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魔方公式大全二、见直角三角形斜边中点与等腰三角形底边中点作中线

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-10 23:30
tags:三角形边长公式

leave过去分词-苏州卫生职业技术学院


二、见直角三角形斜边中点与等腰三角形底边中点作中线
1、连结直角三角形斜边上的中线后,得两个等腰三角形、三条等线段,并且三
顶点共圆; < br>2、特别地,等腰直角三角形斜边上中线把它分为两全等的等腰直角三角形,出
现4个45°角、 2组等边、2组长度为1:
2
的边;
3、逆用可以判定一个三角形是直角三角形.

解法归一:见直角三角形斜边上的中点和等腰三角形底边的中点,连中线,找边、
角 、线段的相等关系,或借助三点共圆进行角转化.
例 3-2-1如图3-2-1,四边形ABCD中 ,∠ABC=∠ADC=90°,M是AC的中点,
MN⊥BD于N点,求证:BN=DN.




图3-2-1

交流分享:连结MB、MD的一个等腰三角形.
例 3-2-2 如图3-2-2,在Rt△ POQ中,OP=OQ=4.把三角尺的直角顶点放在斜
边PQ中点M处,以M为旋转中心旋转三角尺, 三角尺的两直角边与△POQ的
两直角边分别交于点A、B.
(1)求证:MA=MB; < br>(2)连接AB.探究:在旋转三角尺的过程中,△AOB的周长是否存在最小值.
若存在,求出 最小值;若不存在,请说明理由.

图3-2-2

交流分享:(1)连 结MO,即见斜边的中点,作斜边上的中线;(2)见含二次整
式的最值,用二次函数性质,或用完全平 方公式配方.

例 3-2-3 如图3-2-3,△ABC与△DEF都是等腰直角三角 形,∠ACB=∠
EDF=90°,AB、EF的中点均为O,连结BF、CD,求证:BF=CD.

图3-2-3
交流分享:连结OC、OD,即已知等腰三角形底边中点时连中线,问题迎刃
而解.


体验与感悟03-2
1、如图3-2-4,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上 的中线,已知CD=2,AC=3,则
BC=.

图3-2-4 图 3-2-5

2、如图 3-2-5,在等腰梯形ABCD中,ADBC,AC⊥BD,BC=7,则梯形的面
积是( )
A.25 B.50 C.
252
D.
302

4
3、如图 3-2-6,DE为△ABC的中位线,点F在DE上,且∠AFB=90°.
(1)若AB=5,BC=8,则EF的长为___________;
(2)若∠ABC=52°,则∠FAD=°.

图 3-2-6 图3-2-7 图3-2-8
4、如图3-2-7,有两个互相垂直的滑槽,一 根没有弹性的木棒的两端A、B能在
滑槽内自由滑动(滑槽及木棒的宽度忽略不计),当点A从上向下至 O的滑动过
程中,木棒中点P走过的轨迹是.
5、如图3-2-8,△ABC中,AB=AC ,DE垂直平分AB,BE⊥AC,AF⊥BC,则∠EFC=
.
6、如图3-2-9,在 △ABC中,∠ABC=90°,BD为AC的中线,过点C作CE⊥BD
于点E,过点A作BD的平行 线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取
FG=BD,连接BG、DF.若AG=13,CF =6,则四边形BDFG的周长为.


图3-2-9
7、(1)问题探究 如图1,M为△ABC的BC边中点,且2MA=BC,求证:∠BAC=90°.
同学们经过思考、讨论、交流得到以下证明思路:
思路一 直接利用等腰三角形性质和三角形内角和定理…
思路二 延长AM到D使DM=MA,连接DB,DC,利用矩形的知识…
思路三 以BC为直径作圆,利用圆的知识…
思路四…
请选择一种方法写出完整的证明过程;
(2)结论应用 要求直接运用(1)中命题的结论完成以下两道题:
①如图2,线段 AB经过圆心O,交⊙O于点A,C,点D在⊙O上,且
∠DAB=30°,OA=a,OB=2a,求 证:直线BD是⊙0的切线;
②如图3,△ABC中,M为BC的中点,BD⊥AC于D,E在AB边 上,且EM=DM,
连接DE,CE,如果∠A=60°,请求出△ADE与△ABC面积的比值.












8、在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=6,D为BC的中点. < br>(1)如图3-2-11①,当点F、E分别从C、A两点同时出发,以每秒1
个单位长度的速度 沿CA、AB运动,到点A、B时停止;设△DEF的面积
为y,F点运动的时间为x(x>0),求y 与x的函数关系式;
(2)如图3-2-11②在(1)的条件下,点F、E分别沿CA、AB的延长 线
继续运动,求此时y与x的函数关系式.

图3-2-11① 图3-2-11②






9、如图3-2 -12,梯形ABCD中,AD∥BC,∠DCB=45°,CD=2,BD⊥
CD.过点C作CE⊥A B于E,交对角线BD于F,点G为BC中点,连接
EG、AF.
(1)求EG的长;
(2)求证:CF=AB+AF.

图3-2-12

交流分享:几何证明与计算、方程、函数相结合,是今后命制几何探究
题的一种趋势.







10、(1)如图3-2-13① ,△ABC与△DEF都是等边三角形,AB、EF的
中点 均为O,连结BF、CD,请你先猜想线段BF、线段CD的数量关系,
再证明你的结论;
( 2)如图3-2-13②,若△ABC与△DEF都是等腰三角形,AB、EF的中点
均为O,且顶角∠ ACB=∠EDF=α,请直接写出
BF
的值(用含α的式子表示).
CD

图3-2-13①图3-2-13②





11、(1)如图1,将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在
一起,其中∠ACB=∠ E=90°,BC=DE=6,AC=FE=8,顶点D与边AB的中点重合,
DE经过点C,DF交A C于点G.则重叠部分(△DCG)的面积等于.

(2)将△DEF绕点D旋转,使DE⊥ AB交AC于点H,DF交AC于点G,如图2,
这时重叠部分(△DGH)的面积等于.


提醒:请回味与感悟一下遇直角三角形斜边上中点与等腰三角形底边上中
点时怎样作辅助线.

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