普通年金公式五年级奥数专题二十多边形的面积

五年级奥数专题二十:多边形的面积
关键词：多边 正方 面积 边长 周长 多边形 奥数 正方形 之和 厘米
我们已经学习过三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形以及圆、扇形等基本 图形的面
积计算，图形及计算公式如下：
正方形面积=边长×边长=a
2
，
长方形面积=长×宽=ab，
平行四边形面积=底×高=ah，
圆面积=半径×半径×π=πr
2
，
扇形面积=半径×半径×π×圆心角的度数÷360°
在实际问题中，我们遇到的往 往不是基本图形，而是由基本图形组合、拼凑成的组合图
形，它们的面积不能直接用公式计算。在本讲和 后面的两讲中，我们将学习如何计算它们的
面积。
例1 小两个正方形组成下图所示 的组合图形。已知组合图形的周长是52厘米，
DG=4厘米，求阴影部分的面积。
分析与解：组合图形的周长并不等于两个正方形的周长之和，因为CG部分重合了。
用组合图形的周长减 去DG，就得到大、小正方形边长之和的三倍，所以两个正方形的边长
之和等于（52-4）÷3=16 （厘米）。
又由两个正方形的边长之差是4厘米，可求出
大正方形边长=（16+4）÷2=10（厘米），
小正方形边长=（16-4）÷2=6（厘米）。
两个正方形的面积之和减去三角形ABD与三角形BEF的面积，就得到阴影部分的面积。
10< br>2
+6
2
-（10×10÷2）-（10+6）×6÷2=38（厘米
2
）。
例2如左下图所示，四边形ABCD与DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相
等。
分析与证明：这道题两个平行四边形的关系不太明了，似乎无从下手。我们添加一
条辅助线，即连结CE （见右上图），这时通过三角形DCE，就把两个平行四边形联系起来
了。在平行四边形ABCD中，三 角形DCE的底是 DC，高与平行四边形ABCD边DC上
的高相等，所以平行四边形ABCD的面积 是三角形DCE的两倍；同理，在平行四边形DEFG
中，三角形DCE的底是 DE，高与平行四边形 DEFG边DE上的高相等，所以平行四边形
DEFG的面积也是三角形DCE的两倍。
两个平行四边形的面积都是三角形DCE的两倍，所以它们的面积相等。
例3如左下图所示， 一个腰长是20厘米的等腰三角形的面积是140厘米
2
，在底
边上任意取一点，这个 点到两腰的垂线段的长分别是a厘米和b厘米。求a+b的长。
分析与解：a，b与三角形面 积的关系一下子不容易看出来。连结等腰三角形的顶
点和底边上所取的点，把等腰三角形分为两个小三角 形，它们的底都是20厘米，高分别为
a厘米和b厘米（见右上图）。大三角形的面积与a，b 的关系就显露出来了。根据三角形
的面积公式，两个小三角形的面积分别为 20×a÷2和20×b÷2。
因为这两个小三角形的面积之和等于原等腰三角形的面积，所以有
20×a÷2+20×b÷2=140，
10×（a+b）=140，
a+b=14（厘米）。
在例2、例3中，通过添加辅助线，使图形间的关系更清晰，从而使问题得解。下面再
看一例。
例4如左下图所示，三角形ABC的面积是10厘米
2
，将AB，BC，CA 分别延长
一倍到D，E，F，两两连结D，E，F，得到一个新的三角形DEF。求三角形DEF的面积 。
分析与解：想办法沟通三角形ABC与三角形DEF的联系。连结FB（见右上图）。 < br>因为CA=AF，所以三角形ABC与三角ABF等底等高，面积相等。因为AB=BD，所以三
角形ABF与三角形BDF等底等高，面积相等。由此得出，三角形ADF的面积是10+10=20
（ 厘米
2
）。
同理可知，三角形BDE与三角形CEF的面积都等于20厘米
2
。
所以三角形DEF的面积等于20×3+10=70（厘米
2
）。
例5一个 正方形，将它的一边截去15厘米，另一边截去10厘米，剩下的长方形
比原来正方形的面积减少172 5厘米
2
，求剩下的长方形的面积。
分析与解：根据已知条件画出下页左上图，其中甲、乙、丙为截去的部分。
由左上图知，丙是长15厘米、宽10厘米的矩形，面积为15×10=150（厘米
2
）。
因为甲、丙形成的矩形的长等于原正方形的边长，乙、丙形成的矩形的长也等于原正方
形的 边长，所以可将两者拼成右上图的矩形。右上图矩形的宽等于10+15=25（厘米），长
等于原正方 形的边长，面积等于
（甲+丙）+（乙+丙）
= 甲+乙+丙）+丙
= 1725+150
= 1875（厘米
2
）。
所以原正方形 的的边长等于1875÷25=75（厘米）。剩下的长方形的面积等于
75×75-1725=390 0（厘米
2
）。
例6有红、黄、绿三块同样大小的正方形纸片，放在一个正 方形盒的底部，它们
之间互相叠合（见右图）。已知露在外面的部分中，红色面积是20，黄色面积是1 4，绿色
面积是10，求正方形盒子底部的面积。
分析与解：把黄色正方形纸片向左 移动并靠紧盒子的左边。由于三个正方形纸片面
积相等，所以原题图可以转化成下页右上图。此时露出的 黄、绿两部分的面积相等，都等于
（14+10）÷2=12。
因为绿：红=A∶黄，所以
绿×黄=红×A，
A=绿×黄÷红
=12×12÷20=7.2。
正方形盒子底部的面积是红+黄+绿+A=20+12+12+7.2=51.2。
练习20
1.等腰直角三角形的面积是20厘米
2
，在其中做一个最大的正方形，求这个正 方形的
面积。
2.如左下图所示，平行四边形ABCD的周长是75厘米，以BC为底的 高是14厘米，
以CD为底的高是16厘米。求平行四边形ABCD的面积。
3.如右上 图所示，在一个正方形水池的周围，环绕着一条宽2米的小路，小路的面积是
80米
2
，正方形水池的面积是多少平方米？
4.如右图所示，一个长方形被一线段分成三角形和梯形两部 分，它们的面积差是28厘
米
2
，梯形的上底长是多少厘米？
5.如下 图，在三角形ABC中，BD=DF=FC，BE=EA。若三角形EDF的面积是1，则
三角形ABC 的面积是多少？
6.一个长方形的周长是28厘米，如果它的长、宽都分别增加3厘米，那么得到 的新长
方形比原长方形的面积增加了多少平方厘米？
7.如下图所示，四边形ABCD的 面积是1，将BA，CB，DC，AD分别延长一倍到E，
F，G，H，连结E，F，G，H。问：得到 的新四边形EFGH的面积是多少？