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冲击力公式八年级下册二次根式压轴题解析

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-10 23:39
tags:三角形边长公式

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二次根式压轴题(八下学完才能用)

一.选择题(共1小题)
1.(20 03?杭州)对于以下四个命题:①若直角三角形的两条边长为3与4,则第三边的长
是5;②()2
=a;③若点P(a,b)在第三象限,则点Q(﹣a,﹣b)在第一象限;
④两边及其 第三边上的中线对应相等的两个三角形全等,正确的说法是( )

A.只 有①错误,其他正确 B. ①②错误,③④正确

C. ①④错误,②③正确 D.只 有④错误,其他正确
二.填空题(共11小题)
2.(2012?山西模拟)若规定符号“ *”的意义是a*b=ab﹣b
2
,则2*()的值
是 .
3. (2010?鄂州)如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,E是CB的中点,AE=EC,
∠B AC=3∠DBC,BD=6+6,则AB= .
也是整数: 4.(2010?拱墅区一模)已知a,b是正整数,且满足
(1)写出一对符合条件的数对是 ;
(2)所有满足条件的有序数对(a,b)共有 对.
5.(2010?澄海 区校级模拟)化简
6.(2009?兴化市模拟)若实数a满足|a﹣8|+
7.(2009? 琼海模拟)化简二次根式
8.(2008?贵港)观察下列等式:,
= .
=a,则a= .
的正确结果是 .

,…请你从上述等式中找出规律,并利用这一规律计算:
= .
9.(2004?宁波)已知:a<0,化简= .
10.(1998?杭州)已知
= .
11.(1998?内江)已知a b=2,则
12.(1997?内江)已知1<x<2,
三.解答题(共4小题)
13.(2012?巴中)先化简,再求值:(﹣
,则
的值是 .
,则的值是 .
)?,其中x=.
14.(2009?邵阳)阅读下列材料,然后回答问题.
在进行二次根式的化简与运算时,我们有时会碰上如
我们还可以将其进一步化简:
=
=
=;(一)
(二)
,,一样的式子,其实
==(三)
以上这种化简的步骤叫做分母有理化.
还可以用以下方法化简:
=
(1)请用不同的方法化简
①参照(三)式得< br>②参照(四)式得
(2)化简:

=( );
=( )

(四)
15.(2008?凉山州)阅读材料,解答下列问题.
例:当a>0时,如a=6则|a|=|6|=6,故此时a的绝对值是它本身;
当a=0时,|a|=0,故此时a的绝对值是零;
当a<0时,如a=﹣6则|a|=|﹣6|=﹣(﹣6),故此时a的绝对值是它的相反数.
∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况,即,
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想.
问:(1)请仿照例中的分类讨论的方法,分析二次根式
(2)猜想与|a|的大小关系.
的各种展开的情况;
16.(2005?台州)我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述 了“三斜求积术”,即已知
三角形的三边长,求它的面积.用现代式子表示即为:
…①(其中a 、b、c为三角形的三边长,s为面
积).
而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式:
s=…②(其中p=.)
(1)若已知三角形的三边长分别为5,7,8,试分别运用公式①和公式②,计算该三角形
的面积s;
(2)你能否由公式①推导出公式②?请试试.
二次根式压轴题(八下学完才能用)

参考答案与试题解析

一.选择题(共1小题)
1.(2003?杭州)对 于以下四个命题:①若直角三角形的两条边长为3与4,则第三边的长
是5;②()
2
=a;③若点P(a,b)在第三象限,则点Q(﹣a,﹣b)在第一象限;
④两边及其第三边上的中线 对应相等的两个三角形全等,正确的说法是( )

A. 只有①错误,其他正确 B. ①②错误,③④正确

C. ①④错误,②③正确 D. 只有④错误,其他正确
考二次根式的性质与化简;点的坐标;全等三角形的判定;勾股定理.
点:
专压轴题.
题:
分①应明确边长为4的边是直角边还是斜边;
析: ②隐含条件a≥0,根据二次根式的定义解答;
③根据每个象限内点的符号特点判断出a、b的符号,再判断出﹣a、﹣b的符号即
可;
④用“倍长中线法”可证明两个三角形全等.
解解:①错误,应强调为直角三角形的两条直角边长为3与4,则第三边的长是5;
答: ②正确,隐含条件a≥0,根据二次根式的意义,等式成立;
③正确,若点P(a,b)在第三象限, 则a<0,b<0;则﹣a>0,﹣b>0,点Q(﹣
a,﹣b)在第一象限;
④正确,作辅助线,倍长中线,可证明两个三角形全等.
故选:A.
点本题考查了对勾股定理的理解,二次根式的化简,点的对称性质,全等三角形的判
评: 定方法.
二.填空题(共11小题)
2.(2012?山西模拟)若规定符号“*”的意义 是a*b=ab﹣b
2
,则2*(
﹣5 .
考二次根式的混合运算.
点:
专压轴题;新定义.
题:

先理解“*”的意义,然后将2*()表示出来计算即可.
析:

解:由题意得:2*()=2×(﹣1)﹣=4
答:
故答案为:4﹣5.
)的值是 4
﹣5.
点本题考查二次根式的混合运算,难度不大,注意理解“*”的意义.
评:
3.( 2010?鄂州)如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,E是CB的中点,AE=EC,
∠BA C=3∠DBC,BD=6+6,则AB= 12 .
考二次根式的应用;等腰三角形的性质;垂径定理;解直角三角形.
点:
专压轴题.
题:
分作辅助圆A,由已知证明△ABC为等腰直角三角形,△ACD为等边三角形,作
析: CF⊥BD,将△BCD分为两个直角三角形,解直角三角形,列方程求解.
解解:法一:以点A为圆心,AB为半径画圆,作CF⊥BD,垂足为F,
答:
∵AB=AC=AD,∴C、D两点都在⊙A上,
∵E是CB的中点,AE=EC,由垂径定理得,
AE=EC=BE,AE⊥BC,
∴∠BAC=90°,
∠BDC=∠BAC=45°,
又∵∠BAC=3∠DBC,
∴∠DBC=30°,
∠CAD=2∠DBC=60°,
△ACD为等边三角形,
设AB=AC=CD=x,
在Rt△ABC中,BC=x,
在Rt△BCF中,∠FBC=30°,BF=
同理,DF=x,
x+x=6+6
BC=x,
由DF+BF=BD,得
解得x=12,即AB=12.
法二:作CF⊥BD,垂足为F,
∵AB=AC,E是CB的中点,AE=EC
∴AE=BE=EC,AE⊥BC,
∴∠BAE=∠ABE=45°,∠ACE=∠EAC=45°,
∴∠BAC=90°,
又∵∠BAC=3∠DBC,
∴∠DBC=30°,
∴∠ABD=∠ADB=15°,
∴∠BAD=150°,
∴∠CAD=60°,
△ACD为等边三角形,
设AB=AC=CD=x,
在Rt△ABC中,BC=x,
在Rt△BCF中,∠FBC=30°,BF=
同理,DF=x,
x+x=6+6
BC=x,
由DF+BF=BD,得
解得x=12,即AB=12.
点本题主要考查了等腰三角形的性质,直角三角形的判定及圆的相关知识,解直角三
评: 角形,列方程求解.
4.(2010?拱墅区一模)已知a,b是正整数,且满足也是整数:
(1)写出一对符合条件的数对是 (15,15)、(60、60)、(15,60)、(60,15 )、
(240,240)、(135,540)、(540,135) ;
(2)所有满足条件的有序数对(a,b)共有 7 对.
考二次根式的性质与化简.
点:
专计算题;压轴题.
题:

把2放在根号下,得出+,是整数,a、b的值进行讨
析:
论,使和为整数或和为整数,从而得出答案.

解:(1)∵=+,
答:
∴当a、b的值为15,60,135,240,540时,
当a=15,b=15时,即< br>当a=60,b=60时,即
当a=15,b=60时,即
当a=60,b=15时,即
当a=240,b=240时,即
当a=135,b=540时,即
当a=540,b =135时,即
=4;
=2;
=3;
=3;
=1;
=1;
=1;

故答案为:(15,15)、(60、60)、(15, 60)、(60,15)、(240,240)、(135,
540)、(540,135);
(2)所有满足条件的有序数对(a,b)共有 7对,
故答案为7.
本题考查了二次根式的性质和化简,解决此题的关键是分类讨论思想,得出a、b可
评: 能的取值.
5.(2010?澄海区校级模拟)化简
考二次根式的性质与化简.
点:
专计算题;压轴题.
题:

先将1﹣4x+4x
2
化成(1﹣2x)
2
,再根据(
析:
围,从而化简得出结果.

解:∵()
2
有意义,
答:
∴2x﹣3≥0,
∴x≥1.5,
∴2x﹣1≥3﹣1=2,

=﹣2x+3

= 2 .

2
有意义,即可求得x的取值范

评:
=2x﹣1﹣2x+3
=2,
故答案为2.
本题考查了完全平方公式和二次根式的化简和求值,是基础知识要熟练掌握.
=a,则a= 74 . 6.(2009?兴化市模拟)若实数a满足|a﹣8|+

点:

题:

析:

答:
二次根式有意义的条件.
压轴题.
由可得a≥10,再对式子进行化简,从而求出a的值.
解:根据题意得:a﹣10≥0,解得a≥10,
∴原等式可化为:a﹣8+
即=8,
=a,

评:
∴a﹣10=64,解得:a=74.
二次根式中被开方数为非负数,是解此题的突破口.
7.(2009?琼海模拟)化简二次根式
考二次根式的性质与化简.
点:
的正确结果是 .

题:

析:

答:
压轴题.
根据二次根式的性质及定义解答.
解:由二次根式的性质得﹣a
3
b≥0
∵a<b
∴a<0,b>0
∴原式==﹣a.
点解答此题,要弄清以下问题:
评:
1、定义:一般地,形如(a≥0)的代数式叫做二次根式.2、性质:
8.( 2008?贵港)观察下列等式:,,
=|a|.
,…请你从上述等式中找出规律,并利用这一规律计算:
= 2006 .
考分母有理化.
点:
专压轴题;规律型.
题:
分所求代数式第一个括号内可由已知的信息化简为:
析:
+…+
差公式计算.

解:∵,,
答:
=,然后利用平方
,…


评:
∴原式=(+…+)(
=()()
=2008﹣2
=2006.
故本题答案为:2006.
解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点,找出其中的抵消规律.
9.(2004?宁波)已知:a<0,化简
考二次根式的性质与化简.
点:
专压轴题.
题:
分根据二次根式的性质化简.
析:
= ﹣2 .

答:
解:∵原式=﹣=﹣

又∵二次根式内的数为非负数
∴a﹣=0
∴a=1或﹣1
∵a<0
∴a=﹣1
∴原式=0﹣2=﹣2.
解决本题的关键是根据二次根式内的数为非负数得到a的值. 点
评:
10.(1998?杭州)已知

点:

题:

析:

答:
二次根式的加减法.
压轴题;换元法.
,则= 13 .
用换元法代替两个带根号的式子,得出m、n的关系式,解方程组求m、n的值即
可.
解:设m=,n=,
+=34②. 那么m﹣n=2①,m
2
+n
2
=
由①得,m=2+n③,
将③代入②得:n
2
+2n﹣15=0,
解得:n=﹣5(舍去)或n=3,
因此可得出,m=5,n=3(m≥0,n≥0).
所以=n+2m=13.
点本题通过观察,根号里面未知数的系数为相反数,可通过换元法求解.
评:
11.(1998?内江)已知ab=2,则

点:

题:

析:

二次根式的化简求值.
压轴题.
由已知条件可知,本题有两种情况需要考虑:a>0,b>0;a<0,b<0.
解:当a>0,b>0时,
的值是 .
答:
原式=;
当a<0,b<0时,
原式=﹣﹣=﹣2.
点此题的难点在于需考虑两种情况.
评:
12.(1997?内江)已知1<x<2,
考二次根式的化简求值.
点:
专压轴题.
题:

由于()
2
=x﹣1﹣2+
析:
以得到(
值<0,最后即可得到

解:∵(
答:
=x+
又∵
∴(
又∵1<x<2,


<0,
=﹣2.
﹣3,


2
=4,
,则的值是 ﹣2 .
=x+﹣3,又∵,由此可

2
)=4,又由于1<x<2,由此 可以得到
的值.

2
=x﹣1﹣2+
故填:﹣2.
点此题解题关键是把所求代数式两边平方,找到它和已知等式的联系,然后利用联系
评: 解题.
三.解答题(共4小题)
13.(2012?巴中)先化简,再求值:(﹣)?,其中x=.
考二次根式的化简求值;分式的化简求值.
点:
专压轴题;分类讨论.
题:
分先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再把x的值代入进行计算即可.
析:

答:
解:原式=?,
当x=时,x+1>0,
可知
故原式=
=x+1,
?===;

本题考查的是二次根式及分式的化简求值,解答此题的关键是当x=时得出
评:
=x+1,此题难度不大.
14.(2009?邵阳)阅读下列材料,然后回答问题.
在进行二次根式的化简与运算时,我们有时会碰上如
我们还可以将其进一步化简:
=
=
=;(一)
(二)
,,一样的式子,其实
==(三)
以上这种化简的步骤叫做分母有理化.
还可以用以下方法化简:
=
(1)请用不同的方法化简
①参照(三)式得< br>②参照(四)式得
(2)化简:
考分母有理化.


专压轴题;阅读型.


=( );
=( )

(四)

分(1)中,通过观察,发现:分母有理化的两种方法:1 、同乘分母的有理化因式;2、
析因式分解达到约分的目的;
: (2)中,注意找规律:分 母的两个被开方数相差是2,分母有理化后,分母都是2,分
子可以出现抵消的情况.

(1)=,

解:

=
(2)原式
=


+…+
=
=.
++…+
点学会分母有理化的两种方法.


15.(2008?凉山州)阅读材料,解答下列问题.
例:当a>0时,如a=6则|a|=|6|=6,故此时a的绝对值是它本身;
当a=0时,|a|=0,故此时a的绝对值是零;
当a<0时,如a=﹣6则|a|=|﹣6|=﹣(﹣6),故此时a的绝对值是它的相反数.
∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况,即,
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想.
问:(1)请仿照例中的分类讨论的方法,分析二次根式
(2)猜想与|a|的大小关系.
的各种展开的情况;
考二次根式的性质与化简.
点:
专压轴题;阅读型.
题:
分应用二次根式的化简,首先应注意被开方数的范围,再进行化简.
析:

答:
解:(1)由题意可得=;
(2)由(1)可得:=|a|. < br>=a;②当a<0时,

本题主要考查二次根式的化简方法与运用:①当a>0时,评:
=﹣a;③当a=0时,=0.
16.(2005?台州)我国古代数学家秦九韶 在《数书九章》中记述了“三斜求积术”,即已知
三角形的三边长,求它的面积.用现代式子表示即为:
…①(其中a、b、c为三角形的三边长,s为面
积).
而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式:
s=…②(其中p=.)
(1)若已知三角形的三边长分别为5,7,8,试分别运用公式①和公式②,计算该三角形
的面积s;
(2)你能否由公式①推导出公式②?请试试.
考二次根式的应用.
点:
专压轴题.
题:
分(1)代入计算即可;
析:
(2)需要在括号内都乘以4,括号外再乘,保持等式不变,构成完全平方公式,再
进行计算.

答:
解:(1)S=
=
P=(5+7+8)=10,
又S=;


(2)=(﹣

=
=
=

(c+a﹣b)(c﹣a+b)(a+b+c)(a+b﹣c),
(2p﹣2a)(2p﹣2b)?2p?(2p﹣2c),
=p(p﹣a)(p﹣b)(p﹣c),
∴=.

评:

(说明:若在整个推导过程中,始终带根号运算当然也正确)
考查了三角形面积的海伦公式的用法,也培养了学生的推理和计算能力.

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