应变计算公式平方与立方数列求和公式

2010-10-25 16:51
求1^2+2^2+3^2+...+n^2的值
第一题：求1^2+2^2+3^2+...+n^2的值
方法一：利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n

2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

各等式全相加

n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+. ..+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)


n^3-1= 2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2 ]-n^2-(2+3+4+
...+n)

n^3-1=3*(1^2 +2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1

n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)2

3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)2=(n2)(2n^2+2n+n+ 1)
=(n2)(n+1)(2n+1)

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)6
方法二：另外一个很好玩的做法

想像一个有圆圈构成的正三角形，
第一行1个圈，圈内的数字为1
第二行2个圈，圈内的数字都为2，
以此类推
第n行n个圈，圈内的数字都为n，
我们要求的平方和，就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和。设这
个数为r
下面将这个三角形顺时针旋转60度，得到第二个三角形
再将第二个三角形顺时针旋转60度，得到第三个三角形
























然后，将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加，
我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1
而总共有几个圈呢，这是一个简单的等差数列求和
1+2+……+n=n(n+1)2
于是3r=[n(n+1)2]*(2n+1)
r=n(n+1)(2n+1)6
拓展：
1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2=( 2-1)^2+(4-1)^2+(6-1)^2+....+(2n-1)^2

=[2^2-2*1*2+1^2]+[4^2-2*1*4+1^2]+...+[(2n)^2-2 *1*2n+1^2]

=[2^2+4^2+...+(2n)^2]+n-2[2+4+...+2n]
=4*[1^2+2^2+..n^2]+n-2n(n+1)
=2n(n+1)(2n+1)3+n-2n(n+1)
=n(4n^2-1)3
第二题：证明1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+. ..+n)^2=[n(n+1)2]^2＝
（1+2+3+...+n）^2
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n ^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2
+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6* [n(n+1)(2n+1)6]+4*[(1+
n)n2]+n =[n(n+1)]^2
第三题： 1^4+2^4+3^4+4^4+……+n^4=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)30

证明：
(n+1)^5-n^5=5n^4+10n^3+10n^2+5n+1
n^5-(n-1)^5=5(n-1)^4+10(n-1)^3+10(n-1)^2+5(n-1)+1
……
2^5-1^5=5*1^4+10*1^3+10*1^2+5*1+1
全加起来

(n+1)^5-1^5=5*(1^4+2^4+3^4+4^4+……+n^4) +10*(1^3+2^3+3^3+4^3+……+n^3
)+10*
(1^2+2^2+3^2+4^4+……+n^2)+5*(1+2+3+4+……+n)+n
因为1^3+2^3+3^3+4^3+……+n^3=[n(n+1)2]^2
1^2+2^2+3^2+4^4+……+n^2=n(n+1)(2n+1)6
1+2+3+4+……+n=n(n+1)2
所以1^4+2^4+3^4+4^4+……+n^4
={[(n+1)^5-1^5]-1 0*[n(n+1)2]^2-10*n(n+1)(2n+1)6-5*n(n+1)2-n}5
=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)30
第四题：求五次方和公式：1^5+2^5+3^5+4^5+…+n^5=? 有没有六次、七次……
甚至N次方和的公式？ 万分感谢
求1^5+2^5+3^5+…+n^5。
首先写出和式的前6项
即1^5=1 2^5=32 3^5=243 4^5=1024 5^5=3125 6^5=7776
再求出相邻两数之差，得
31 211 781 2101 4651
再次求出相邻两数之差，得
180 570 1320 2550
再次求，一直求到只剩一个数为止
390 750 1230
360 480
120
最后，取每一组数的第一个数（包括原数组），得：1，31，180，390，360，120
则1^5+2^5+3^5+……+n^5=
1*C(1,n)+31*C(2,n)+18 0*C(3,n)+390*C(4,n)+360*C(5,n)+120*C(6,n)

对于某一个p，有一种通法可以求1^p+2^p+3^p+...+n^p。
首先写出这个和式的前(p+1)项，
即
1^p 2^p 3^p 4^p …… (p+1)^p
然后求出相邻两数之差，得到的差有p个
再求出差的相邻两数之差，得到的差有(p-1)个
一直求下去，求到只剩一个差为止。
最后，包括原数组1^p 2^p 3^p 4^p …… (p+1)^p，一共有(p+1)组数。
取每组数的第一个数a1、a2、a3、a4……a(p+1)（注：这(p+1)个数的顺序为为求得差时的顺序。）
则1^p+2^p+3^p+...+n^p
=a1*C(1,n )+a2*C(2,n)+a3*C(3,n)+…+a(p+1)*C(p+1,n)







1^3+2^3+3^3+...+n^3=?
解析;
1^3=1^2
1^3+2^3=9=3^2=(1+2)^2
1^3+2^3+3^3=36=6^2=(1+2+3)^2
1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2