魔方公式大全二、见直角三角形斜边中点与等腰三角形底边中点作中线

二、见直角三角形斜边中点与等腰三角形底边中点作中线
1、连结直角三角形斜边上的中线后，得两个等腰三角形、三条等线段，并且三
顶点共圆； < br>2、特别地，等腰直角三角形斜边上中线把它分为两全等的等腰直角三角形，出
现4个45°角、 2组等边、2组长度为1：
2
的边；
3、逆用可以判定一个三角形是直角三角形.

解法归一：见直角三角形斜边上的中点和等腰三角形底边的中点，连中线，找边、
角 、线段的相等关系，或借助三点共圆进行角转化.
例 3-2-1如图3-2-1，四边形ABCD中 ，∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，
MN⊥BD于N点，求证：BN=DN．




图3-2-1

交流分享：连结MB、MD的一个等腰三角形.
例 3-2-2 如图3-2-2，在Rt△ POQ中，OP=OQ=4.把三角尺的直角顶点放在斜
边PQ中点M处，以M为旋转中心旋转三角尺， 三角尺的两直角边与△POQ的
两直角边分别交于点A、B．
（1）求证：MA=MB； < br>（2）连接AB.探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值.
若存在，求出 最小值；若不存在，请说明理由．

图3-2-2

交流分享：（1）连 结MO，即见斜边的中点，作斜边上的中线；（2）见含二次整
式的最值，用二次函数性质，或用完全平 方公式配方.

例 3-2-3 如图3-2-3，△ABC与△DEF都是等腰直角三角 形，∠ACB=∠
EDF=90°，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD，求证：BF=CD.

图3-2-3
交流分享：连结OC、OD，即已知等腰三角形底边中点时连中线，问题迎刃
而解.


体验与感悟03-2
1、如图3-2-4，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上 的中线，已知CD=2，AC=3，则
BC=.

图3-2-4 图 3-2-5

2、如图 3-2-5，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AC⊥BD，BC=7，则梯形的面
积是（ ）
A．25 B.50 C.
252
D.
302

4
3、如图 3-2-6，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°.
（1）若AB=5，BC=8，则EF的长为___________；
（2）若∠ABC=52°，则∠FAD=°.

图 3-2-6 图3-2-7 图3-2-8
4、如图3-2-7，有两个互相垂直的滑槽，一 根没有弹性的木棒的两端A、B能在
滑槽内自由滑动（滑槽及木棒的宽度忽略不计），当点A从上向下至 O的滑动过
程中，木棒中点P走过的轨迹是.
5、如图3-2-8，△ABC中，AB=AC ，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC=
.
6、如图3-2-9，在 △ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD
于点E，过点A作BD的平行 线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取
FG=BD，连接BG、DF.若AG=13，CF =6，则四边形BDFG的周长为.


图3-2-9
7、（1）问题探究 如图1，M为△ABC的BC边中点，且2MA=BC，求证：∠BAC=90°.
同学们经过思考、讨论、交流得到以下证明思路：
思路一 直接利用等腰三角形性质和三角形内角和定理…
思路二 延长AM到D使DM=MA，连接DB，DC，利用矩形的知识…
思路三 以BC为直径作圆，利用圆的知识…
思路四…
请选择一种方法写出完整的证明过程；
（2）结论应用 要求直接运用（1）中命题的结论完成以下两道题：
①如图2，线段 AB经过圆心O，交⊙O于点A，C，点D在⊙O上，且
∠DAB=30°，OA=a，OB=2a，求 证：直线BD是⊙0的切线；
②如图3，△ABC中，M为BC的中点，BD⊥AC于D，E在AB边 上，且EM=DM，
连接DE，CE，如果∠A=60°，请求出△ADE与△ABC面积的比值．












8、在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，D为BC的中点. < br>（1）如图3-2-11①，当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1
个单位长度的速度 沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设△DEF的面积
为y，F点运动的时间为x（x>0），求y 与x的函数关系式；
（2）如图3-2-11②在（1）的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长 线
继续运动，求此时y与x的函数关系式．

图3-2-11① 图3-2-11②






9、如图3-2 -12，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥
CD．过点C作CE⊥A B于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接
EG、AF．
（1）求EG的长；
（2）求证：CF=AB+AF．

图3-2-12

交流分享：几何证明与计算、方程、函数相结合，是今后命制几何探究
题的一种趋势.







10、（1）如图3-2-13① ，△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的
中点 均为O，连结BF、CD，请你先猜想线段BF、线段CD的数量关系，
再证明你的结论；
（ 2）如图3-2-13②，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点
均为O，且顶角∠ ACB=∠EDF=α，请直接写出
BF
的值（用含α的式子表示）.
CD

图3-2-13①图3-2-13②





11、（1）如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在
一起，其中∠ACB=∠ E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合，
DE经过点C，DF交A C于点G.则重叠部分（△DCG）的面积等于.

（2）将△DEF绕点D旋转，使DE⊥ AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，
这时重叠部分（△DGH）的面积等于.


提醒：请回味与感悟一下遇直角三角形斜边上中点与等腰三角形底边上中
点时怎样作辅助线.