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；
（2）画出AB边上的中线CD和BC边上的高线AE；
（3）线段AA′与线段BB′的关系是： ；
第4页（共35页）

三角形格点与面积

（4）求四边形ACBB′的面积．

11． 如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B ′．根
据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）：
（1）画出△A′B′C′；
（2）画出△ABC的高BD；
（3）连接AA′、CC′，那么AA′与CC′的关系是 ，线段AC扫过的图形的面积为 ．

12．画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将△ABC 经过一次平移后得到△A′B′
C′，图中标出了点B的对应点B′．利用网格点和三角板画图或计算：
（1）在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；
（2）画出AB边上的中线CD；
（3）画出BC边上的高线AE；
（4）△A′B′C′的面积为 ．
（ 5）点F为方格纸上的格点（异于点B），若S
△
ACB
＝S
△
AC F
，则图中这样的格点F共有 个．

第5页（共35页）

三角形格点与面积

13．如图，网格中每个小正方形边长为1，△ABC的顶点都在 格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移3格，
得到△A′B′C′．
（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；
（2）若连接BB′，CC′，则这两条线段的关系是 ；
（3）△ABC在整个平移过程中线段AB扫过的面积为 ．

14．利用直尺画图
（1）利用图（1）中的网格，过P点画直线AB的平行线和垂线． < br>（2）把图（2）网格中的三条线段通过平移使三条线段AB、CD、EF首尾顺次相接组成一个三角形．
（3）如果每个方格的边长是单位1，那么图（2）中组成的三角形的面积等于 ．

15．如图：在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图（只能借助于网格）．

（1）分别画出△ABC中BC边上的高AH、中线AG．
（2）画出先将△ABC向右平移6格，再向上平移3格后的△DEF．
第6页（共35页）

三角形格点与面积

（3）画一个锐角△MNP（要求各顶点在格点上），使其面积等于△ABC的面积的2倍．
16．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△A BC平
移，使点A变换为点A′，点B′、C′分别是B、C的对应点．
（1）请画出平移后的△A′B′C′，并求△A′B′C′的面积＝ ；
（2）请在AB上找一点P，使得线段CP平分△ABC的面积，在图上作出线段CP；
（3）请在图中画出过点C且平行于AB的直线CM．

17．在正方形网格中，每 个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平
移，使点A 变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点．
（1）请画出平移后的△DEF；
（2）若连接AD、CF，则这两条线段之间的关系是 ；
（3）在图中找出所有满 足S
△
ABC
＝S
△
QBC
的格点Q （异于点A），并用Q
1
、Q
2
表示．

18．画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小正方形的顶点叫格点．
（1）将△ABC向左平移8格，再向下平移1格．请在图中画出平移后的△A′B′C′；
（2）利用网格在图中画出△ABC的中线CD，高线AE；
（3）△A′B′C′的面积为 ．
（4）在平移过程中线段BC所扫过的面积为 ．
（5）在右图中能使S
△
PBC
＝S
△
ABC
的格点P的个数有 个（点P异于A）．
第7页（共35页）

三角形格点与面积


19．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示． 现将△ABC平
移，使点A平移到点D，点E、F分别是B、C的对应点．

（1）请画出平移后的△DEF，并求△DEF的面积＝ ；
（2）在AB上找一点M，使CM平分△ABC的面积；
（3）在网格中找格点P，使S△
ABC
＝S
△
BCP
，这样的格点P有 个． 20．如图，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C，图中标出了点B的对应点B′．根据 下列条件，
利用网格点和三角板画图：
（1）补全△A′B′C；
（2）画出AB边上的中线CD；
（3）画出AC边上的高线BE；
（4）平移过程中，线段AB扫过的面积为 ．

21．在正方形网格中， 每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平
移，使点 A变换为点A′，点B′、C′分别是B、C的对应点．
（1）请画出平移后的△A′B′C′，并求△A′B′C′的面积；
第8页（共35页）

三角形格点与面积

（2）在图中找出格点D，使△ACD的面积与△ABC的面积相等．

22．如图 ，网格中每个小正方形边长为1，△ABC的顶点都在格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移3格，得到△A′B′C′．
（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；
（2）画出平移后的△A′B′C′的中线B′D′
（3）若连接BB′，CC′，则这两条线段的关系是
（4）△ABC在整个平移过程中线段AB扫过的面积为
（5）若△ABC与△ABE面积相等，则图中满足条件且异于点C的格点E共有 个
（注：格点指网格线的交点）

23．如图所示，在8×8的网格中，△ABC是格 点三角形（顶点是网格的交点），若点A坐标为（﹣1，3），按要求
回答下列问题：
（1）建立符合条件的平面直角坐标系，并写出点B和点C的坐标；
（2）将△ABC先向下 平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到△DEF，请在图中画出△DEF，并求
出线段AC 在平移过程中扫过的面积．
第9页（共35页）

三角形格点与面积


24．如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B ′C′，图中标出了点B的
对应点B′．根据下列条件，利用网格点和三角板画图：

（1）补全△A′B′C′
（2）画出AB边上的中线CD；
（3）画出BC边上的高线AE；
（4）△A′B′C′的面积为 ．
25．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC向左平移1格，再向上平移3格，其 中每个格子的边长为
1个长度单位．
（1）在图中画出平移后的△A′B′C′；
（2）若连接AA′，CC′，则这两条线段的关系是 ；
（3）作直线l，将△ABC分成两个面积相等的三角形．

第10页（共35页）

三角形格点与面积

参考答案与试题解析
一．解答题（共25小题）
1．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长为 1个单位长度．△ABC的顶点都在正方形网格的格点
上，且通过两次平移（沿网格线方向作上下或左右 平移）后得到△A'B'C'，点C的对应点是直线上的格点C'．
（1）画出△A'B'C'；
（2）在BC上找一点P，使AP平分△ABC的面积；
（3）试在直线l上画出所有的格点Q，使得由点A'、B'、C'、Q四点围成的四边形的面积为9．

【分析】（1）根据平移的性质画出图形即可；
（2）根据三角形中线的性质解答即可；
（3）根据面积公式解答即可．
【解答】解：（1）如图所示：△A'B'C'即为所求；
（2）如图所示：点P即为所求；
（3）如图所示：点Q即为所求．

【点评】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
第11页（共35页）

三角形格点与面积

2．在正方形网格中 ，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平
移，使 点A变换为点A′，点B′、C′分别是B、C的对应点．
（1）请画出平移后的△A′B′C′；
（2）若连接AA′，CC′，则这两条线段之间的关系是 相等且平行 ．
（3）作直线MN，将△ABC分成两个面积相等的三角形．

【分析】（1）作出A、B、C的对应点A′、B′、C′即可；
（2）根据平移的性质可知，线段AA′，CC′这两条线段之间的关系是相等且平行；
（3）构造平行四边形ABCD，对角线BD所在的直线即为所求的直线MN．
【解答】解：（1）平移后的△A′B′C′如图所示．
（2）根据平移的性质可知，线段AA′，CC′这两条线段之间的关系是相等且平行，
故答案为相等且平行．
（3）构造平行四边形ABCD，对角线BD所在的直线即为所求的直线MN．


【点评】本题考查平移变换、平移变换的性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用 所学知
识解决问题，属于中考常考题型．
3．如图：在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图（只能借助于网格）．
（1）画出△ABC中BC边上的高AH和BC边上的中线AD．
（2）画出将△ABC向右平移5格又向上平移3格后的△A′B′C′．
第12页（共35页）

三角形格点与面积

（3）△ABC的面积为 3 ．
（4）若连接AA′，CC′，则这两条线段之间的关系是 AA′＝CC′且AA′∥CC′ ．

【分析】（1）根据三角形的中线和高的定义作图即可得；
（2）根据平移变换的定义作出变换后的对应点，再顺次连接即可得；
（3）直接利用三角形的面积公式计算可得；
（4）根据平移变换的性质可得答案．
【解答】解：（1）如图所示，AH和AD即为所求；

（2）如图所示，△A′B′C′即为所求；
（3）△ABC的面积为×3×2＝3，
故答案为：3；
（4）由平移的性质知AA′＝CC′且AA′∥CC′，
故答案为：AA′＝CC′且AA′∥CC′．
【点评】本题主要考查作图﹣平移变换，解题 的关键是熟练掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对
应点．
4．正方形网格中的 每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC各顶点的位置如图所示．将△ABC平移，使点
A移到 点D，点E、F分别是B、C的对应点．
（1）画出平移后的△DEF；
（2）在AB上找一点P，使得线段CP平分△ABC的面积；
（3）利用网格画△ABC的高BH；
第13页（共35页）

三角形格点与面积

（4）连接AD、CF，AD与CF的关系是 AD＝CF，AD∥CF ．

【分析】（1）作出B，C的对应点E，F即可解决问题．
（2）取AB中点P，连接CP即可．
（3）取格点T作射线BT交AC于H，线段BH即为所求．
（4）根据平移的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）△DEF如图所示．
（2）线段CP即为所求．
（3）取格点T作射线BT交AC于H，线段BH即为所求．
（4）AD＝CF，AD∥CF．

故答案为：AD＝CF，AD∥CF．
【点评】本题考查平移变换，三角形的中线，高等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常
考题型．
5．如图，三角形ABC的顶点A，B，C都在格点（正方形网格线的交点）上，将 三角形ABC向左平移2格，再向
上平移3格，得到三角形A'BC“（设点A、B、C分别平移到A′ 、B′、C′）
（1）请在图中画出平移后的三角形A'B′C′；
（2）若连接BB′、CC′，则这两条线段的位置关系是 BB′∥CC′ ．数量关系是 BB′＝CC′
（3）若BB'与AC相交于点P，则∠A'B'P，∠B'PA与∠PAB三个角之间的数量关系为 C
A．∠A'B'P+∠B'PA+∠PAB＝180°
B．∠A'B'P+∠B'PA+∠PAB＝360°
第14页（共35页）

三角形格点与面积

C．∠A'B'P+∠B'PA﹣∠PAB＝180°
D．∠A'B'P+∠B'PA﹣∠PAB＝360°

【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点A′、B′、C′即可；
（2）根据平移的性质求解；
（3）根据平行线的性质和三角形外角性质解答．
【解答】解：（1）如图所示：△A'B'C'即为所求：

（2）根据平移的性质可得：BB′∥CC′，BB′＝CC′；
故答案为：BB′∥CC′；BB′＝CC′；
（3）由图可知：∠A'B'P+∠B'PA﹣∠PAB＝180°
故答案为：C
【点评】本题考查了作图﹣平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找< br>到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平 移后
的图形．
6．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个 顶点的位置如图所示．现将△ABC平
移，使点C变换为点D，点A、B的对应点分别是点E、F．
（1）在图中请画出△ABC平移后得到的△EFD；
（2）在图中画出△ABC的AB边上的高CH；
第15页（共35页）

三角形格点与面积

（3）若点P在格点上，且S
△
PBC
＝S
△
ABC
（点P与点A不重合），满足这样条件的P点有 4 个．

【分析】（1）作出A，B的对应点，E，F即可．
（2）根据高的定义画出图形即可．
（3）利用等高模型解决问题即可．
【解答】解：（1）△DEF如图所示．
（2）线段CH如图所示．


（3）如图所示满足条件的点P有4个．
故答案为4
【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握 基本知识，属于中考常考题型．
7．如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．
（1）画出△ABC 向右平移4个单位后得到的△A
1
B
1
C
1
；
（2）画出△ABC中AB边上的中线CM；
（3）图中△ABC的面积是 8 ．
第16页（共35页）

三角形格点与面积


【分析】（1）根据平移的定义作出变换后的对应点，再顺次连接即可得；
（2）根据中线的概念作图可得；
（3）利用割补法求解可得．
【解答】解：（1 ）如图所示，△A
1
B
1
C
1
即为所求．

（2）如图所示，CM即为所求；
（3）△ABC的面积是×5×7﹣×2×6﹣×（2+5）×1＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 8．如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出 了点B的
对应点B′．根据下列条件，利用网格点和直尺画图：
（1）补全△A′B′C′；
（2）作出△ABC的中线CD；
（3）画出BC边上的高线AF；
（4）若△ABC与△ABE面积相等，则图中满足条件且异于点C的格点E共有 6 个．
（注：格点指网格线的交点）
第17页（共35页）

三角形格点与面积


【分析】（1）由点B及其对应点B′的位置得出平移 方向和距离，据此将点A、C按照相同方式平移得到对应点，
再顺次连接即可得；
（2）根据中线的概念作图可得；
（3）根据高线的概念求解可得；
（4）根据共底等高及平行线间的距离处处相等作图可得．
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求．

（2）如图所示，CD即为所求；
（3）如图所示，AF即为所求；
（4）如图所示，中满足条件且异于点C的格点E共有6个，
故答案为：6．
【点 评】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质及中线、高线的概念、平
行线间的距离处处相等．
9．画图（只能借助于网格）并填空：
如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小正方形的顶点叫格点．
（1）将△ABC向左平移4格，再向上平移1格，请在图中画出平移后的△A′B′C′；
（2）△A′B′C′的面积为 4 ；
（3）利用网格在图中画出△ABC的中线AD，高线AE；
（4）在右图中能使S
△
PBC
＝S
△
ABC
的格点p的个数有 7 个（点P异于A）．
第18页（共35页）

三角形格点与面积


【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A′B′C′即可；
（2）利用三角形的面积公式即可得出结论；
（3）根据格点的特点△ABC的中线CD，高线AE即可；
（4）过点A作直线BC的平行线，此直线与格点的交点即为P点．
【解答】解：（1）如图所示：
（2））△A′B′C′的面积＝
故答案为：4；
（3）如图所示：AD，AE即为所求；
（4）能使S
△
PBC
＝ S
△
ABC
的格点p的个数有7个，
故答案为：7
，

【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
10 ．画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B ′
C′，图中标出了点B的对应点B′．
（1）在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；
（2）画出AB边上的中线CD和BC边上的高线AE；
（3）线段AA′与线段BB′的关系是： 平行且相等 ；
（4）求四边形ACBB′的面积．
第19页（共35页）

三角形格点与面积


【分析】（1）根据图形平移的性质画出△A′B′C′即可；
（2）取线段AB的中点D，连接CD，过点A作AE⊥BC的延长线与点E即可；
（3）根据图形平移的性质可直接得出结论；
（4）根据S
四边形
ACBB
′
＝S
梯形
AFGB
+S
△
ABC
﹣S< br>△
BGB
′
﹣S
△
AFB
′
即可得出结论．
【解答】解：（1）如图所示；

（2）如图所示；

（3）由图形平移的性质可知，AA′∥BB′，AA′＝BB′．
故答案为：平行且相等；

（4）S
四边形
ACBB
′
＝S
梯形
A FGB
+S
△
ABC
﹣S
△
BGB
′
﹣S
△
AFB
′

＝（7+3）×6+×4×4﹣×1×7﹣×3×5
＝30+8﹣﹣
＝27．


【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
11 ．如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点 B′．根
据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）：
（1）画出△A′B′C′；
（2）画出△ABC的高BD；
第20页（共35页）

三角形格点与面积

（3）连接AA′、CC′，那么AA′与CC′的关系是 平行且相等 ，线段AC扫过的图形的面积为 10 ．

【分析】（1）根据平移的定义和性质作出点A、C平移后的对应点，顺次连接即可得；
（2）根据三角形高的定义作图即可得；
（3）根据平移变换的性质可得，再利用割补法求出平行四边形的面积．
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；


（2）如图所示，BD即为所求；

（3）如图所示，AA′与CC′的关系是平行且相等，
线段AC扫过的图形的面积为10×2﹣2××4×1﹣2××6×1＝10，
故答案为：平行且相等、10．
【点评】此题主要考查了平移变换以及平行四边形面积求法等 知识，根据题意正确把握平移的性质是解题关键．
12．画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的 边长都为1．在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′
C′，图中标出了点B的对应点B′ ．利用网格点和三角板画图或计算：
（1）在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；
（2）画出AB边上的中线CD；
第21页（共35页）

三角形格点与面积

（3）画出BC边上的高线AE；
（4）△A′B′C′的面积为 8 ．
（5）点F为方格纸上的格点（异于点B），若S< br>△
ACB
＝S
△
ACF
，则图中这样的格点F共有 7 个．

【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A′B′C′即可；
（2）画出AB边上的中线CD即可；
（3）过点A向BC的延长线作垂线，垂足为点E即可；
（4）利用三角形的面积公式求解即可；
（5）过点B作BF∥AC，直线BF与格点的交点即为所求，还有AC下方的一个点．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；

（2）如图，线段CD即为所求；

（3）如图，线段AE即为所求；

（4）S
△
A
′
B
′
C
′
＝×4 ×4＝8．
故答案为：8；

（5）如图，共有7个格点．
故答案为：7．

第22页（共35页）

三角形格点与面积

【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
13 ．如图，网格中每个小正方形边长为1，△ABC的顶点都在格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移3格 ，
得到△A′B′C′．
（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；
（2）若连接BB′，CC′，则这两条线段的关系是 平行且相等 ；
（3）△ABC在整个平移过程中线段AB扫过的面积为 12 ．

【分析】（1 ）利用网格特点和平移的性质分别画出点A、B、C的对应点A′、B′、C′即可得到△A′B′C′；
（2）根据平移的性质求解；
（3）由于线段AB扫过的部分为平行四边形，则根据平行四边形的面积公式可求解．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′为所作；

（2）BB′∥CC′，BB′＝CC′；
（3）线段AB扫过的面积＝4×3＝12．
故答案为平行且相等；12．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换：确定平移后图形的基本要 素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找
到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和 距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后
第23页（共35页）

三角形格点与面积

的图形．
14．利用直尺画图
（1）利用图（1）中的网格，过P点画直线AB的平行线和垂线．
（2）把图（2）网格中 的三条线段通过平移使三条线段AB、CD、EF首尾顺次相接组成一个三角形．
（3）如果每个方格的边长是单位1，那么图（2）中组成的三角形的面积等于 3.5 ．

【分析】（1）根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与AB平行的格点以及垂直的格 点作出即
可；
（2）根据网格结构的特点，过点E找出与AB、CD位置相同的线段，过点F 找出与AB、CD位置相同的线段，
作出即可；
（3）根据S
△
＝S
正方形
﹣三个角上的三角形的面积即可得出结论．
【解答】解：（1）、（2）如图所示；

（3）S
△
EFH
＝3×3﹣×1×2﹣×2×3﹣×1×3
＝9﹣1﹣3﹣
＝3.5．
故答案为：3.5．

【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
15．如图：在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图（只能借助于网格）．
第24页（共35页）

三角形格点与面积


（1）分别画出△ABC中BC边上的高AH、中线AG．
（2）画出先将△ABC向右平移6格，再向上平移3格后的△DEF．
（3）画一个锐角△MNP（要求各顶点在格点上），使其面积等于△ABC的面积的2倍．
【分析】（1）根据三角形的高和中线的定义结合网格作图可得；
（2）根据平移变换的定义和性质作图可得；
（3）由△ABC的面积为3知所作三角形的面积为6，据此结合网格作图可得．
【解答】解：（1）如图所示，AH、AG即为所求；


（2）如图所示，△DEF即为所求；

（3）如图所示，△MNP即为所求． < br>【点评】本题主要考查作图﹣基本作图及平移变换，解题的关键是掌握三角形的高、中线的定义和平移变换 的定
义与性质．
16．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的 三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平
移，使点A变换为点A′，点B′、C′分别是B、C的对应 点．
（1）请画出平移后的△A′B′C′，并求△A′B′C′的面积＝ 7 ；
（2）请在AB上找一点P，使得线段CP平分△ABC的面积，在图上作出线段CP；
（3）请在图中画出过点C且平行于AB的直线CM．
第25页（共35页）

三角形格点与面积


【分析】（1）根据点A到A'的平移规律：向右移6 个单位，再向下平移2个单位，直接平移并利用面积差计算
面积；
（2）作中线AP，可平分△ABC的面积；
（3）作平行线CM．
【解答】解：（1）画△A'B'C'，
S
△
A'B'C
'＝4×4﹣×2×4﹣×2×3﹣×1×4＝7；（4分）
故答案为：7；
（2）取AB的中点P，作线段CP；（6分）
（3）画AB的平行线CM．（8分）

【点评】本题考查了平移变换的作图、三角 形的面积、平分三角形的面积、平行线，知道三角形的中线平分三角
形的面积，并会根据一个对应点的平 移规律进行作图．
17．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶 点的位置如图所示．现将△ABC平
移，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点．
（1）请画出平移后的△DEF；
（2）若连接AD、CF，则这两条线段之间的关系是 AD＝CF，AD∥CF ；
（3）在图中找出所有满足S
△
ABC
＝S< br>△
QBC
的格点Q （异于点A），并用Q
1
、Q
2
表示．
第26页（共35页）

三角形格点与面积


【分析】（1）将三角形的三顶点分别向右平移6格、向下平移1格得到三顶点，再顺次连接可得；
（2）根据平移变换的性质可得答案；
（3）过点A作线段BC的平行线，平行线经过的网格 点即为点Q
1
、Q
2
．
【解答】解：（1）如图所示，△DEF即为所求．


（2）根据平移变换的性质知，AD＝CF，AD∥CF，
故答案为：AD＝CF，AD∥CF；

（3）过点A作线段BC的平行线，平行线 经过的网格点即为点Q
1
、Q
2
．
【点评】本题考查了利用平移变 换作图，平移的性质，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
18．画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小正方形的顶点叫格点．
（1）将△ABC向左平移8格，再向下平移1格．请在图中画出平移后的△A′B′C′；
（2）利用网格在图中画出△ABC的中线CD，高线AE；
（3）△A′B′C′的面积为 8 ．
（4）在平移过程中线段BC所扫过的面积为 32 ．
（5）在右图中能使S△
PBC
＝S
△
ABC
的格点P的个数有 9 个（点P异于A）．
第27页（共35页）

三角形格点与面积


【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A′B′C′即可；
（2）根据格点的特点△ABC的中线CD，高线AE即可；
（3）利用三角形的面积公式即可得出结论；
（4）利用平行四边形的面积公式即可得出结论；
（5）过点A作直线BC的平行线，此直线与格点的交点即为P点．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；

（2）如图，中线CD，高线AE即为所求；

（3）S
△
A′
B
′
C
′
＝×4×4＝8．
故答案为：8；

（4）线段BC所扫过的面积＝8×4＝32．
故答案为：32；

（5）如图，共有9个点．
故答案为：9．

【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
19 ．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC 平
第28页（共35页）

三角形格点与面积

移，使点A平移到点D，点E、F分别是B、C的对应点．

（1）请画出平移后的△DEF，并求△DEF的面积＝ 7 ；
（2）在AB上找一点M，使CM平分△ABC的面积；
（3）在网格中找格点P，使S△
ABC
＝S
△
BCP
，这样的格点P有 4 个．
【分析】（1）根据平移的性质画出图象，再利用三角形的面积公式计算即可；
（2）根据中线的定义画出中线即可平分三角形面积；
（3）在过点A平行BC的直线上有4个格点，所以满足条件的△PCB有4个．
【解答】解 ：（1）如图所示：△DEF即为所求，△DEF的面积为：4×4﹣×2×4﹣×2×3﹣×1×4＝7；
故答案为：7；

（2）如图所示：点M即为所求；

（3）使 S
△
ABC
＝S
△
BCP
，这样的格点P有4个．
故答案为：4．

【点评】本题考查平移变换、三角形的面积、三角形的中线等知识 ，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，
属于中考常考题型．
20．如图，在方格纸内将 △ABC经过一次平移后得到△A′B′C，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，
第29页（ 共35页）

三角形格点与面积

利用网格点和三角板画图：
（1）补全△A′B′C；
（2）画出AB边上的中线CD；
（3）画出AC边上的高线BE；
（4）平移过程中，线段AB扫过的面积为 8 ．

【分析】（1）直接利用平移的性质得出各点位置即可；
（2）利用中线的定义得出D点的位置；
（3）利用高线的定义得出E点的位置
（4）直接利用面积求法得出答案．
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求．
（2）如图所示，CD即为所求．
（3）如图所示，BE即为所求．
（4），．

故答案为：8
【点评】此题主要考查了平移变换以及面积求法，正确得出平移后对应点位置是解题关键．
2 1．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△AB C平
移，使点A变换为点A′，点B′、C′分别是B、C的对应点．
（1）请画出平移后的△A′B′C′，并求△A′B′C′的面积；
（2）在图中找出格点D，使△ACD的面积与△ABC的面积相等．
第30页（共35页）

三角形格点与面积


【分析】（1）根据图形平移的性质画出△ A′B′C′，利用正方形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可；
（2）过点B作直线l∥AC，直线l与格点的交点即为所求．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求，
S
△
A
′< br>B
′
C
′
＝3×3﹣×2×1﹣×3×1﹣×2×3＝9﹣1﹣﹣3＝ 3.5；

（2）如图，点D
1
，D
2
即为所求．

【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键． < br>22．如图，网格中每个小正方形边长为1，△ABC的顶点都在格点上．将△ABC向左平移2格，再向 上平移3格，
得到△A′B′C′．
（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；
（2）画出平移后的△A′B′C′的中线B′D′
（3）若连接BB′，CC′，则这两条线段的关系是 BB′∥CC′，BB′＝CC′
（4）△ABC在整个平移过程中线段AB扫过的面积为 12
（5）若△ABC与△ABE面积相等，则图中满足条件且异于点C的格点E共有 10 个
（注：格点指网格线的交点）
第31页（共35页）

三角形格点与面积


【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点A′、B′、C′即可；
（2）利用网格特点找出A′C′的中点D′，然后连接B′D′即可；
（3）根据平移的性质求解；
（4）利用平移的性质和平行四边形的面积公式求解；
（5）过点C作AB的平行线，然后找出此平行线上的格点即可．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′为所作；
（2）如图，中线B′D′为所作；
（3）BB′∥CC′，BB′＝CC′；
（4）△ABC在整个平移过程中线段AB扫过的面积＝4×3＝12；
（5）满足条件且异于点C的格点E共有10个．

故答案为BB′∥CC′，BB′＝CC′；12；10．
【点评】本题考查了作图﹣平移变 换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找
到图形的关键点，分别把这 几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后
的图形．
23．如图所示，在8×8的网格中，△ABC是格点三角形（顶点是网格的交点），若点A坐标为（﹣1，3） ，按要求
回答下列问题：
第32页（共35页）

三角形格点与面积

（1）建立符合条件的平面直角坐标系，并写出点B和点C的坐标；
（2）将△ABC先向下 平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到△DEF，请在图中画出△DEF，并求
出线段AC 在平移过程中扫过的面积．

【分析】（1）根据点A的坐标可得平面直角坐标系，结合坐标系即可写出点B、点C的坐标；
（2）将点A、B、C分别向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到对应点，再顺次连接可得△D EF，
由AC在平移过程中扫过的面积＝面积是一个三角形+一个平行四边形计算可得答案．
【解答】解：（1）如图所示，点B（﹣4，﹣1）、点C（0，1）；


（2）如图所示，△DEF即为所求，
线段AC在平移过程中扫过的面积＝×2×1+2×3＝7．
【点评】本题主要考查作图﹣平 移变换，解题的关键是熟练掌握平移变换的定义和性质及割补法求四边形的面积．
24．如图，每个小 正方形的边长为1，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的
对应 点B′．根据下列条件，利用网格点和三角板画图：
第33页（共35页）

三角形格点与面积


（1）补全△A′B′C′
（2）画出AB边上的中线CD；
（3）画出BC边上的高线AE；
（4）△A′B′C′的面积为 8 ．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出各点位置即可；
（2）利用中线的定义得出D点的位置；
（3）利用高线的定义得出E点的位置
（4）直接利用三角形面积求法得出答案．
【解答】解：（1）（2）（3）题如图所示．

（4）△A′B′C′的面积为：×4×4＝8．
故答案为：8．

【点评】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出平移后对应点位置是解题关键． 25．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC向左平移1格，再向上平移3格，其中每个格 子的边长为
1个长度单位．
（1）在图中画出平移后的△A′B′C′；
（2）若连接AA′，CC′，则这两条线段的关系是 AA′∥CC′，AA′＝CC′ ；
第34页（共35页）

三角形格点与面积

（3）作直线l，将△ABC分成两个面积相等的三角形．

【分析】（1）根据图形平移不变性的性质画出△A′B′C′即可；
（2）根据图形平移的性质即可得出结论；
（3）过三角形的顶点与对边的中点作直线即可．
【解答】解：（1）如图所示；

（2）∵△A′B′C′由△ABC平移而成，
∴AA′∥CC′，AA′＝CC′．
故答案为：AA′∥CC′，AA′＝CC′；

（3）如图所示．

【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
第35页（共35页）