量比怎么计算公式判定三角形形状的十种方法

判定三角形形状的十种方法
数学考试和数学竞赛中，常有判断三角形形状的题目，这类
题目涉及的知识面广，综合性强，它沟通了代数、几何、三
角等方面的知识联系。解题思路不外是从边 与边、边与角之
间的关系考虑，从而达到解题的目的。

1、若有a=b或(a-b)(b-c)(c-a)=0,

则△ABC为等腰三角形。

2、若有(a-b)
2
+(b-c)< br>2
+(c-a)
2
=0,

则△ABC为等边三角形。

3、若有a
2
+b
2
＞c
2
，则△ABC为锐角三角形；

若有a
2
+b
2
＝c
2
，则△ABC为直角三角形；

若有a
2
+b
2
＜c
2
，则△ABC为钝角三角形。

4、若有（a
2
-b
2
）（ a
2
+b
2
-c
2
）=0，

则△ABC为等腰三角形或直角三角形。

5、若有a=b且 a
2
+b
2
=c
2
，

则△ABC为等腰直角三角形。

以上是从三角形的边与边之间的关系考虑的。

6、若有sin
2
A +sin
2
B=sin
2
C或sinA=sinB,

则△ABC为直角三角形或等腰三角形。

7、若有cosA＞0，或tanA＞0,(其中∠A为△ABC中
的最大角) 则△ABC为锐角三角形。

8、若有cosA＜0，或tanA＜0,(其中∠A为△ABC中
的最大角), 则△ABC为钝角三角形。

9、若有两个（或三个）同名三角函数值相等（如
tan A=tanB）,则△ABC为等腰三角形（或等边三角形）。

10、若有特殊的三角函数值 ，则按特殊角来判断，如
cosA=，b=c,则△ABC为等边三角形。

以下就一些具体实例进行分析解答：

一、利用方程根的性质：

例 1：若方程x
2
+2ax+b
2
=0与x
2
+2cx-b< br>2
=0有一
个相同的根，且a、b、c为一个三角形的三条边，则此三
角形为（ ）

（A）


锐角三角形；（B）钝角三角形；

（C）以c为斜边的直角三角形；（D）以a为斜边的直角
三角形；

(“缙云杯”初中数学邀请赛)

解：将两个方程相减，得：2ax-2cx+2b
2
=0,显然

a≠c，否则b=0，与题设矛盾，故x= ,将两个方程相加，
得2ax+2cx+2b2
=0，∵x≠0,否则b=0，与题设矛盾，
∴x=-（a+c），∵两个方程有一个相 同的根，

∴ =-（a+c），即b
2
+c
2
=a2
，故△ABC是以a为斜边
的直角三角形，故应选（D）

二、利用根的判别式

例2：已知a、b、c是△ABC的三边，且方程
b( x
2
-1)-2ax+c(x
2
+1)=0没有实数根，试判断△ABC的形状。

解：整理原方程，得：（c+b）x
2
-2ax+(c-b) =0,由
已知，得：△=4a
2
-4(c+b)(c-b)=4(a
2
+b
2
-c
2
)＜0 ，

∴a
2
+b
2
-c
2
＜0,即 a
2
+b
2
＜c
2
,故△ABC是钝角三角形。

三、利用根与系数的关系

例3、在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、

∠C的对边，已知方程x
2
+axcosB- bcosA=0的两根之
和等于两根之积，试判断△ABC的形状。

解：根据一元二 次方程的根与系数的关系，得：
acosB=bcosA，如图：作CD⊥AB于D，则AD=bcos A，
BD=acosB，AD=BD，又CD⊥AB，∴△ABC为等腰
三角形。

四、利用非负数的性质

例4：已知a、b、c是△ABC的三边，且
a3
+b
3
+c
3
=3abc，求证：△ABC是等边三角形。< br>
证明：∵a
3
+b
3
+c
3
=3abc，

∴（a+b）
3
+c
3
-3a
2
b-3ab
2
-3abc=0，

即（a+b+c）（a
2
+b
2
+c
2
-ab- bc-ac）=0，∵
a+b+c≠0，

∴a
2
+b
2
+c
2
-ab-bc-ac=0，∴
2a
2
+2b
2
+2c
2
-2ab-2bc-2a c=0

222
即（a-b）
+（b-c）+（c-a）=0，∴a-b=b -c=c-a=0，
故a=b=c，∴△ABC是等边三角形。

五、利用三角形的面积

例5：设△ABC的三条高线之和等于此三角形三个角平分线的交点到一边的距离的9倍，则△ABC是等边三角形。

证明：设△ABC的面积为 S，三个内角平分线交点为0，
到一边的距离为h，三边上的高分别为h
a
、h
b
、h
c
，由三
角形面积公式，得：h
a
=，h
b
=，h
c
=，h=，由已知，
h
a
+h
b
+h
c
=9h，

∴，即，

∴c（a-b）
2
+a（b-c）
2
+b（c-a）
2
=0，

又a、b、c均为正数，

∴（a-b）
2
+（b-c）
2
+（c-a）
2
=0，

∴a=b=c，故△ABC是等边三角形。

例6、设P、Q为线段BC上的两定点， 且BP=CQ，
A为BC外的一个动点，当A运动到使∠BAP=∠CAQ时，
△ABC是什么 三角形？试证明你的结论。

（全国初中数学邀请赛）

答：△ABC为锐角 三角形或钝角三角形。很显然，∵
BP=CQ，∠BAP=∠CAQ，∴△ABP与△ACQ的外接圆是两个等圆，过点A作BC的垂线AD，垂足为D，∵点
P、Q为线段BC上的两定点，∴P、Q 两点不可能与点D
重合，否则两点均与点D重合，与题设矛盾。∴△ABP与
△ACQ的外接圆 0
1
与0
2
必相交，故△ABC不可能为直角
三角形，∴△ABC为 锐角三角形或钝角三角形。

六、利用几何知识

例7：△ABC的三条外角平分线相交成一个

△PQR，则△PQR（ ）

（A） 一定是直角三角形；（B）一定是锐角三角形；（C）
一定是钝角三角形 ；（D）以上结论都不对。

解：可以证明△PQR的任意一个内角小于90
O
，如可证
明∠R＜90
O
，只需证明∠α+∠β＞90
O
，

因为2∠α=∠2+∠3，2∠β=∠1+∠2，

2∠α+2∠β=∠1+2∠2+∠3＞180
0
，

所以∠α+∠ β＞90
0
，故∠R＜90
0
，也就是说，∠R、∠P、
∠Q均为锐 角，所以△PQR为锐角三角形。应选（C）

七、利用三角函数

例8：在△ABC中，已知：sinA×tanB＜0，那么这个三
角形是（ ）

（A）直角三角形；（B）锐角三角形；（C）钝角三角形；
（D）以上结论都不对。

解：因为sinA×tanB＜0，所以sinA和tanB异号,

又0
0
＜A＜180
0
，0
0
＜B＜180
0
,所以si nA＞0，tanB
＜0，

所以∠B为钝角，故△ABC为钝角三角形。应选（C）

八、利用余弦定理

例9：已知一个三角形的三边为4、5、6，试判断此三角形
的形状。

解： 设最长边6所对的角为∠A，由余弦定理，得：cosA=，
所以∠A＜90
0
，由于 ∠A为最大角，故此三角形为锐角三
角形。

九、利用正弦、余弦定理

例10：△ABC中，，试判断该三角形的形状。

解：由已知，得：sinAcosA=sinBcosB（1）,

由正弦、余弦定理，得：sinA=，sinB=，（这里，r为△
ABC的外接圆半径）， cosB=，分别代入（1），得：
a
2
b
2
+a
2
c
2
-a
4
=a
2
b
2
+b
2
c
2
-b
4
即（a
2
-b
2
）（ c
2
-a
2
-b
2
）
=0，

所 以a
2
=b
2
，或c
2
=a
2
+b
2
所以a=b或a
2
+b
2
=c
2

故△ABC为等腰三角形或直角三角形。

十、利用二次函数性质

例11：设二次函数y=（a+b）x
2
+2cx-（a-b），当
时，函数有最小值 时，若a、b、c为△ABC的三边的长，
试判断△ABC的形状。

解：因为a、b、c为△ABC的三边的长，所以a＞0，

b＞0，c＞0，a+b＞0，由题意知： ，

即2c=a+b, ,因为2c=a+b,a=b,故a=b=c,所以△
ABC是等边三角形。

例12:已知a、b、c是锐角△ABC的三条边，
且 LgsinA- LgsinC=Lg,求证:△ABC是等边三角形。

证明:由 ,得由LgsinA- LgsinC=Lg ,得由正弦定理,
得所以所以b=c;因为所以c
2
=ab,可 得因为∠C为锐角,所
以∠C=60
0
,由余弦定理，得
c
2
=a
2
+b
2
-2abcosC=a
2
+b
2< br>-ab,故(a-b)
2
=0,所以
a=b,故△ABC为等边三角形。

例13：设∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角，∠C
是锐角，若关于x的方程x2
-(2sin∠C)x+sin A sin
B=0有两个相等的实根，且4sin< br>2
∠C+4cos∠C-5=0，
求证:△ABC为等边三角形。

证明：因为方程x
2
-(2sin∠C)x+sin A sin B=0有两
个相等的实根，所以△=（2sinC）
2
-4sinAsinB=0，根
据正弦定 理，得：c
2
-ab=0,所以c
2
=ab,由
4sin
2
C+4cosC-5=0,

得：4(1-cos
2
C)+4cosC-5=0, 即：
4cos
2
C-4cosC+1=0,

所以：(2cosC-1)
2
=0,所以：cosC=又因为∠C为锐角，

所以：∠C=60
0
再根据余弦定理，得：
c
2
=a
2
+b
2
-2abcos60
0
,

即c
2
=a
2
+b
2
-ab,所以a
2
+b
2
-ab=ab,故(a
2
-b)
2
=0,
所以a=b,< br>
所以△ABC为等边三角形。

综上所述，判定三角形的形状时，必须熟练掌 握三角形
边与边、边与角之间的关系，在具体解题时要分析清楚题目
所给的条件与课本所学过的 知识点之间的联系，从而正确使
用所学知识，以达到解决问题的目的。