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浅谈对弧长和坐标的曲线积分
【摘要】由于弧长的曲线积分和坐标的曲线积分的运 算公式不同,加上曲线
与坐标之间的联系,决定了曲线积分运算的复杂性与解法的灵活性。本文通过对< br>常用解法的介绍,加深对曲线积分的掌握和研究。
【关键词】弧长 坐标 曲线积分 格林公式 分区域
1.计算弧长的曲线积分(第一类曲线积分)。
定理:设在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为:
注意,定积分的下限α一定要小于上限β。
例1.计算,其中L是抛物线上点A(0,0)与点B(1,1)之间的一段弧。
解:L的方程为:
特别地:当曲线L时特殊的参数方程
例2.计算半径为R、中心角2α为的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量
I(设线密度)
解:转动惯量I=,为了便于计算,利用L的参数方程。
L的参数方程为:
则I==
(3)当曲线L为空间曲线弧时(参数方程)
,,
例3.计算曲线积分,其中为螺旋线、,上相应于t从0到2一段弧。
计算坐标的曲线积分(第二类曲线积分)
定理:设、在有向曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为
下限对应于的起点,上限对应于的终点,不一定小于。
例4.计算,其中L为
(1)抛物线上从到的一段弧;
(2)抛物线上从到的一段弧;
解:(1)化为对x的定积分L:,x从0变1到,所以
(2)化为对y的定积分,y从0变到1,所以
特别地,(1)当L方程为
例5.计算,其中L为
(1)L是半径为a、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周;
(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(-a,0)的直线段。
解:(1)L是参数方程当参数θ从0到π的曲线,因此
(2)L的方程为y=0,x从a变到-a,所以
例6.计算,是从点A(3,2,1)到点B(0,0,0)的直线段。
解:直线段AB的方程是化为参数方程为t从1变到0。所以
3.两类曲线积分之间的联系。
平面曲线L上的两类曲线积分之间的关系:
其中、为有向曲线弧在点处的切向量的方向角。
空间曲线上的两类曲线积分之间的关系:
其中、、为曲线在点处切向量的方向角。
例7.把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分,其中L为:沿抛物线从
点(0 ,0)到点(1,1)。
解:曲线上点处的切向量
例8.设为曲线上相应于t从0变到1的曲线弧,把对坐标的曲线积分化为
对弧长的曲线积分。
解:由得
4.利用格林公式求解曲线积分。
定理:
其中L是D的取正向的边界曲线,即为格林公式。
特别地,在格林公式中取,即得,,即可利用此式来计算曲面积分。
例9.计算,其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续的曲线,L
的方向为逆时针方向。
解:令,则当时,有
记L所围成的闭区域为D,当时,由格林公式得。
当时,选取适当小的,作位于D内的圆 域,记L和l所围成的闭区域为D1,
对复连通区域D1用格林公式得:
其中l的方向取逆时针方向,于是
5.利用斯托克斯公式求解曲线积分。
斯托克斯公式:
为了便于记忆,可将斯托克斯公式写成行列式
即
利用两类去面积分间的联系,可得斯托克斯公式的另一形式
其中为有向曲面∑在点处的单位法向量。
例10.线积分,其中闭曲线的方向从轴正向看去是逆时针的。
解:
=
其中,∑是平面被柱面截下部分,是∑的法量方向余弦,由于π为下侧,所以
(其中是∑在平面上的投影,即)
小结:(1)斯托克斯公式是计算空间曲线积分的重要方法之一;
(2)其中∑是以C为边界的光滑或分片光滑的有向曲面,C的方向与∑的符
合手法则。
参考文献
1 陈纪修、於崇华、金路.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2000
2 雷发社.高等数学重点难点100讲[M].陕西:陕西科学技术出版社,2003
3 毛纲源.高等数学解题方法技巧归纳上册[M].华中科技大学出版
社,2001
4 同济大学数学系.高等数学.上册[M].北京高等教育出版社,2007
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