物理必修公式球冠表面积计算公式

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计算方法
假定球冠最大开口部分圆的半径为 r ，对应球半径 R 有关系：
r = Rc



osθ，则有球冠积分表达：
球冠面积微分元 dS = 2πr*Rdθ = 2πR^2*cosθ dθ
积分下限为θ，上限π2
所以：S = 2πR*R(1 - sinθ)
其中：R(1 - sinθ)即为球冠的自身高度H
所以：S = 2πRH
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S=∫dS =∫2πr*Rdθ=∫ 2πR^2*cosθ dθ=2πR^2∫cosθ dθ=
2πR*R(1 - sinθ)

注
1》2πR^2中^2为2πR的平方
2》∫ 要有写上下标，分别为π2




























θ ，
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球冠的面积计算公式

推导过程如下：

假定球冠最大开口部分圆的半径为 r ，对应球半径 R 有关系：
Rcosθ，则有球冠积分表达：

球冠面积微分元 dS = 2πr*Rdθ = 2πR^2*cosθ dθ
积分下限为θ，上限π2
所以：S = 2πR*R(1 - sinθ)
其中：R(1 - sinθ)即为球冠的自身高度H
所以：S = 2πRH












球冠概念的分析
r =
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（1）球冠不是几何体，而是一种曲面 ，它是球面的一部分，是球面
被一个平面截成的，也可以看成由一段弧绕着经过它的一个端点的直
径旋转而成的曲面。球冠的任何部分都不能展开平面。
（2）球冠的底面是圆，而不是圆面，故球冠的面积不能包括底
面圆的面积。
（3）球面 被一个平面截成两个部分，它们都是球冠，其中一个
球冠的高小于球的半径，另一个球冠的高大于球的半 径。
（4）球冠面积公式S球冠＝2πRh对其高小于、等于或大于球
半径的球冠都适用 。球面积公式S球面＝4πr
2
可看成球冠面积公式
当h＝2R的特例。由于同一个球 的半径是一个常量，所以球冠面积
是它的高的一个正比例函数，即S球冠＝f(h)
＝2πRh（0＜h≤2R）。
（5）若用距离为h的两个平行平面去截同一个球面，夹 在这两
个平行平面间的部分叫做球带，h叫做球带的高。把球带面积看成其
高分别为h1，h2 （h1＞h2）的两个球冠面积之差，则有S球带＝2π
Rh1－2πRh2＝2πR(h1－h2)＝ 2πRh，其中为球的半径。
由此可知，S＝tπR
2
可以看成球的表面积、球冠的面积、球带的面
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积的统一计算公式。这里体现了特殊与一般可以互相转化的基本数学
思想。