长方形的面积公式是8下勾股定理知识点总结、经典例题

..
勾股定理知识点及例题

知识点一：勾股定理

如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a
2
＋b
2
＝c
2
．即直角三角形中两直角边的平方和
等于斜边的平方．


要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。
（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。
（3）理解勾股定理的一些变式：
c=a+b, a=c-b， b=c-a ， c=(a+b)-2ab

22222222222
知识点二：用面积证明勾股定理

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。
图（1）中，所以。



方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。
图（2）中，所以。



.

..
方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。



在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,
在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,
所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：

方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。




，所以。
知识点三：勾股定理的作用
1．已知直角三角形的两条边长求第三边； 2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；
3．用于证明平方关系的问题； 4．利用勾股定理，作出长为

的线段。
知识点四：数学思想方法
（一） 转化的思想方法

我 们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，
将问题转化为直角三
角形问题
来解决．

如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜 边BC的中点，E、F
分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段E F的长。







.
..

思路点拨：现已知BE、CF ，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是
线段的转化
，根
据直角三角 形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD．

解：连接AD．
因为∠BAC=90°，AB=AC． 又因为AD为△ABC的中线，
所以AD=DC=DB．AD⊥BC．
且∠BAD=∠C=45°．
因为∠EDA+∠ADF=90°． 又因为∠CDF+∠ADF=90°．
所以∠EDA=∠CDF． 所以△AED≌△CFD（ASA）．
所以AE=FC=5．
同理：AF=BE=12．
在Rt△AEF中，根据勾股定理得：
，所以EF=13。
总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识 。通过此题，我们可以了解：
当已知的
线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转 化把它们放在同一直角三角形中求
解
。

（二）方程的思想方法
如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，，求、、
的值。
思路点拨：由，再找出、的关系即可求出和的值。

解：在Rt△ABC中，∠A=60°，∠B=90°-∠A=30°，
则
因为
，由勾股定理，得
，所以，
。
，，。总结升华：在直角三角形中，
30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。

举一反三：
【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB =8cm，BC=10cm，求EF
的长。

解：因为△ADE与△AFE关于AE对称，所以AD=AF，DE=EF。
因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠C=90°，
在Rt△ABF中， AF=AD=BC=10cm，AB=8cm，
所以
所以
设，则
，即
即EF的长为5cm。




.
。
。
。
，解得。 在Rt△ECF中，
..
知识点四：在理解的基础上熟悉下列勾股数

满足不定方程x
2
+y
2
=z
2
的三个正整数，称为勾股数 （又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z
为三边长的三角形一定是直角三角形。
熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：
①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41．
如果(a,b,c)是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为 直角三角形。


经典例题透析

类型一：勾股定理的直接用法
1、在Rt△ABC中，∠C=90°
(1) 已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a.

思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=
(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=
(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=



总结升华： 有一些题目的图形较复杂，但中心思想还是化为直角三角形来解决。如：不规则
图形的面积，可转化为特 殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形
面积转化为三角形面积之差或和。

举一反三
【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?
【答案】∵∠ACD=90°
AD=13, CD=12
∴AC
2
=AD
2
－CD
2

=13
2
－12
2

=25
∴AC=5
又∵∠ABC=90°且BC=3
∴由勾股定理可得
AB
2
=AC
2
－
BC
2

=5
2
－3
2

=16
∴AB= 4
∴AB的长是4.










.
..
2、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。
思路点拨 ：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知
数，再根据勾股定理 列出方程，求出未知数的值进而求面积。
解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：
（3x）
2
+（4x）
2
＝20
2

化简得x
2
＝16；
∴直角三角形的面积＝×3x×4x＝6x
2
＝96
总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。

举一反三 【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。
【答案】如图，等边△ABC，作AD⊥BC于D
























则：BD＝BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）
∵AB＝AC＝BC＝2（等边三角形各边都相等）
∴BD＝1
在直角三角形AB D中，AB
2
＝AD
2
+BD
2
，即：AD
2＝AB
2
－BD
2
＝4－1＝3

BC·AD＝
∴AD＝
S
△
ABC
＝
注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为a。

【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。
【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x，y，根据题意得：





















由（1）得：x+y＝7，
（x+y）
2
＝49，x
2
+2xy+y
2
＝49 (3)
(3)－(2)，得：xy＝12
∴直角三角形的面积是xy＝×12＝6（cm
2
）

【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。
思路点拨：首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。

解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：
（n+1）
2
+（n+2）
2
＝（n+3）
2

化简得：n
2
＝4
∴n＝±2，但当n＝－2时，n+1＝－1<0，∴n＝2
总结升华：注意直角三角形中两“直角边 ”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪
条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边 ，直角边。






.
..
类型二：勾股定理的构造应用
1、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.



思路点拨：由条件
，
解析：作
∴
，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有
，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.

于D，则因
（
，
的两个锐角互余）
， ∴（在中，如果一个锐角等于
那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
根据勾股定理，在

根据勾股定理，在

∴ .
中，
.
中，
.
总结升华：利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用. 当题目中没有垂直条件
时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理.


举一反三：
【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.

思路点拨: 图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形. 因此，我们考虑
构造一个以BP为一边的直角三角形. 所以连结BM. 这样，实际上就得到了4个直角三角形.
那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系.








.
..

解析：连结BM，根据勾股定理，在

而在

∴
又∵
∴
在
，
（已知），
.
中，根据勾股定理有
.
中，则根据勾股定理有
.

中，
∴.

【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求 ：四边形ABCD的面积。


分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点
E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
解析：延长AD、BC交于E。
∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。
∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，
∴BE
2
=AE
2
-AB
2
=8
2
-4
2
=48， BE=
∵DE
2
= CE
2
-CD
2
= 4
2
-2
2
=12，∴DE=
=
=
。
。
∴S
四边形
ABCD
=S
△
ABE
-S
△
CDE
=AB·BE-CD·DE=

2、如图， 公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到
噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18kmh，那么学校受影响的时间为多少秒 ？



思路点拨：（1）要 判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于
100m, 小于100m则受 影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。（2）要求
出学校受影响的时间，实质 是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉
机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点 后结束影响学校。







.
..
解析：作AB⊥MN，垂足为B。
在 RtΔABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°， AP＝160，

























∴ AB＝AP＝80。 （在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半）
∵点 A到直线MN的距离小于100m,
∴这所中学会受到噪声的影响。
如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC＝100(m)，
由勾股定理得： BC
2
＝100
2
-80
2
＝3600,∴ BC＝60。













同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD＝100(m)，BD＝60(m),
∴CD＝120(m)。
拖拉机行驶的速度为 : 18kmh＝5ms
t＝120m÷5ms＝24s。
答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。

总结升华: 勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅
助垂线的方法,构造直 角三角形以便利用勾股定理。


举一反三
【变式1】如图学校有一块 长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。
他们仅仅少走了__ ________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。

解析：他们原来走的路为3+4＝7(m)

设走“捷径”的路长为xm，则
故少走的路长为7－5＝2(m)
又因为2步为1m，所以他们仅仅少走了4步路。【答案】4








.
..
【变式2】如图中的虚线网格 我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这
样的三角形称为单位正三角 形。
（1）直接写出单位正三角形的高与面积。
（2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？
（3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。

【答案】（1）单位正三角形的高为，面积是。
（2）如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积。
（3）过A作AK⊥BC于点K（如图所示），则在Rt△ACK中，，

故
，


类型三：勾股定理的实际应用

（一）用勾股定理求两点之间的距离问题

1、如图所示，在一次夏令营活动中，小明 从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了
再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。
（1）求A、C两点之间的距离。
（2）确定目的地C在营地A的什么方向。
到达B点，然后


.
..

思路点拨：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，利用勾股定理求解。









解析：（1）过B点作BEAD
∴∠DAB=∠ABE=60°
∵30°+∠CBA+∠ABE=180°
∴∠CBA=90°
即△ABC为直角三角形



由已知可得：BC=500m，AB=
由勾股定理可得：



































所以
（2）在Rt△ABC中，
∵BC=500m，AC=1000m
∴∠CAB=30°
∵∠DAB=60°
∴∠DAC=30°
即点C在点A的北偏东30°的方向
总结升华：本题是一道实际问题，从已知条件出发判断出△ABC是直角三角形是解决问题的
关 键。本题涉及平行线的性质和勾股定理等知识。

举一反三
【变式】一辆 装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车
能否通过 该工厂的厂门?

【答案】由于厂门宽度是否足够 卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所
示，点D在离厂门中线0.8米 处，且CD⊥ＡＢ， 与地面交于H．
解：OC＝1米 (大门宽度一半)，
OD＝0.8米 （卡车宽度一半）
在Rt△OCD中，由勾股定理得：
CD＝＝＝０.６米，
CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．
因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．











.

..
（二）用勾股定理求最短路径问题
第一类：立体图形中的最短路径问题：
解题思路：
1. 总体思路：
（1） 展 -------（立体 平面）； （2） 找 ------- -起点， 终点；
（3） 连-------- 路线； （4） 算--------利用勾股定理
（5） 答

2. 圆柱形
1) 终点C在起点A对应一侧，则展开后所得直角三角形ABC的边长BC为底面周长的一半；


2) 终点C与起点A在同一侧，且A点出发绕圆柱行驶到C点，则AC之间的距离为圆柱展开后所得矩形的对角线长度；BC为底面周长







3) 起点A在杯外侧，终点C在杯内侧，在圆柱展开后所得矩形的上沿做A的轴对称点B， 连接
BC，BC的长度即为AC间的最短距离。做C点到A所在矩形边的垂线，相交于D点，则在直角< br>三角形BDC中，BC为斜边；
（扩展：AC两点不在同一直线上，AC两点之间 的最短距离，做A点相对于参考直线的轴
对称点B,BC的长度即为最短距离，详见后面例题）





















.
..

3. 正方形
展开任意两个面（ 因为每个面都一样），连接两点，构建直角三角形





4. 长方形（有三种情况，根据边长具体分析）



5, 爬楼梯


第二类：多种线路中选择最短路径
解题思路：对多种可能路线进行计算，比较

1. 国家电力总公司为了改善农村用 电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄
A、B、C、D，且正好位于 一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种
架设方案，如图实线部分 ．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．



.

..

思路点拨：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股 定理计算线路长，然后进行比较，得出
结论．

解析：设正方形的边长为1，则图（1）、图（2）中的总线路长分别为
AB+BC+CD＝3，AB+BC+CD＝3
图（3）中，在Rt△ABC中

同理

∴图（3）中的路线长为
图（4）中，延长EF交BC于H，则FH⊥BC，BH＝CH
由∠FBH＝
EA＝ED＝FB＝FC＝
∴EF＝1－2FH＝1－
及勾股定理得：

∴此图中总线路的长为4EA+EF＝
3＞2.828>2.732
∴图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线．
总结升华：在实际生产工作中，往往工 程设计的方案比较多，需要运用所学的数学知识进行
计算，比较从中选出最优设计．本题利用勾股定理、 等腰三角形的判定、全等三角形的性质．


2. 如图，一圆柱体的底面周长为20 cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱
的侧面爬行到点C，试求 出爬行的最短路程．

解：


如图，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm， 根据勾股定理得
（提问：勾股定理）
∴ AC＝＝
答：最短路程约为１０．７７cm．
＝≈１０．７７（cm）（勾股定理）．

举一反三
【变式】有一圆形油罐底面圆的周长为16m，高为7m，一只蚂蚁从距底面1m的A处爬行到对角B处
吃食物，它爬行的最短路线长为多少？



.
..







B

A

AB?AC
2
?BC
2
?
C

A

6
2
?8
2

B

解：如图， 在Rt△ABＣ中，BC=底面周长的一半=16 ÷2 = 8m ，AC=7-1=6m 由勾股定理，可得
?10m
答：它爬行的最短路线长为10m

3. 有一圆柱形油罐，底面周长是12米，高是5米，现从油罐底部A点环绕油罐建梯子， 正好到点A的正上方
点B，问梯子最短需多少米？
B

Ｂ

12米







5米

A

13米

A
（三）利用勾股定理解决折叠问题
1. 折叠问题的本质：
? 图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边角相等.

A
△AFE≌△ADE


B

D
F
E C

根据沿直线折叠的特点，△ABE≌△AB′E，△CEF≌△C′EF，所以∠AEB=∠AEB′，∠CEF =∠C′EF，
因为∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF=180°，所以∠AEB′+∠ C′EF=90°，
因为点E，B′，C′在同一直线上，所以∠AEF=90°．
A


? 点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分.

FD垂直于AE,且被AE平分






.
F

E

D

..

2. 解题思路
根据折叠实现等量转化（找全等，找对称
点，对称点连线被对称轴（ 折痕）平分），
先标等量，再构造方程。折叠问题中构造
方程的方法：把条件集中到一个Rt△ 中，


4
C

D

3

3
E

3
x



x
4-x
4
B

G
A

（1）根据勾股定理得方程。
5
2

（2）根据面积得方程。

111
11
?3x??5x??3?4
?3?(4?x)??5x
或者
222
22

（3）根据相似比得方程。
找相似三角形（利用直角三角形比较方便），根据对应边长之比相等列方程求解

x
2
?2
2
?(4?x)
2

类型四：利用勾股定理作长为
1、作长为、、
的线段

的线段。
，直角边为和1的直角三 思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于
角形斜边长就是

作法：如图所示
，类似地可作。

（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB，使AB为斜边；
（2）以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角
（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形
。斜边为
、
；
、、的长度就是 ，这样斜边
、、、。
总结升华：（1）以上作法根据勾股定理均可证明是正确的 ；（2）取单位长时可自定。一般习惯用国际标准的
单位，如1cm、1m等，我们作图时只要取定一个 长为单位即可。

.
..

举一反三 【变式】在数轴上表示的点。
解析：可以把看作是直角三角形的斜边，，
为了有利于画图让其他两边的长为整数，
而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。

作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，则在直角三角形O AC中，
OC为斜边，长度为

，以OC为半径，以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。
类型五：逆命题与勾股定理逆定理

1、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确
1) 原命题：猫有四只脚．（正确）
2) 原命题：对顶角相等（正确）
3) 原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（正确）
4) 原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（正确）
思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。
解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）
2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）
3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．（正确）
4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．（正确）
总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。

2、如果ΔABC的三边分别为a、 b、c，且满足a
2
+b
2
+c
2
+50=6a+8b+1 0c，判断ΔABC的形状。
思路点拨：要判断ΔABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目 中只有条件a
2
+b
2
+c
2
+50=6a+8b+10c ，
故只有从该条件入手，解决问题。
解析：由a
2
+b
2< br>+c
2
+50=6a+8b+10c，得 ：
a
2
-6a+9+b
2
-8b+16+c
2
-10c+25=0,
∴ (a-3)
2
+(b-4)
2
+(c-5)
2
=0。
∵ (a-3)
2
≥0, (b-4)
2
≥0, (c-5)
2
≥0。
∴ a=3，b=4，c=5。
∵ 3
2
+4
2
=5
2
,
∴ a
2
+b
2
=c
2
。


由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。
总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用
到。












.
..

举一反三【变式1】四边形A BCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面
积。
【答案】：连结AC
∵∠B=90°，AB=3，BC=4
∴AC
2
=AB
2
+BC
2
=25（勾股定理）
∴AC=5
∵AC
2
+CD
2
=169，AD
2
=169
∴AC
2
+CD
2
=AD
2

∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）


【变式2】已知: △ABC的三边分别为m
2
－n
2
,2mn,m
2
+n2
(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三
角形.
分析:本题是利用勾股定理的的逆定理， 只要证明:a
2
+b
2
=c
2
即可
证明：

所以△ABC是直角三角形.


AB。

【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中 点，F为AB上一点，且BF=
请问FE与DE是否垂直?请说明。
【答案】答：DE⊥EF。
证明：设BF=a，则BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a,
∴ EF
2
=BF
2
+BE
2
=a
2
+4a
2
=5a
2
；
DE
2
=CE
2
+CD
2
=4a
2
+16 a
2
=20a
2
。
连接DF（如图）
DF
2
=AF
2
+AD
2
=9a
2
+16 a
2
=25a
2
。
∴ DF
2
=EF
2
+DE
2
,
∴ FE⊥DE。

【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40
解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，
< br>对数据较大的可以用c
2
＝a
2
+b
2
的变形：b< br>2
＝c
2
－a
2
＝（c－a）（c+a）来判断。

例如：对于选择D，
∵8
2
≠（40+39）×（40－39），
∴以8，39，40为边长不能组成直角三角形。
同理可以判断其它选项。 【答案】：A

.