魔方公式十字悬链线方程及曲线弧长

第二章 导线应力弧垂分析
第三节 悬点等高时导线弧垂、线长和应力关系
一、悬链线方程及曲线弧长
1.悬链线方程
为了分析方便，我们先从悬挂 点等高，即相邻杆塔导线悬挂点无高差的情况讨论导线的
应力及几何关系。实际上，导线悬在空中的曲线 形态，从数学角度用什么方程来描述是进行
导线力学分析的前题。由于假定视导线为柔索，则可按照理论 力学中的悬链线关系来进行分
析，即将导线架设在空中的几何形态视为悬链形态，而由此导出的方程式为 悬链线方程。
如图2－5所示，给出了悬挂于A、B两点间的一档导线，假定为悬挂点等高的孤立 档，
设以导线的最低点O点为原点建立直角坐标系。

图2-5 导线悬链线及坐标系
同时假定导线固定在导线所在的平面，可随导线一起摆动，显然这是一个平面 力系。根
据这个坐标进行导线的受力分析，可建立导线的悬链线方程。
我们先从局部受力 分析开始，再找出其一般规律。首先在导线上任取一点D（x,y），然
后分析OD段导线的受力关系， 由图2－5所示，此OD段导线受三个力而保持平衡，其中D
点承受拉力为T
x
=σ< br>x
S，它与导线曲线相切，与x轴夹角为α； O点承受拉力为T
0
=σ
0
S，T
0
为导线O点的切线方向，恰与x轴平行，故又称水平张力；此外还有OD 段导线自身的荷载
为G=gSL
x
， 其中L
x
为OD段导线的弧长。
将OD段导线的受力关系画为一个三角形表示，如图2－6所示，

图2-6 导线受力情况
由静力学平衡条件可知，在平面坐标系中，其水平分力，垂直分力的代数和分别等于 零。
或沿x轴或y轴上分力代数和分别等于零。
垂直方向分力G=T
x
sinα=gSL
x
;水平方向分为T
0
=T
x
cosα= σ
0
S。其中σ
0
、T
0
为导线最低点的
应力和张 力，σ
x
、T
x
为导线任一点的应力和张力，S、g为导线截面和比载。将上 述二式相比，
则可求得导线任意一点D的斜率为：
(2-10)
由微分学知识可知，曲线上任一点的导数即为切线的斜率。
式（2－10）是悬链曲线的微分方程 。我们要用坐标关系表示出导线受力的一般规律，
还需要将不定量L
x
消去，因此，将 式对x微分得：

222
（微分学中弧长微分公式为dS=(dx)+(dy)） 将上式移项整理后，两端进行积分

这是个隐函数，因此，再进行分离变量积分，查积分公式有：

再进行分离变量积分，有
（2－11）

于是，导线任一点D的纵坐标为：
（2－12）
式（2－12）是悬链方程的普 通形式，其中C
1
和C
2
为积分常数，其值可根据取坐标原
点的位置 及初始条件而定。如果将坐标原点于导线最低点处，则有下述初始条件：
x=0, dydx=tgα=0
代入式（2－11）则C
1
＝0，将x=0,y=0,C
1
＝ 0 代入式（2－12），
坐标原点最低点O处的悬链方程为：
，如此，求得
（2－13）
式中σ
0
—水平应力(即导线最低点应力)，MPa;
g—导线的比载，
2
。
当坐标原点选在其它点（例如选在悬挂 点处）时，悬链线方程的常数项将有所不同，可
以得到不同的公式。若式（2－13）中x代表档距的时 候，则y即为导线的弧垂，因此悬链
线方程描述了导线弧垂与应力、比载及档距之间的基本关系，此式称 为精确式。
实际上导线的悬链线方程还可以从另一种方式进行推导,下面介绍如下：
由式,对其求导得：

变换为,为找原函数进行积分,
由积分式两边积分，
则有：变为指数形式为
这是个隐函数，为解出，对应有式：

将两式相减则有：
因为双曲正弦函数为：
双曲余弦函数为：
又因为：

最后积分有：
定积分常数,因在坐标原点则，其结果是一样的，即
在线路设计中， 为了计算上的方便，一般不使用精确式方程，而是将其展开为泰勒级数
形式。将悬链线方程式（2－13 ）展开成无穷级数（在x=0点），可得：
（2－14）
2．曲线弧长（或弧长方程）
导线最低点O至任一点的曲线长度叫做弧长，用Lx表示。将式（2 －11）代入式（2－
10）中，且积分常数C
1
＝0，得导线的弧长方程为
（2－15）
根据式（2－15）可以计算一个档距内导线的曲线长度（也叫一档线长） 将弧长方程式
（2－15）展开成无穷级数可得：
（2－16）