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高中数学高考综合复习专题三十八导数及其应用
一、知识网络
二、高考考点
1、导数定义的认知与应用;
2、求导公式与运算法则的运用;
3、导数的几何意义;
4、导数在研究函数单调性上的应用;
5、导数在寻求函数的极值或最值的应用;
6、导数在解决实际问题中的应用。
三、知识要点
(一)导数
1、导数的概念
(1)导数的定义
(Ⅰ)设函数 在点 及其附近有定义,当自变量x在
处有增量△x(△x可正可负),则函数y相应地有增量
,这两个增量的比
数 在点 到 这间的平均变化率。如果
,叫做函
时,
在
,即
有极限,则说函数
点
在点 处可导,并把这个极限叫做
处的导数(或变化率),记作
。
(Ⅱ)如果函数
在开区间(
在开区间( )内每一点都可导,则说
)内每一个确定
)
)内可导,此时,对于开区间(
的值 ,都对应着一个确定的导数 ,这样在开区间(
在开区间(
或
内构成一个新的函数,我们把这个新函数叫做
内的导函数(简称导数),记作
。
认知:
(Ⅰ)函数
在点 处的导数
的导函数
(Ⅱ)求函数
①求函数的增量
当
的导数
)
, 即
是以x为自变量的函数,而函数
在点 处的导数 是
是一个数值;
时的函数值。
在点 处的导数的三部曲:
;
②求平均变化率
③求极限
;
上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。
(2)导数的几何意义:
函数 在点 处的导数 ,是曲线 在点
处的切线的斜率。
(3)函数的可导与连续的关系
函数的可导与连续既有联系又有区别:
(Ⅰ)若函数
若函数
在点 处可导,则
)内可导,则
在点 处连续;
在开区间( ) 在开区间(
内连续(可导一定连续)。
事实上,若函数
记
,则有 即 在点 处连续。
在点 处不一定可
在点
此
处可导,则有
时,
(Ⅱ)若函数 在点 处连续,但
导(连续不一定可导)。
反例:
事实上,
当
当
在点 处连续,但在点 处无导数。
,
,
在点 处不可导。
;
在点 处的增量
时,
时,
不存在,故 由此可知,
2、求导公式与求导运算法则
(1)基本函数的导数(求导公式)
公式1 常数的导数:
0。
公式2 幂函数的导数:
公式3 正弦函数的导数:
公式4 余弦函数的导数:
公式5 对数函数的导数:
(Ⅰ)
(Ⅱ)
;
。
。
(c为常数),即常数的导数等于
公式6 指数函数的导数:
(Ⅰ)
(Ⅱ)
;
。
(2)可导函数四则运算的求导法则
设 为可导函数,则有
;
;
。
法则1
法则2
法则3
3、复合函数的导数
(1)复合函数的求导法则
设
复合函数
的导数
即
引申:设
有
, 复合成以x为自变量的函数
对自变量x的导数
,则
,等于已知函数对中间变量
, ,乘以中间变量u对自变量x的导数
。
, 复合成函数 , 则
(2)认知
(Ⅰ)认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的 顺序,即从外
向内分析:首先由最外层的主体函数结构设出
间变量 的函数结构设出
,由第一层中
,由第二层中间变量
的函数结构设出 ,由此一层一层分析,一直到最里层的中间
为止。于是所给函数便“分解”变量 为自变量x的简单函数
为若干相互联系的简单函数的链条:
;
(Ⅱ)运用上述法则求复合函数导数的解题思路
①分解:分析所给函数的复合关系,适当选定中间 变量,将所给
函数“分解”为相互联系的若干简单函数;
②求导:明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后,运用上述
求导法则和基本公式求;
③还原:将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函
数,并作以适当化简或整理。
二、导数的应用
1、函数的单调性
(1)导数的符号与函数的单调性:
一般地,设函数
增函数;若
在某个区间内可导,则若
为减函数;若在某个区间内恒有
为
,
则在这一区间上为常函数。
(2)利用导数求函数单调性的步骤
(Ⅰ)确定函数
(Ⅱ)求导数
(Ⅲ)令
当 时,
的定义域;
;
,解出相应的x的范围
在相应区间上为增函数;当 时
在相应区间上为减函数。
(3)强调与认知
(Ⅰ)利用导数讨论函数的单调区间,首先要确定函数的定义域
D,并且解决问题的过程中 始终立足于定义域D。若由不等式
确定的x的取值集合为A,由
确定的x的取值范围为B,则
应用 ;
(或 )是函数 在这一
的
(Ⅱ)在某一区间内
区间上为增(或减)函数的充分(不必要)条件。因此方程
根不一定是增、 减区间的分界点,并且在对函数划分单调区间时,除
去确定 的根之外,还要注意在定义域内的不连续点和不可导
点,它们也可能是增、减区间的分界点。
举例:
(1)
当x=0时,
(2)
是R上的可导函数,也是R上的单调函数,但是
。
在点x=0处连续,点x=0处不可导,但 在(-∞,
0)内递减,在(0,+∞)内递增。
2、函数的极值
(1)函数的极值的定义
设函数
有
在点 附近有定义,如果对 附近的所有点,都
,则说
;
如果对 附近的所有点,都有
的一个极小值,记作
极大值与极小值统称极值
认知:由函数的极值定义可知:
(Ⅰ)函数的极值点 是区间
只有在区间内的连续点处取得;
内部的点,并且函数的极值
。
,则说 是函数
是函数 的一个极大值,记作
(Ⅱ)极值是一个局部性概念;一个函数在 其定义域内可以有多
个极大值和极小值,并且在某一点的极小值有可能大于另一点处的极
大值;
(Ⅲ)当函数
数 在
在区间 上连续且有有限个极值点时,函
内的极大值点,极小值点交替出现。
(2)函数的极值的判定
设函数
值的方法是
(Ⅰ)如果在点 附近的左侧
为极大值;
(Ⅱ)如果在点 附近的左侧
为极小值;
注意:导数为0的不一定是极值点,我们不难从函数
导数研究中悟出这一点。
(3)探求函数极值的步骤:
(Ⅰ)求导数
(Ⅱ)求方程
考察
;
的实根及 不存在的点;
不存在的点左右两侧的符
的
,右侧 ,则
,右侧 ,则
可导,且在点 处连续,判定 是极大(小)
在上述方程的根以及
号:若左正右负,则
在这一点取得极小值。
在这一点取得极大值,若左负右正,则
3、函数的最大值与最小值
(1)定理
若函数 在闭区间上连续,则
内连续的函数
在 上必有最大值和最
小值;在开区间
认知:
不一定有最大值与最小值。
(Ⅰ)函数的最值(最大值与最小值)是函数的整体性概念:最
大值是函数在整个定义区间 上所有函数值中的最大值;最小值是函数
在整个定义区间上所有函数值中的最小值。
(Ⅱ )函数的极大值与极小值是比较极值点附近的函数值得出的
(具有相对性),极值只能在区间内点取得; 函数的最大值与最小值
是比较整个定义区间上的函数值得出的(具有绝对性),最大(小)
值可 能是某个极大(小)值,也可能是区间端点处的函数值。
(Ⅲ)若 在开区间 内可导,且有唯一的极大(小)值,
则这一极大(小)值即为最大(小)值。
(2)探求步骤:
设函数 在 上连续,在 内可导,则探求函数 在
上的最大值与最小值的步骤如下:
( I )求
( II )求
( III )将
在 内的极值;
, ; 在定义区间端点处的函数值
的各极值与 , 比较,其中最大者为所
求最大值,最小者为所求最小值。
引申:若函数 在 上连续,则 的极值或最值也可能
在不可导的点处取得。对此,如果仅仅是求函数的最值,则可将上 述
步骤简化:
( I )求出
称为可疑点);
的导数为0的点及导数不存在的点(这两种点
( II )计算并比较 在上述可疑点处的函数值与区间端点处
的函数值,从中获得所求最大值与最小值。
(3)最值理论的应用
解决有关函数最值的实际问题,导数的理论是有力的工具,基本
解题思路为:
( I )认知、立式:分析、认知实际问题中各个变量之间的联
系,引入变量,建立适当的函数关系;
( II )探求最值:立足函数的定义域,探求函数的最值;
( III )检验 、作答:利用实际意义检查(2)的结果,并回答
所提出的问题,特殊地,如果所得函数在区间内只有一 个点 满足
,并且 在点 处有极大(小)值,而所给实际问题又
必有最大(小)值,那么上述极大(小)值便是最大(小)值。
四、经典例题
例1、设函数
(1)
(2)
(3)
(4)
在点 处可导,且
;
;
;
( 为常数)。
,试求
解:注意到
当
)
;
(2)
(1)
=A+A=2A
(3)令
∴
(4)
点评:注意
的本质,在这一定义中,
,则当 时 ,
自变量x在 处的增量
择哪一种形式,相应的
是求值成功的保障。
若自变量x在
的形式是多种多样的,但是,不论 选
也必须选择相应的形式,这种步调的一致
处的增量为 ,则相应的
,
于是有 ;
若令 ,则又有
例2、
(1)已知 ,求 ;
(2)已知 ,求
解:
(1)令 ,则 ,且当 时,
注意到这里
∴
(2)∵
∴
。
注意到
①
,
∴由已知得
∴由①、②得
例3、求下列函数的导数
(1)
;
(3)
(5)
解:
(1)
(2)
∴
(3)
∴
,
,
; (4)
; (6)
②
; (2)
;
(4)
∴
,
(5)
∴
,
(6)
∴当
∴当
∴
即 。
时,
时,
;
点评:为避免直接运用求导法则带来的不必要的繁杂运算,首先
对函数式进行化简或化整为 零,而后再实施求导运算,特别是积、商
的形式可以变为代数和的形式,或根式可转化为方幂的形式时, “先
变后求”的手法显然更为灵巧。
例4、在曲线C: 上,求斜率最小的切线所对
应的切点,并证明曲线C关于该点对称。
解:
(1)
∴当
又当
时, 取得最小值-13
时,
∴斜率最小的切线对应的切点为A(2,-12);
(2)证明:设
的对称点Q的坐标为
且有
∴将
∴点
∴
,
坐标为方程 的解
代入
为曲线C上任意一点,则点P关于点A
①
的解析式得
注意到P,Q的任意性,由此断定曲线C关于点A成中心对称。
例5、已知曲线
为可导函数,
求证:两曲线在公共点处相切。
证明:注意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的
切线重合,
设上述两曲线的公共点为
∴
∴
∴
,
,
, ,
,
,则有
,其中 ,且均
∴
于是,对于
对于
∴由①得
由②得
∴
有
,有
,
; ①
②
,即两曲线在公共点处的切线斜率相等,
∴两曲线在公共点处的切线重合
∴两曲线在公共点处相切。
例6、
(1)是否存在这样的k值,使函数 在
区间(1,2)上递减,在(2,+∞)上递增,若存在,求出这样的k
值;
(2)若 恰有三个单调区间,试确定 的取值范围,
并求出这三个单调区间。
解:
(1)
由题意,当
∴由函数
即
时
,当x∈(2,+∞) 时
,
,
的连续性可知
整理得
解得
验证:
(Ⅰ)当
∴若
(Ⅱ)当
显然不合题意。
时,
,则
或
;若 , 则
,
, 符合题意;
时,
于是综上可知,存在
上递增。
(2)
若 ,则
使 在(1,2)上递减,在(2,+∞)
,此时 只有一个增区间 ,
与题设矛盾;
若
设矛盾;
若 ,则
时,
时,
;
,则 ,此时 只有一个增区间 ,与题
并且当
当
∴综合可知,当
减区间
时, 恰有三个单调区间:
;增区间
,并由此获得k的可能 点评:对于(1),由已知条件得
取值, 进而再利用已知条件对所得k值逐一验证,这是开放性问题
中寻求待定系数之值的基本策略。
例7、已知函数 ,当且仅当
取得极值,并且极大值比极小值大4.
(1)求常数 的值;
(2)求 的极值。
解:
(1) ,
令 得方程
∵ 在 处取得极值
∴ 或 为上述方程的根,
故有
∴ ,即 ①
∴
又∵ 仅当 时取得极值,
∴方程 的根只有 或 ,
时,
∴方程
∴
而当
∴
时,
无实根,
即
恒成立,
的取值情况 的正负情况只取决于
与
0
极大值
—
当x变化时,
∴
。
由题意得
整理得
在
+
的变化情况如下表:
1
0
极小值
(1,+∞)
+
处取得极大值 ,在 处取得极小值
②
的关系,
于是将①,②联立,解得
(2)由(1)知,
点评:循着求函数极值的步骤,利用题设条件与
立足研究 的根的情况,乃是解决此类含参问题的一般方 法,
这一解法体现了方程思想和分类讨论的数学方法,突出了“导数
”与“
例8、
在 处取得极值”的必要关系。
(1)已知
-29,求 的值;
,函数
,求常数 的值。
的最大值为3,最小值为
(2)设
最小值为
解:
(1)这里
令
(Ⅰ)若
增;
当
又
的最大值为1,
,不然
与题设矛盾
,解得
,则当
或x=4(舍去)
时, , 在 内递
时,
连续,故当
,
时,
在 内递减
取得最大值
∴由已知得
而
∴此时
∴由
(Ⅱ)若
值,故有
又
∴当 时,
的最小值为
得
时 有最小 ,则运用类似的方法可得 当
;
有最大值,
∴由已知得
于是综合(Ⅰ)(Ⅱ)得所求
(2)
令
解得
当 在
-1
得
上变化时,
(-1,0)
+
0
0 —
与
,
或
的变化情况如下表:
0
极小值
+
1
极大值
∴当
值
时,
。
由上述表格中展示的
∴ 最大值在 与 之中, 的最小值在 和
的单调性知
取得极大值 ;当 时, 取得极小
之中,
考察差式
即
故
,
的最大值为
,
由此得
考察差式
∴
的最小值为
,即
。
,
由此得 ,解得
于是综合以上所述得到所求
五、高考真题
(一)选择题
1、设
,则
A、
D、
,
,
( )。
B、
, ,…, ,
C、
分析:由题意得
∴
∴
2、函数
,
,
,
具有周期性,且周期为4,
,应选C。
有极值的充要条件为( )
A、
分析:
∴当
当
因此
3、设
时,
B、
时,
时,令
且
得
C、 D、
;
有解,
才有极值,故应选C。
, 分别是定义在R上的奇导数和偶导数,当
,且 ,则不等式 的解集
是( )
A、(-3,0)∪(3,+∞) B、(-3,0)∪(0,3)
C、(-∞,-3)∪(3,+∞) D、(-∞,-3)∪(0,3)
分析:为便于描述,设
时, ,且
的解集为(-∞,-3)∪
,则 为奇导数,当
∴根据奇函数图象的对称性知,
(0,3),应选D。
二、填空题
1 过原点作曲线
线的斜率为 。
分析:设切点为M
∴由曲线过原点得
∴切点为 ,切线斜率为 。
的切线,则切点坐标为 ,切
,则以M为切点的切线方程为
,∴ ,
点评:设出目标(之一)迂回作战,则从切线过原点切入,解题
思路反而简明得多。
2 曲线 在点 处的切线与x轴,直线 所围成
的三角形面积为 ,则 = 。
分析:
在点
,
,
处的切线方程为 ∴曲线
即
切线与x轴交点
又直线 与切线交点纵坐标为
∴上述三角形面积
由此解得
3 曲线
(以弧度数作答)
即
与
,
在交点处的切线夹角是
分析:设两切线的夹角为 ,将两曲线方程联立,解得交点坐
标为
又
,
即两曲线在点 处的切线斜率分别为-2,3
∴
∴
,
,应填 。
(三)解答题
1 已知 ,讨论导数
求导, 即
的极值点的个数。
。
有两极值点。
没极值点。
解析:先将
当
当
时,
时,
有两根,于是
, 为增函数,
本题考查导数的应用以及二次方程根、“ ”等知识。
解答:
令
1、当
即 或 时,方程
,
,从而有下表:
+
↗
即此时
2、当
同的实根
于是
有两个极值点;
即
,
,故当 时, ;当 时,
时,方程 有两个相
0
为极大值
—
↘
0
为极小值
+
↗
,得
有两个不同的实根 、 ,
不防设
于是
,因此
3、当
而
故
∴当
极值点。
2 已知函数
。
(Ⅰ)求函数
(Ⅱ)求函数
解析:
(1)由
函数图象上和
(2)令
减区间。
即
无极值;
时,
,
,
为增函数。此时
时,
无极值;
有两个极值点;当 时, 无
的图象在点 处的切线方程为
的解析式;
的单调区间。
在切线上,求得
得两个关于
,求出极值点,
,再由 在
的方程。
求增区间, 求
此题考查了导数的几何意义以及利用导数求函数的单调区间。
解答
(Ⅰ)由函数
知:
,即 ,
的图象在点 处的切线方程为
∴
即
解得
解得
或 时,
时,
在
内是增函数。
内是减函数,在
所以所求函数解析式
(Ⅱ)
令
当
当
所以
3 已知
中
是函数 的一个极值点,其
(Ⅰ)求 与 的关系表达式;
(Ⅱ)求
(Ⅲ)当
的单调区间;
时,函数 的图象上任意一点的切线斜率
恒大于3m,求 的取值范围。
解析:(1)本小题主要考 查了导数的概念和计算,应用导数研究
函数单调性的基本方法以及函数与方程的思想,第2小题要根据
的符号,分类讨论 的单调区间;第3小题是二次三项式在一个
区间上恒成立的问题,用区间端 点处函数值的符号来表示二次三项式
在一个区间上的符号,体现出将一般性问题特殊化的数学思想。
解答:
(Ⅰ)
点
∴
∴
;
(Ⅱ
令
—
单调递减
因此,
递增区间是
的单调递减区间是
;
(Ⅲ)由(
Ⅱ)
和 ; 的单调
0
极小值
,得
与
+
单调递增
的变化如下表:
1
0
极大值
—
单调递减
)
, 是函数 的一个极值
即
令
即m的取值范围是
4
已知函数
(Ⅰ)求
(Ⅱ)设
,总存在
,
且
。
,
。
的单调区间和值域;
,函数
,使得
,若对于任意
成立,求 的取值范围。
解析:本题考查导数的综合运用,考查综合运用数学知识解决问
题能力,考 查思维及推理能力以及运算能力,本题入手点容易,
(Ⅰ)中对分式函数定区间内单调性与值域问题,往往以导数为
工具,
(Ⅱ)是三次函数问题,因而导数法也是首选,若
立,则二次函数值域必满足
解:
(Ⅰ)由
∵
则 ,
∴
,
得
(舍去)
变化情况表为:
或 。
成
关系,从而达到求解目的。
因而当
当
(Ⅱ)
因此
0
—
↘
0
+
↗
1
时
时,
为减函数;当
的值域为
;
时 为增函数;
,当
时
时
为减函数,从而当
,即当 时有
使得
时有
因此当
又
任给
则
, ,存在
由(1)得
又
或
,由(2)得
故 的取值范围为
5 已知 ,函数
。
取得最小值?证明你的结论; (1)当 为何值时,
(2)设 在 上是单调函数,求 的取值范围。
解析:本题考查导数的概念和计算,应用导数研究函数性质的方
法及推理和 运算能力,本题(Ⅰ)常规题型,方法求 ,解
在
即
的根,列表,确定单调性,并判断极值点,对(Ⅱ)由(Ⅰ)
上单调,而 ,因此只要
满足题设条件,从中解出 的范围。
解答:(Ⅰ)
令
从而
当 变化时,
+
0
,
则
,其中
的变化情况如下表
—
0
+
极大值 ↘ 极小值 ↗
↗
∴ 处取得极大值, 处取得极小值
为增函数当
在
时 , ,且
,当
在
时
为减函数,在
而当 时
∴当 时 取最小值;
(Ⅱ)当 时 在 上为单调函数的充要条件是
,解得
综上, 在 上为单调函数的充要条件为 ,
即 的取值范围为) 。
6.已知
1
,函数
上的最小值。
时,求使
成立的 成立的
(Ⅱ)求函数答案:
0,
在区间
的集合;
(Ⅰ)当
(Ⅰ){,
}
解答:(Ⅱ)
(Ⅰ)由题意, ,
当 时,解得
当
1
,解得
综上,所求解集为{(Ⅱm 0,1,1+
]上,
}
或
,
, ①
)设此最小值为
当
时
时,在区间[,2
因为 ),
则 是区间[1,2]上的增函数,所以
② 时,在区间[1,2],
由 知 ;
③ 当 时,在区间[1,2]上,
如果
在区间[
在区间(1,2
]上为增函数,由此得
)内,
从而
如果 则 。
;
函数; 当 时, ,从而 为区间[1, ]上的增
减函数当 时,2
]上的
因此,当 时,
,从而
或
为区间[
,
。
当 时, 故
综上所述当,所求函数的最小值 时 .
7、
)
设函数
值; (Ⅰ 求
,
的最小
(Ⅱ)设正数
已知函数为超越函数,
满足证明
解析:学知识解决问题的能力。本题考查数学归纳法及导数应用等知识,(Ⅰ) 。 考查综合运用数若求其最小值,
则采用导数法,求出 ,解 得 ,再判
断 (Ⅰ)函数最小值,对(Ⅱ)直接利用数学归纳法证明,但由渡是难点。 解答: 与 时f(x)的定义域为( 的符号,确定 0 ,1) 为极小值点, 到也是函数的 过
令
当 时,f′(x)<0, ∴f(x)在区间 是减函数;
当 时,f′(x)>0, ∴f(x)在区间 是增函数。
∴((Ⅱf
假定当
i)当()用数学归纳法证明x)在n=1时,由(Ⅰ)知命题成立; 时取得最小值且最小值为
(ii)n=k时命题成立,即若正数
满足 ,则
当n=k+1时,若正数 满足
令 ,
则 为正数,且
①
由归纳假定知
同理,由 ,可得
②
根据(
综合①、②两式
,
x)log2(1
≥(1-x)log2(1
-x).
即当≥ [x+(1≥-n=k+1-i)x)](、(ii)时命题也成立。-可知对一切正整数k)+xlog2x+ (1n
-
命题成立。
x)(
-x)
k)+(1
-
8 函数 在区间
,
内可导,导函数 是减函数,且
(k+1).
,设是曲线 在点处的
切线方程,并设函数
-
(Ⅰ)用 、 、
时
表示m;
(Ⅱ)证明:当
其中
解答:(Ⅲ)若关于a、
I )
x的不等式b的取值范围及a与b 在
的切线
上恒成立,
(
b
为实数,求
在点
所满足的关系。
处方
程为
即
因而 ;
递增
(Ⅱ)
时,
证明:令 ,则
;
因为
递减,所以,因此,当 时,
的最小
当 ,
值为所以0 是 唯一的极值点,且是极小值点,可知
因此(Ⅲ)0即 ;
成立。解法一: 是不等式成立的必要条件,以下设此条件
,即 对任意 成立的充要
条件是 ,
另一方面,由于 满足前述题设中关于 的条件,
利用(Ⅱ)的结果可知, 的充要条件是:过点 与曲
线 相切的直线的斜率不大于 ,
该切线的方程为: ,
于是 的充要条件是
综上,不等式件是 对任意 成立的充要条
①
② 显然,存在 使①式成立的充要条件是:不等式
关系。有解,解不等式②得因此,③式即为
与 所满足的 ③
条件成立。解法二: 是不等式成立的必要条件,以下讨论设此
(Ⅲ)
,即
的取值范围,①式即为实数
对任意成立的充要条
件是
令 对任意 成立的充
要条件是 。
,于是
成立的充要条件是
时,当
取最小值。因此
时,
得
;当 时, ,所以,当
,即
由
综上,不等式 对任意 成立的充要条件
是 ①
② 显然,存在a、b使①式成立的充要条件是:不等式
③关系。 及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的关系,力, 抽象思维能力, 因此,③式即为点评: 有本题考查导数概念的几何意义,解,
以及综合运用数学基本关系解决问题的能力。b解的取值范围,①式即为实数不等
式②函数极值、得 考查考生的学习能a与最值的判定以b所满足的对
(Ⅰ),曲线在点处切线斜率为 ,切线方
程为 ,
即 ,因而 ;对(Ⅱ)
即证明 在 时恒成立,构造函数
则
∴
∵ ∴
∴ ,则
由 递减 递增,则当 时 ,
当 时, ,
是 的极值点,且为极小值点,
以 极值
其中
为
,即
小
恒成立,
解过程比较详细。
则
因而
9.设点
所
;对(Ⅲ)有两种思考方法,是该题难点,其求
和抛物线
由以下方法得到: ,点
到 上点的最短
在抛物线
上,点 到 的距离是
距离,…,点
的距离是
在抛物线 上,点
到 到
上点的最短距离。
(Ⅰ)求 及 的方程;
(Ⅱ)证明解答: 是等差数列。
(Ⅰ)由题意得
设点 是 上任一点
则
令
则
由题意得:
即
又 在 上,∴
解得
故 方程为:
是 上任意一点。
(Ⅱ)设点
则
令
由题意得
即
又∵点 在
上
∴
∴
即
n=1
下面用数学归纳法证明:
①当时, ,等式成立。
②假设n=k时,等号成立,即
则当n=k+1时,由(*)知:
又
∴即当 n=k+1时,等式成立
由①②知,等式
上任一点
成立
∴点评: 是等差数列
(Ⅰ)设 为
∵ ,换句话说:在点 处 取得最小值。
令
∴此为关键
学归纳法证明。
10.
(Ⅱ)方法同(Ⅰ)推导出: 然后用数
已知函数
(Ⅰ)求函数 的反函数 及 的导数 ;
(Ⅱ)假设对任意 ,
解答:不等式 成立,求实数m的取值范围。
,
(Ⅰ)解:由
所以
,得
(Ⅱ)
解法1 由 ,得
① 即对于
② 设
当
, 、
恒有
时,
,于是不等式①化为
,
所以
,
都是增函数。
因此当 时, 的最大值为 的最小值为
而不等式②成立当且仅当 ,即 ,
于是得
解法2:由 ,得
,
设 ,
③ 于是原不等式对于 恒成立等价于
此不等式
,
注意到 ,故有 ,
,
,
,即
从而可知 与均在 上单调递增,
由
因③成
立当且仅当
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