小时的公式立方和与立方差公式

.
第一阶梯
[例1]
我们来计算（a+b）(a-b)=a-a b+ab-b=a-b,这就是说，两个数的和与这两个数的
2222
差的积等于这两个数的平 方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，利用这个公式计算：

(1)(2x+3y)(2x-3y) (2)(1+2a)(1-2a)

(3)(2x+5y)(2x-5y)
3232
(4)(-a-b)(b-a)

提示：

刚开始使用公式 ，运算格式可分两步走，第一步先按公式特征写出一个框架，如（1）
2222
（2x+3y） (2x-3y) =（ ）-（ ），第二步分析哪项相当于公式中的a，哪项相当于公式中的b，
并在框架中填数计算。

参考答案：

(1)（2x+3y）(2x-3y)=（2x）-(3y)=4x-9y

(2)(1+2a)(1-2a) =12-(2a)=1-4a
3232322
22
2222
22

(3)(2x+5y)(2x-5y)=(2x)- (5y)=4x-25y
2222222222
264

(4)(-a-b)(b-a)=(-a-b)(-a+b)=(-a)-(b)=a-b

说明：

平方差公式（a+b）(a-b)=a-b的特征是：

（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。

（2）右边是乘式中两项的平方差：即用相同项的平方减去相反项的平方，在学习平方差
22< br>2244
公式时还应注意：

①公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式

②一定要认真仔 细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整，使
它变化为符合公式标准的形式，如 第（4）小题。
.
.

[例2]计算（a+b）和（a-b）, 可知（a+b）
2
22
=(a+b)(a+b)=a+ab+ab+b=a+2ab+ b(a-b)=(a-b)(a-b)=a-ab-ab+b=a-2ab+b,即（a±b）=a
2< br>22222222222
±2ab+b，这就是说，两数和（或差）的平方，等于它们的平方和， 加上（或者减去）它们积的
2倍，这两个公式叫做乘法的完全平方公式。利用这两个公式计算
( 1)(x+5) (2)(2-y) (3)(3a+2b)

提示：
222
(5) (-a+2b)
2

在套用完全平方公式进行计算时，一定要先弄清题目中的哪个数或式是a，哪个数或式是
b。

参考答案：

(1)(x+5)=x+2·x·5+5=x+10x+25

(2)(2-y)=2-2·2·y+y=4-4y+y
22
2222
2222

(3)(3a+2b)=(3a)+2·3a·2b+(2b)=9a+12ab+4b
222


(5)(-a+2b)=(-a)+2·(-a)·2b+(2b)=a-4ab+4b

说明：
22222


1、（a+b）=a+2ab+b与 （a-b）=a-2ab+b都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前
222222
者叫做两 数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

2、这两个公式的结构特征 是：左边是两个相同的二项式相乘，（即二项式的平方形式），
右边是三项式，是左边二项式中两项的平 方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）
这两项乘积的2倍。

3、公式中的字母a、b既可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等代数式。
.
.

4、只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式，在运用公式时 ，注意防止发生
（a±b）=a±b这样的错误。

[例3]计算（a+b） (a-ab+b)和(a-b)(a+ab+b)，可知（a+b）
2222
222
( a-ab+b)=a-ab+ab+ab-ab+b=a+b,（a-b）(a+ab+b)=a+ab+ab- ab-ab-b=a-b,即（a±b）
(a
2
22222223332232222 333
ab+b)=a±b，这就是说，两数和（或差）乘以它们的平方和与它们的积的差（或和），< br>233
等于这两个数的立方和（或差），这两个公式叫做乘法的立方和公式与立方差公式，利用这 两个
公式计算：

（1）（x+2）(x-2x+4); (2)(3-y)(9+3y+y)
22

（3）(3x-4y)(9x+12xy+16y);

（5）(3x-2y)(9x+6xy+4y)

提示：
224224
22


先弄清题目是用立方和公式还是用立方 差公式计算，再弄清题目中哪个数或式是a，哪个
数或式是b，最后再代入公式计算。

参考答案：

（1）（x+2）(x-2x+4)=(x+2)(x-x·2+2)=x+2=x+8

（2）(3-y)(9+3y+y)=(3-y)(3+3·y+y)=3-y=27-y
22 2
222333
222333

（3）(3x-4y)(9x+12 xy+16y)=(3x-4y)[(3x)+3x·4y+(4y)]=(3x)-(4y)=27x-64y
23333


（5）（3x-2y）(9x+6xy+ 4y)=(3x-2y)[(3x)+3x·2y+(2y)]=(3x)-(2y)=27x-8y

说明：
.
22422422222222232366
.

1、注意对公式的理解和记忆（1）项数特征：两项乘三项→积为二项，（2）符号特征：
二项 的因式若两项都为，则三项的因式符号为+，-，+，积的符号与二项因式的符号相同，二
项的因式符号 若为，，则三项的因式符号为+，+，+，积的符号与二项因式的符号相同，
即是说公式在各种条件都相 符的情况下，所得的积是两数的立方和还是两数的立方差，主要
看乘积中第一个乘式是两数和，还是两数 差。

2、公式中的字母a、b仍代表任意数或代数式。

第二阶梯


[例1]利用乘法公式计算：

(1)（x+3）(x-3)(x+9) (2) (a+b)(a-b)(a-b)

(3) (x-2)(x+2)(x+4x+16) (4) (a-b)(a+ab+b)(a+ab+b)

提示：

（1）小题可两次使用平方差公式；

（2）小题先使用平方差公式，再使用完全平方公式；

（3）小题先使用平方差公式，再使用立方差公式

（4）小题两次使用立方差公式。

参考答案：

(1)(x+3)(x-3)(x+9)=(x-9)(x+9)=(x)-9=x-81

(2)(a+b)(a-b)(a-b)=(a-b)(a-b)=(a-b)=(a)-2ab+(b )=a-2ab+b

(3)(x-2)(x+2)(x+4x+16)=(x-4)( x+4x+16)=(x)-4=x-64

(4)(a-b)(a+ab+b)(a +ab+b)=(a-b)(a+ab+b)=(a)-(b)=a-b

说明： < br>226336336336333399
422422336
222222222222 2224224
2222224
42226336
222
.
.

遇到多项式的乘法问题，首先应看看是否符合某个乘法公式，若有恰当的公式使用可大
大简化运算过程。

[例2]运用乘法公式计算：

(1) (a+b+c)(a-b-c) (2) (a-2b+3c)(a+2b-3c)

(3) (x+2y+z) (4) (2x-3y-4z)

提示：

（1）（2）小题可利用平方差公式进行计算；（ 3）（4）小题可利用完全平方公式进行
22
计算。

参考答案：

(1)（a+b+c）(a-b-c)=[a+(b+c)][a-(b+c)]=a -(b+c)=a-(b+2bc+c)=a-b-2bc-c

(2)
22222222
(a-2b+3c)(a+2b-3c)=[a-(2b-3c)][a+ (2b-3c)]=a-(2b-3c)=a-(4b-12bc+9c)=a-4b-12bc-9c

(3)（x+2y+z）=[x+(2y+z)]=x+2x(2y+z)+(2y+z)=x+4xy +2xz+4y+4yz+z

(4)
2222222
22222222
(2x-3y-4z)=[2x-(3y+4z)]=(2x)-2·2x ·(3y+4z)+(13y+4z)=4x-4x(3y+4z)+(19y+24yz+16z
)= 4x-12xy-16xz+9y+24yz+16z

说明：
222
2222222

进行多项式乘法运算时，一定要认真仔细地对 题目进行观察研究，把不符合公式标准形
式的题目加以调整。适当地添加括号，将有利于应用乘法公式， 添加括号方式的不同，可一题多
解，如（4）小题还可添加括号为[（2x-3y）-4z]，但得出的 结果均相同。

[例3]利用乘法公式计算：

（1）（x+1）(x-1)(x+x+1)(x-x+1)
22
2
.
.

（2）(a+b)(a-b)(a+ab+b)(a-ab+b)

提示：

（1）小题前两个因式可利用平方差公式计算，后 两个因式也可利用平方差公式计算，也
2222
可以将第一个因式与第四个因式结合利用立方和 公式，第二个因式与第三个因式结合利用立方差
公式（2）小题类似。

参考答案：

（1）

解法一：

（x+1）(x-1)(x+x+1)(x-x+1)

= (x-1)[(x+1)-x]

= (x-1)(x+2x+1-x)

= (x-1)(x+x+1)

= (x-1)[(x)2+x-1+1]

= (x)-1= x-1

2336
2222
242
2422
2222
22

解法二：

（x+1）(x-1)(x+x+1)(x-x+1)

= [(x+1)(x-x+1)[(x-1)(x+x+1)]

=（x+1）(x-1)

= (x)-1

= x-1

（2）

解法一：
.
6
322
33
22
22
.

（a+b）(a-b)(a+ab+b)(a-ab+b)

= (a-b)[(a+b)-(ab)]

= (a-b)(a4+2ab+b-ab)

= (a-b)(a4+ab+b)

= (a)-(b)

= a-b
66
2323
22224
2222422
222222
2222

解法二：

（a+b）(a-b)(a+ab+b)(a-ab+b)

= [（a+b）(a-ab+b)][(a-b)(a+ab+b)]

= (a+b)(a-b)

= (a)-(b)

=a-b

说明：

进行整式乘法运算时，要注意 观察题目的特点，统观全局，恰当地选用所学的乘法公式
66
3232
33332222
2222
或用乘法法则进行计算，以上两道小题的解法中，显然解法二先运用立方 和，立方差公式，再运
用平方差公式，这样做既简便又不易出错。

第三阶梯


[例1]

（1）化简化求值：（x+2）(x-2x+4)+(x-1)(x+x+1)，其中

（2）解方程：（2x+1）-(x+1)(x-1)-3x(x-1)=0

提示：
.
2
22

.

用乘法公式进行化简

参考答案：

（1）

（x+2）(x-2x+4)+(x-1)(x+x+1)

= x+8+x-1

= 2x+7
3
33
22

当时，


（2）（2x+1）-(x+1)(x-1)-3x(x-1)=0

解：

（4x+4x+1）-(x-1)-3x+3x=0

4x+4+1-x+1-3x+3x=0

7x=-2
222
222
2



说明：


在化简求值和解方程的过程中，如果遇到多项式的乘法，应先观察能 否运用乘法公式，
如果能运用，很多乘法就可直接应用公式写出结果，这充分简化了计算过程。

[例2]已知a+b=3,ab=-8,求下列各式的值。

（1）a+b (2) a-ab+b (3) (a-b) (4) a+b

提示：

由完全平方公式（a+b）=a+2ab+b,可 知a+b=(a+b)-2ab,利用已知条件可求出a+b的
.
22222222
2222233
.
值，再分别代入（2），（3），（4 ），可求出（2），（3），（4）式的值。注意，第（4）小
题应逆用立方和公式。

参考答案：

(1) a+b=(a+b)-2ab=3-2×(-8)=9+16=25

(2) a-ab+b=a+b-ab=25-(-8)=25+8=33

(3) (a-b)=a-2ab+b=a+b-2ab=25-2×(-8)=25+16=41

(4) a+b=(a+b)(a-ab+b)=(a+b)(a+b-ab)=3×[25-(-8) ]=3×33=99

说明：

灵活运用公式变形和逆用公式，这些都是常用的解题技巧。

[例3]若两个连续自然数的平方差是17，求这两个自然数的和？

提示：

设一个自然数为x,另一个自然数为x+1，根据题意，列出方程，求出这两个自然数 ，进
332222
22222
2222
2222
而求出它们的和

参考答案：



解：设这两个连续自然数是x,x+1

根据题意得，

(x+1) -x =17

x+2x+1-x=17

2x+1=17

2x=16

x=8

∴x+1=8+1=9
22
22
.

∴x+(x+1)=8+9=17

答：这两个自然数的和是17。

说明：

解方程时还可逆用平方差公式(x+1)
2
-x
2
=（x+1+x）(x+1-x)=2x+1

四、检测题
A组

选择题

1．下列各式能用平方差公式进行计算的是（ ）

A.（a+2）(-a-2)

B.(-x-y)(y-x)

C.


D.(2x+y)(x-2y)

2．若16x
2
+mxy+81y
2
是一个完全平方式，则m的值为（ ）

A.36 B.72 C.-72
72

3．a
3
-27b
3
的一个因式是 （ ）

A.a
2
+3ab+9b
2

B.a
2
+3ab+9b
2

C.a
2
-3ab+b
2

D.a
2
-3ab+b
2

4．若x+y=9,xy=16，则 x
2
+y
2
=( )
.
.
± D.
.

A.81 B.17 C.49 D.1
45

填空题

1、（3x+2y）=( ) = 9x-4y
22

2、（-1+2a）(-1-2a) =( )

3、（0.3x+y）
2
=( )

4、x
2
+x+( )=


5、9x
2
-( )+49y
2
=(3x-7y)
2

6、(2a+3b)(4a
2
-6ab+9b
2
) =(

7、( )(m
4
-m
2
+1)=m
6
+1

8、a
2
+b
2
=(a+b)
2
- ( )

9、(a+b)
2
=(a-b)
2
+ ( )

10、(p
2
-q) ( )=p
6
-q
3

1、
计算：

(1)（x+2）(x-2)(x
2
+4)

(2)(x-y+1)(x+y-1)

(3)(a+b+c)
2

(4)(x+3)(x-3)(x
2
-3x+9)(x
2< br>+3x+9)

(5)

.
B组

)
.

(6)202
2
2、
化简求值：



3、解方程：4(x-3)-(2x+1)=(3x+1)(1-3x)+9x
222


答案：

A组答案：

选择题

1、B 2、D 3、A 4、C

填空题

1、3x-2y

2、1-4a
2


3、0.09x+0.6xy+y
22

4、



5、42xy
6、
8a+27b
7、
m+1
8、2ab
9、4ab
10、
p+pq+q

B组答案：
422
2
33
.
.

1、(1)x-16 (2)x-y+2y-1 (3) a+2ab+b+c+2ac+2bc
422222

(4)x
6
-729

2、-39

3、


4、

.
(6)40804