销售利润计算公式八年级数学勾股定理试卷含答案

八年级数学试卷（勾股定理）

一、选择题（将正确答案代号填入下表中， 每小题
3
分，共
36
分）

1
．以下列数组为边长的三角形，恰好是直角三角形的是（ ）

A
．
4
，
6
，
8 B
．
4
，
8
，
10 C
．
6
，
8
，
10 D
．
8
，
10
，
12

2
．已知命题：等边三角形是等腰三角形．则下列说法正确的是（ ）

A
．该命题为假命题
B
．该命题为真命题

C
．该命题的逆命题为真命题
D
．该命题没有逆命题

3
．一个圆柱形铁桶的底面半径为
12cm
，高为
32cm
，则桶内所 能容下的木棒最
长为（ ）

A
．
20cm B
．
50cm C
．
40cm D
．
45cm

4
．等边三角形的边长为
2
，则该三角形的面积为（ ）

A
．
4 B
．
C
．
2 D
．
3

5
．如图，将三边长分别为
3
，
4
，
5
的△
ABC
沿最长边翻转
180°
成△ABC
1
，则
CC
1
的长等于（ ）


A
．
B
．
C
．
D
．


6
．如图，正方形网格中的△
ABC
，若小方格边长为
1
，则△
ABC
的形状为（ ）

A
．直角三角形
B
．锐角三角形

C
．钝角三角形
D
．以上答案都不对

第1页（共23页）


7
．如图，△
ABC
和△
DCE
都是边长为
4
的等边三角形 ，点
B
、
C
、
E
在同一条直
线上，连接
B D
，则
BD
的长为（ ）


A
．
B
．
C
．
D
．

8
．长方形的一边长 为
4
，对角线与长方形另外一条边相差
2
，则长方形的面积为
（ ）

A
．
8 B
．
4 C
．
6 D
．
12

9
．在直角三角形中，如果有一个角是
30°< br>，这个直角三角形的三边之比最有可
能的是（ ）

A
．
3
：
4
：
5 B
．
1
：
1
：
C
．
5
：
12
：
13 D
．
1
：：
2

10
．设
a
、< br>b
是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为
6
，斜边长为
2. 5
，
则
ab
的值是（ ）

A
．
1.5 B
．
2 C
．
2.5 D
．
3

11．如图，已知圆柱底面的周长为
4dm
，圆柱高为
2dm
，在圆柱的侧面 上，过
点
A
和点
C
嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ）


A
．
4dm B
．
2dm C
．
2dm D
．
4dm

12
．如图，在
6
个边长为
1
的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从
A

点到
B
点只能沿图中的线段走，那么从
A
点到
B
点 的最短距离的走法共有（ ）

A
．
1
种
B
．
2
种
C
．
3
种
D
．
4
种



第2页（共23页）



二、填空题（本大题共
4
小题，每小题
3
分， 共
12
分．把答案填在题中横线上）
13
．如果三角形的三边分别为

2
，，，那么这个三角形的最大角的度数为 ．
14
．如图，在平面直角坐 标系中，将矩形
AOCD
沿直线
AE
折叠（点
E
在边
DC
上），折叠后端点
D
恰好落在边
OC
上的点
F
处．若点
D
的坐标为（
10
，
8
），则
点
E
的坐标为 ．


15
．如图，以
Rt
△< br>ABC
的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边
AB=a
，
则 图中阴影部分的面积为 ．


16
．如图所示，在△
ABC中，
AB
：
BC
：
CA=3
：
4
：< br>5
，且周长为
36cm
，点
P
从点
A
开始沿
AB
边向
B
点以每秒
1cm
的速度移动；点
Q从点
B
沿
BC
边向点
C
以每
秒
2cm
的速度移动，如果同时出发，则过
3
秒时，△
BPQ
的面积为
cm
2
．




三、解答题（本大题共
8
小题，共
72
分，解答应写出计算过程）

17
．在
Rt
△
ABC
中，∠
C=90°
．

（
1
）已知
c=25
，
b=15
，求
a
；

第3页（共23页）


（
2
）已知
a=
，∠
A=60°
，求
b
、
c
．
18
．如图，已知在△
ABC
中，
CD
⊥
AB
于
D
，
BD=9
，
BC=15
，
AC=20
．

（
1
）求
CD
的长；

（
2
）求
AB
的长；

（
3
）判断△
ABC
的形状．


19< br>．如图，在
Rt
△
ABC
中，
AB=9
，
B C=6
，∠
B=90°
，将△
ABC
折叠，使
A
点 与
BC
的中点
D
重合，折痕为
MN
，求线段
BN< br>的长．


20
．如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红 莲，它高出水面
3
尺．突
然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果 知道红莲移动的水
平距离为
6
尺，请问水深多少？


21
．如图，△
ABC
，△
AED
是两个大小一样的三角形，已知∠ADE=90°
，
AE=5
，
AD=4
，连接
EB，求
DE
和
EB
的长．


22
．在 △
ABC
中，
AB=2
，
AC=4
，
BC=2，以
AB
为边向△
ABC
外作△
ABD
，使△
ABD
为等腰直角三角形，求线段
CD
的长．

第4页（共23页）


23
．在△
ABC
中，
a=m
2﹣
n
2
，
b=2mn
，
c=m
2
+< br>n
2
，其中
m
、
n
都是正整数；且
m
＞
n
，试判断△
ABC
是否为直角三角形？

24
．长方形
OABC
绕顶点
C
（
0
，
5
） 逆时针方向旋转，当旋转到
CO′A′B′
位置时，
边
O′A′
交边
AB
于
D
，且
A′D=2
，
AD=4
．< br>
（
1
）求
BC
长；

（
2
）求阴影部分的面积．






第5页（共23页）

八年级数学试卷（勾股定理）
参考答案与试题解析



一、选择题（将正确答案代号填入下表中 ，每小题
3
分，共
36
分）

1
．以下列数组为边长的三角形，恰好是直角三角形的是（ ）

A
．
4
，
6
，
8 B
．
4
，
8
，
10 C
．
6
，
8
，
10 D
．
8
，
10
，
12

【考点】勾股定理的逆定理．

【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的 平方和等于第三边的平方，
那么这个是直角三角形判定则可．

【解答】解：
A
、∵
4
2
+
6
2
≠
8
2
，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直
角三角形，故错误；

B
、∵
4
2
+
8
2
≠
10
2
，∴该 三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故
错误；


C
、∵
6
2
+
8
2
=10
2
，∴该三角形 符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；
D
、∵
8
2
+< br>10
2
≠
12
2
，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不 是直角三角形，
故错误；

故选
C
．



2
．已知命题：等边三角形是等腰三角形．则下列说法正确的是（ ）

A
．该命题为假命题
B
．该命题为真命题

C
．该命题的逆命题为真命题

【考点】命题与定理．

【分析】首先判断该命题的正误，然后判断其逆命题的正误后即可确定正确的选
项．

【解答】解：等边三角形是等腰三角形，正确，为真命题；

其逆命题为等腰三角形是等边三角形，错误，为假命题，

故选
B
．



第6页（共23页）

D
．该命题没有逆命题


3
．一个圆柱形铁桶的底面半径 为
12cm
，高为
32cm
，则桶内所能容下的木棒最
长为（ ）

A
．
20cm B
．
50cm C
．
40cm D
．
45cm

【考点】勾股定理的应用．

【分析】根据题意画出示意图，
AC
为 圆桶底面直径，
AC=24cm
，
CB=32cm
，那么
线段
AB
的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，在直角三角形
ABC
中利用
勾股定理即可求出
AB
，也就求出了桶内所能容下的最长木棒的长度．

【解答】解：如图，
AC
为圆桶底面直径，

∴
AC=2< br>×
12=24cm
，
CB=32cm
，

∴线段
AB
的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，

∴
AB===40cm
．

故桶内所能容下的最长木棒的长度为
40cm
．

故选
C
．




4
．等边三角形的边长为
2
，则该三角形的面积为（ ）

A
．
4 B
．
C
．
2 D
．
3

【考点】等边三角形的性质．

【分析】根据等边 三角形三线合一的性质可得
D
为
BC
的中点，即
BD=CD
，在直
角三角形
ABD
中，已知
AB
、
BD
，根据 勾股定理即可求得
AD
的长，即可求三角
形
ABC
的面积，即可解题 ．

【解答】解：∵等边三角形高线即中点，
AB=2
，

∴
BD=CD=1
，

在
Rt
△
ABD< br>中，
AB=2
，
BD=1
，

∴
AD=

，

第7页（共23页）

∴
S
△
ABC
=BC?AD=
×
2
×
故选
B
．



=
，

5
． 如图，将三边长分别为
3
，
4
，
5
的△
ABC沿最长边翻转
180°
成△
ABC
1
，则
CC
1
的长等于（ ）


A
．
B
．
C
．
D
．

【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理的逆定理．

4
、
5，【分析】首先设
AB
与
CC
1
相较于点
D
， 由△
ABC
的三边分别为
3
、且
3
2
+
4
2
=5
2
，
可得△
ABC
是直角三角形，即可求得
CD
的长，继而求得答案．

【解答】解：设
AB
与
CC
1
相较于点
D
，

∵△
ABC
的三 边分别为
3
、
4
、
5
，且
3
2
+
4
2
=5
2
，

∴△
ABC
是直角三角形，

由折叠的性质可得：
AB⊥
CD
，且
CD=C
1
D
，

∴CD=
∴
CC
1
=2CD=
故选：
D
．

=
，

．





6
．如图，正方形网格中的△
ABC
，若小方格边长为
1
，则△< br>ABC
的形状为（ ）
第8页（共23页）



A
．直角三角形
B
．锐角三角形

C
．钝角三角形
D
．以上答案都不对

【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．

【分析】根据勾股定理求得△
AB C
各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，
从而不难得到其形状．

【解答】解：∵正方形小方格边长为
1
，

∴
BC=
AC=
AB=
=
=
=2
，

，

，

在△
ABC
中，

∵
BC
2
+
AC
2
=52
+
13=65
，
AB2
=65
，

∴
BC
2
+
AC
2
=AB
2
，

∴△
ABC
是直角三角形．

故选：
A
．



7
．如图，△
ABC
和△
DCE
都是 边长为
4
的等边三角形，点
B
、
C
、
E
在 同一条直
线上，连接
BD
，则
BD
的长为（ ）


A
．
B
．
C
．
D
．


【考点】勾股定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；等边三 角形的性质．
【分析】根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可以
第 9页（共23页）


发现∠
BDE=90°
，再进一步根据勾股定理进行求解．

【解答 】解：∵△
ABC
和△
DCE
都是边长为
4
的等边三角形，

∴∠
DCE=
∠
CDE=60°
，
BC=CD= 4
．

∴∠
BDC=
∠
CBD=30°
．

∴∠
BDE=90°
．

∴
BD=
故选：
D
．



8< br>．长方形的一边长为
4
，对角线与长方形另外一条边相差
2
，则长方形 的面积为
（ ）

A
．
8 B
．
4 C
．
6 D
．
12

=4
．

【考点】矩形的性质．

【分析】利用勾股定理列式求出另一边长，然后根据矩形的面 积公式列式进行计
算即可得解．

【解答】解：∵如图，
AB=4
，
AC=BC
+
2
，

∴根据勾股定理得到：
AB< br>2
+
BC
2
=
（
BC
+
2
）
2
，即
16
+
BC
2
=
（
BC
+
2
）
2
，

∴
BC=3
，

∴它的面积为
4
×
3=12
．

故选：
D
．




9
．在直角 三角形中，如果有一个角是
30°
，这个直角三角形的三边之比最有可
能的是（ ）

A
．
3
：
4
：
5 B
．
1
：
1
：
C
．
5
：
12
：
13 D
．
1
：：
2

【考点】含
30
度角的直角三角形．

【分析】设
30°< br>角所对的直角边为
a
，根据
30°
角所对的直角边等于斜边的一半求< br>出斜边的长度，再利用勾股定理求出另一条边的长度，然后即可求出比值．

第10页（共23页）


【解答】解：如图，设
30°
角所对的直角边
BC=a
，

则
AB=2BC=2a
，

∴
AC=
∴三边之比为
a
：
故选
D
．

=a
，

a
：
2a=1
：：
2
．




10
．设
a
、
b
是直角三角形的两条直角边，若 该三角形的周长为
6
，斜边长为
2.5
，
则
ab
的 值是（ ）

A
．
1.5 B
．
2 C
．
2.5 D
．
3

【考点】勾股定理．
【分析】由该三角形的周长为
6
，斜边长为
2.5
可知
a
+
b
+
2.5=6
，再根据勾股定理
和完全平方公式即可求出ab
的值．

【解答】解：∵三角形的周长为
6
，斜边长为
2.5
，

∴
a
+
b
+
2.5=6
，

∴
a
+
b=3.5
，①

∵
a
、
b
是直角三角形的两条直角边，

∴
a
2
+
b
2
=2.5
2
，②

由②得
a
2
+
b
2
=
（
a
+b
）
2
﹣
2ab=2.5
2

∴
3.5
2
﹣
2ab=2.5
2

ab=3
，

故选
D
．


< br>11
．如图，已知圆柱底面的周长为
4dm
，圆柱高为
2dm
，在圆柱的侧面上，过
点
A
和点
C
嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的 周长最小为（ ）

第11页（共23页）



A
．
4dm B
．
2dm C
．
2dm D
．
4dm

【考点】平面展开
-
最短路径问题．

【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据
“
两点之间线段最短
”
得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．

【解答】解：如图，把圆柱的 侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为
2AC
的长度．

∵圆柱底面的周长为
4dm
，圆柱高为
2dm
，

∴
AB=2dm
，
BC=BC′=2dm
，

∴< br>AC
2
=2
2
+
2
2
=4
+
4=8
，

∴
AC=2dm
，

dm
．

∴这圈金属丝的周长最小为
2AC=4
故选：
A
．




12
．如图，在
6
个边长为
1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从
A

点到
B
点 只能沿图中的线段走，那么从
A
点到
B
点的最短距离的走法共有（ ）

A
．
1
种
B
．
2
种
C
．
3
种
D
．
4
种

【考点】勾股定理的应用．

【分析】 如图所示，找出从
A
点到
B
点的最短距离的走法即可．

第12页（共23页）


【解答】解：根据题意得出最短路程如图所示，

最短路程长为+
1=2
+
1
，

则从
A< br>点到
B
点的最短距离的走法共有
3
种，

故选：
C
．





二、填空 题（本大题共
4
小题，每小题
3
分，共
12
分．把答案填在 题中横线上）
13
．如果三角形的三边分别为
90°
．

【考点】勾股定理的逆定理．

，，
2
，那么这个三角形的最大角的度数为
【分析】根据勾股定理的逆定理 ：如果三角形的三边长
a
，
b
，
c
满足
a
2
+
b
2
=c
2
，
那么这个三角形就是直角三角形 可得答案．

【解答】解：∵（）
2
+
2
2
=（）
2
，

∴此三角形是直角三角形，

∴这个三角形的最大角的度数为
90°
，

故答案为：
90°
．



14
．如图， 在平面直角坐标系中，将矩形
AOCD
沿直线
AE
折叠（点
E
在边
DC
上），折叠后端点
D
恰好落在边
OC
上的点F
处．若点
D
的坐标为（
10
，
8
），则点
E
的坐标为 （
10
，
3
） ．


【考点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．

第13页（共23页）


【分析】根据折叠的性质得到
AF=AD
，所以在直角△
AOF
中，利用勾股定理来求
OF=6
，然后设
EC=x
，则EF=DE=8
﹣
x
，
CF=10
﹣
6=4
， 根据勾股定理列方程求出
EC
可得点
E
的坐标．

【解答】 解：∵四边形
A0CD
为矩形，
D
的坐标为（
10
，
8
），

∴
AD=BC=10
，
DC=AB=8
，

∵矩形 沿
AE
折叠，使
D
落在
BC
上的点
F
处，

∴
AD=AF=10
，
DE=EF
，

在
Rt
△
AOF
中，
OF=
∴
FC=10
﹣
6=4
，

设
EC=x
，则
DE=EF=8
﹣
x
，

在
Rt
△
CEF
中，
EF
2
=EC
2
+
FC
2
，即（
8
﹣
x
）
2
=x
2
+
4
2
，解得
x=3
，

即
EC
的长为
3
．

∴点
E
的坐标为（
10
，
3
），

故答案为：（
10
，
3
）．

=6
，




15
．如图，以
Rt
△
ABC
的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边
AB=a，
则图中阴影部分的面积为
a
2
．


【考点】勾股定理．

第14页（共23页）


【分析 】根据勾股定理可得
AC
2
+
BC
2
=AB
2，然后判断出阴影部分的面积
=2S
△
ABE
，
再利用等腰直角 三角形的面积等于直角边的平方的一半计算即可得解．

【解答】解：∵△
ABC
是直角三角形，

∴
AC
2
+
BC
2
=AB
2
，

∵三个阴影部分三角形都是等腰直角三角形，

∴阴影部分的面积
=2S△
ABE
=2
×
?a?
（
a
）
=a< br>2
．

故答案为：
a
2
．



16
．如图所示，在△
ABC
中，
AB
：
BC
：
CA=3
：
4
：
5
，且周长为
3 6cm
，点
P
从点
A
开始沿
AB
边向
B< br>点以每秒
1cm
的速度移动；点
Q
从点
B
沿
BC
边向点
C
以每
秒
2cm
的速度移动，如果同时出发，则 过
3
秒时，△
BPQ
的面积为
18

cm
2
．


【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】首先设
AB
为
3xcm
，
BC
为
4x cm
，
AC
为
5xcm
，利用方程求出三角形的
三边，由勾 股定理的逆定理得出三角形为直角三角形．再求出
3
秒后的，
BP
，
BQ
的长，利用三角形的面积公式计算求解．

【解答】解：设
AB
为
3xcm
，
BC
为
4xcm
，
AC
为< br>5xcm
，

∵周长为
36cm
，

AB
+
BC
+
AC=36cm
，

∴
3x
+
4x
+
5x=36
，

解得
x=3
，

∴
AB=9cm
，
BC= 12cm
，
AC=15cm
，

∵
AB
2
+
BC
2
=AC
2
，

∴△
ABC
是直角三角形，

过
3
秒时，
BP=9
﹣
3
×
1=6
（
cm
），
BQ= 2
×
3=6
（
cm
），

第15页（共23页）


∴
S
△
PBQ
=BP?BQ=
×（< br>9
﹣
3
）×
6=18
（
cm
2
）．

故答案为：
18
．



三、解答题（ 本大题共
8
小题，共
72
分，解答应写出计算过程）

17
．在
Rt
△
ABC
中，∠
C=90°
．

（
1
）已知
c=25
，
b=15
，求
a< br>；

（
2
）已知
a=
，∠
A=60°
，求
b
、
c
．

【考点】解直角三角形．

【分析】（
1
）根据勾股定理即可直接求出
a
的值；
（
2
）根据直角三角形的性质与勾股定理即可求出
b
、
c
的值．

【解答】解：（
1
）根据勾股定理可得：

a=

=20
；

（
2
）∵△
A BC
为
Rt
△，∠
A=60°
，

∴∠
B=30°
，

∴
c=2b
，
根据勾股定理可得：
a
2
+
b
2
=c
2
，即
6
+
b
2
=
（
2b
）
2< br>，

解得
b=


18
．如图，已知在△< br>ABC
中，
CD
⊥
AB
于
D
，
BD =9
，
BC=15
，
AC=20
．

（
1
）求
CD
的长；

（
2
）求
AB
的长；

（
3
）判断△
ABC
的形状．

，则
c=2
．


【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．

【分析】（
1
）在
Rt
△
BCD
中，根据勾股定理求出
CD
的长；

（
2
）在
Rt
△
ACD
中根据勾股定理求出
AD
的长，故可得出
AB
的长；

第16页（共23页）


（
3
）由勾股定理的逆定理即可得出结论．

【解答】（
1
）在△
BCD
中，因为
CD
⊥
AB
，< br>
所以
BD
2
+
CD
2
=BC
2< br>．

所以
CD
2
=BC
2
﹣
BD< br>2
=15
2
﹣
9
2
=144
．

所以
CD=12
．

（
2
）在△
ACD< br>中，因为
CD
⊥
AB
，

所以
CD
2
+
AD
2
=AC
2
．

所以
A D
2
=AC
2
﹣
CD
2
=20
2
﹣
12
2
=256
．

所以
AD=16
．

所以
AB=AD
+
B D=16
+
9=25
．

（
3
）因为
BC
2
+
AC
2
=15
2
+
20
2< br>=625
，
AB
2
=25
2
=625
，
所以
AB
2
=BC
2
+
AC
2．

所以△
ABC
是直角三角形．


19
．如图，在
Rt
△
ABC
中，
AB=9
，
BC=6
，∠
B=90°
，将△
ABC
折叠，使
A
点与
BC
的中点
D
重合，折痕为
MN
，求线段BN
的长．


【考点】翻折变换（折叠问题）．

【 分析】如图，首先求出
BD
的长，根据勾股定理列出关于线段
AN
的方程，问
题即可解决．

【解答】解：如图，

∵点
D
为
BC
的中点，

∴
BD=CD=
；

由题意知：
AN=DN
（设为
x
），

则
BN=9
﹣
x
；

由勾股定理得：
< br>x
2
=
（
9
﹣
x
）
2
+< br>3
2
，

第17页（共23页）


解得：
x=5
，

∴
BN=9
﹣
5=4
，

即
BN
的长为
4
．



20
．如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面
3
尺． 突
然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水
平距离为6
尺，请问水深多少？


【考点】勾股定理的应用．

【分析】仔细分析该题，可画出草图，关键是水深、红莲移动的水平距离及红莲
的高度构成一直角三角 形，解此直角三角形即可

【解答】解：红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即
AC
为红莲的长．
Rt
△
ABC
中，
AB=h
，
AC=h
+3
，
BC=6
，

由勾股定理得：
AC
2=AB
2
+
BC
2
，即（
h
+
3）
2
=h
2
+
6
2
，

∴< br>h
2
+
6h
+
9=h
2
+
36，

6h=27
，

解得：
h=4.5
．

答：水深
4.5
尺．




第18页（共23页）


21
．如图，△
ABC
，△
AED
是两个大小一样的三角形，已知∠
ADE=90°
，
A E=5
，
AD=4
，连接
EB
，求
DE
和
EB
的长．


【考点】勾股定理．

【分析】直接利用勾 股定理得出
DE
的长，再利用全等三角形的性质结合勾股定
理得出
BE
的长．

【解答】解：∵∠
ADE=90°
，
AE=5
，
AD=4
，

∴
DE==3
，

∵△
ABC
，△
AED
是两个大小一样的三角形，

∴
AB=AE=5
，

∴
BD=1
，

∴
BE=


22
．在△
ABC
中，AB=2
，
AC=4
，
BC=2
，以
AB
为边 向△
ABC
外作△
ABD
，使△
==
．

ABD
为等腰直角三角形，求线段
CD
的长．

【考点】勾股定理的逆定理；全等三角形的判定与性质．

【分析】根据题意中的△< br>ABD
为等腰直角三角形，显然应分为三种情况：∠
ABD=90°
，∠
BAD=90°
，∠
ADB=90°
．然后巧妙构造辅助线，出现全等三角形和直< br>角三角形，利用全等三角形的性质和勾股定理进行求解．

【解答】解：∵
AC =4
，
BC=2
，
AB=
∴
AC
2
+BC
2
=AB
2
，

∴△
ACB
为直角三角形，∠
ACB=90°
．

分三种情况：

如图（
1
），过点
D
作
D E
⊥
CB
，垂足为点
E
．

∵
DE
⊥
CB
（已知）


第19页（共23页）

，


∴∠
BED=
∠
ACB=90°
（垂直的定义），

∴∠
CAB
+∠
CBA=90°
（直角三角形两锐角互余），

∵△
ABD
为等腰直角三角形（已知），

∴
AB=BD< br>，∠
ABD=90°
（等腰直角三角形的定义），

∴∠
CBA
+∠
DBE=90°
（平角的定义），

∴∠
CAB=
∠
EBD
（同角的余角相等），

在△
ACB
与△
BED
中，

∵∠
ACB =
∠
BED
，∠
CAB=
∠
EBD
，
AB =BD
（已证），

∴△
ACB
≌△
BED
（
AAS
），
< br>∴
BE=AC=4
，
DE=CB=2
（全等三角形对应边相等），
∴
CE=6
（等量代换）

根据勾股定理得：
CD=2
；

如图（
2
），过点
D
作
DE
⊥
CA
，垂足为点
E
．

∵
BC
⊥
CA
（已知）


∴∠
AED=
∠
ACB=90°
（垂直的定义）


∴∠
EAD
+∠
EDA=90°
（直角三角形两锐角互余）

∵△
ABD
为等腰直角三角形（已知）


∴
AB =AD
，∠
BAD=90°
（等腰直角三角形的定义）

∴∠
CAB
+∠
DAE=90°
（平角的定义）

∴∠
BAC=
∠
ADE
（同角的余角相等）

在△
ACB
与△
DEA
中，

∵∠
ACB =
∠
DEA
（已证）∠
CAB=
∠
EDA
（已证）
AB=DA
（已证）

∴△
ACB
≌△
DEA
（
AAS
）


∴
DE=AC=4
，
AE=BC=2
（全等三角形对应边 相等）


∴
CE=6
（等量代换）

根据勾股定理得：
CD=2
；

如图（
3
），过点
D
作
DE
⊥
CB
，垂足为点
E
，过点A
作
AF
⊥
DE
，垂足为点
F
．

∵∠
C=90°
，

∴∠
CAB
+∠
CBA=90°
，

第20页（共23页）


∵∠
DAB
+∠
DBA=90°
，

∴∠
EBD
+∠
DAF=90°
，

∵∠
EBD
+∠
BDE=90°
，∠
DAF
+∠
ADF=90°
，

∴∠
DBE=
∠
ADF
，

∵∠
BED=
∠
AFD=90°
，
DB=AD
，

∴△
AFD
≌△
DEB
，

则
ED=AF
，

由∠
ACB=
∠
CED =
∠
AFE=90°
，

则四边形
CEFA
是矩形，

故
CE=AF
，
EF=AC=4
，

设
DF=x
，则
BE=x
，

故
EC=2
+
x
，
AF=DE=EF
﹣
DF=4
﹣
x
，

则
2
+
x=4
﹣
x
，

解得：
x=1
，

故
EC=DE=3
，

则
CD=3
．



23
．在△
ABC
中，
a=m
2
﹣
n
2
，
b=2mn
，
c=m
2
+
n
2
，其中
m
、< br>n
都是正整数；且
m
＞
n
，试判断△
ABC
是否为直角三角形？

【考点】勾股定理的逆定理．

【分析】根据勾股定理的逆定理进行判断即可．

【解答】解：∵
a=m2
﹣
n
2
，
b=2mn
，
c=m
2< br>+
n
2
，

第21页（共23页）



∴
a
2
+
b
2
=
（
m
2
﹣
n
2
）
2
+
4m
2
n
2
=m
4
+
n
4
﹣
2m
2n
2
+
4m
2
n
2
=m
4
+
n
4
+
2m
2
n
2
=
（
m
2
+
n
2
）
2
=c
2
．
∴△
ABC
是为直角三角形．



24
．长方 形
OABC
绕顶点
C
（
0
，
5
）逆时针方 向旋转，当旋转到
CO′A′B′
位置时，
边
O′A′
交边
AB
于
D
，且
A′D=2
，
AD=4
．

（
1
）求
BC
长；

（
2
）求阴影部分的面积．


【考点】坐标与图形变化< br>-
旋转；勾股定理的应用；矩形的性质；旋转的性质．

AB=CO=CO'= 5
，【分析】（
1
）先根据旋转的性质以及矩形的性质，求得
BC=AO=O ′A′
，
∠
B=
∠
O'=90°
，
BD=1
，再连接
CD
，设
BC=x
，根据勾股定理得出
BC
2< br>+
BD
2
=CD
2
=CO'
2
+
D O'
2
，据此列出方程求解即可；

（
2
）根据阴影部分的 面积
=
△
BCD
面积+△
O'CD
面积，进行计算即可．< br>
5
）【解答】解：（
1
）∵长方形
OABC
绕顶点
C
（
0
，逆时针方向旋转得到矩形
CO′A′B′

∴
BC=AO=O′A′
，
AB=CO=CO'=5
，∠
B=∠
O'=90°
，

∵
AD=4
，
AB=5
，

∴
BD=5
﹣
4=1
，

设
BC=x，则
DO'=O'A'
﹣
A'D=x
﹣
2
，

连接
CD
，则
BC
2
+
BD
2
= CD
2
=CO'
2
+
DO'
2

即
x
2
+
1
2
=5
2
+（
x
﹣< br>2
）
2

解得：
x=7
，

∴
BC=7
；


（
2
）∵
BC =7
，
BD=1
，
CO'=5
，
DO'=7
﹣2=5
，∠
B=
∠
O'=90°
，

∴阴影部 分的面积
=
△
BCD
面积+△
O'CD
面积
=×
7
×
1
+×
5
×
5=16
．

第22页（共23页）






第23页（共23页）