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怎样制作无盖的长方体纸盒使其体积最大
在边长为a的正方形纸板的四个角上剪去边长为b（b
我通过仔细思考、潜心研究、认 真验算，得出以下结论：只有当a=6b时，
其纸盒体积最大，且为227×a3或16b3。
a
b
b
b
b
这个结论是怎么得来的呢？
如右图所示，我们不妨设这个正方形纸板的
边长为a，剪 去四个角上的小正方形边长为b，
根据长方体的体积公式，我们知道：所剩部分折
成无盖长方体 纸盒的体积为v=(a-2b)2b.
下面我们就采用由特殊到一般，尽量找到体积最大时，此时的大 正方形的边
长a与小正方形的边长b之间的关系，在多次假设条件下进而找出规律，得出结
论。
方案一：假设这个正方形纸板的边长为10，因为b
b=2 v=(10-2×2)2×2=72 *
b=3 v=(10-2×3)2×3=48
b=4 v=(10-2×4)2×4=16
从上面四组数据来看b=2时，v=72体积最大。也就是说b的值取2上下时， 还
有可能比v=72体积大的值。
当 b=1.6 v=(10-2×1.6)2×1.6≈73.984
b=1.7 v=(10-2×1.7)2×1.7≈74.052 *
b=1.8 v=(10-2×1.8)2×1.8≈73.928
b=1.9 v=(10-2×1.9)2×1.9≈73.036
从上面四组数据来看b=1.7时，v≈74. 052体积最大。也就是说b的值取1.
7上下时，还有可能比v=74.052体积大的值。
当 b=1.69 v=(10-2×1.69)2×1.69≈74.0632
b=1.68 v=(10-2×1.68)2×1.68≈74.070528
b=1.67 v=(10-2×1.67)2×1.67≈74.073852 *
b=1.66 v=(10-2×1.66)2×1.66≈74.073184
从上面四组数据来看b=1.67时，v≈74.073852体积最大。
也就是说b的值取1.67上下时，还有可能比v=74.073852体积大的值。
当 b=1.669 v=(10-2×1.669)2×1.669≈74.07396524
b=1.668 v=(10-2×1.668)2×1.668≈74.07403853
b=1.667 v=(10-2×1.667)2×1.667≈74.07407185 *
b=1.666 v=(10-2×1.666)2×1.666≈74.07406518
从上面四组数据来看b=1.667时，v≈74.07406518体积最大。
也就是说b的值取1.667上下时，还有可能比v=74.07406518体积大的值。
当b=1.6669 v=(10-2×1.6669)2×1.6669≈74.07407299
b=1.6668 v=(10-2×1.6668)2×1.6668≈74.07407372
b=1.6667 v=(10-2×1.6667)2×1.6667≈74.07407405 *
b=1.6666 v=(10-2×1.6666)2×1.6666≈74.07407399
上面这四组数字中b=1.6667时，v=74.07407405最大。
依此类推，我们不难发现b=1.66666666666……时体积的值才是最大的。
而1 .66666666666……这个循环小数化成分数值是53，也就是说b=53时，
体积最大。那么 b和a之间关系：a=6b 。
方案二：再假设这个正方形纸板边长a=15，因为b
b=2.5 v=(15-2×2.5)2×2.5=250 *
b=3 v=(15-2×3)2×3=243
b=4 v=(15-2×4)2×4=196
从上面数据可以看出当b=2.5时v=250 体积最大，
也有可能b取值在2.5山下时还有比v=250更大的体积。
当b=2.49 v=249.996996
b=2.5 v=250 *
b=2.51 v=249.997004
b=2.52 v=249.988032
从上面看出只有b=2.5时， 其体积最大。那么a和b之间的关系是：ab=15
2.5=6即a=6b。
方案三： 我们不妨再假设a=20，因为b
b=3 v=588 *
b=4 v=576
从上面数据看b=3 ，v=588 体积最大
也就是说b取值在3上下时，还有可能比v=588的体积更大。
当 b=3.2 v=591.872
b=3.3 v=592.546 *
b=3.4 v=592.416
从上面数据看b=3.3时，v=592.546体积最大。
也就是说b取值在3.3上下时，还有可能比v=592.546的体积最大。
当 b=3.32 v=592.5847
b=3.33 v=592.5921 *
b=3.34 v=592.4648
从上面数据看b=3.33时，v=592.5921体积最大。
依此类推，不难发现b=3.3333333333……时体积值才是最大的。
而3.333 3333……这个循环小数化成分数值为103，也就是说b=103时，这
时体积最大，此时，a与b 之间的关系是:a=6b 。
从上述正方形纸板的边长a取值为10，15，20的三个方案假 设中都能得
出a=6b时，体积v=(a-2b)2b最大。
同样方法，依次类推，我们知道不论a取何值时，都能得出当a=6b时体积最
大的上述结论。
所以在边长为a的正方形纸板的四个角上剪去边长b(b
×a6)2=227 ×a3或V=(a-2b)2b=(6b-2b)2b=16b3。
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本文更新与2020-09-11 07:25，由作者提供，不代表本网站立场，转载请注明出处：https://www.bjmy2z.cn/gaokao/391890.html