r方公式小学数学概念及公式大全

小学数学概念及公式大全
第一章 数和数的运算

一 概念
（一）整数
1 、整数的意义
自然数和0都是整数。
2 、自然数
我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，
3……叫做自然数。
一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。
3、计数单位
一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、
亿……都是计数单位。
每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的
计数法叫做十进制计数法。
4 、数位
计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位
置叫做数位。
5、数的整除
整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没
有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除
a 。
如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的
倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和
约数是相互依存的。
因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35
的约数。
6、一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约
数是1，最大的 约数是它本身。例如：10 的约数
有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约
数是10。
7、一个 数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍
数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中
最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。
8、个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。。
9、个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、
30、405都能被5整除。。 10、一个数的各位上的数的和能被3整除，这个
数就能被3整除，例如：12、108、204都 能被3
整除。
11、一个数各位数上的和能被9整除，这个数就
能被9整除。
能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9
整除的数一定能被3整除。
12、 一个数的末两位数能被4（或25）整除，这
个数就能被4（或25）整除。例如：16、404、12 56
都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整
除。
13、一 个数的末三位数能被8（或125）整除，这
个数就能被8（或125）整除。例如：1168、460 0、
5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000
都能被125整除 。
14、能被2整除的数叫做偶数。
不能被2整除的数叫做奇数。
0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分
为奇数和偶数。
15、一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样

的数叫做质数（或素数）。100以内的质数有：
尾数

个数（25
个）
0个
5个
1个
做这几个数的公因数 。其中最大的一个，叫做这几
个数的最大因约数，例如12的约数有1、2、3、4、
6、12 ；18的约数有1、2、3、6、9、18。其中，1、
2、3、6是12和1 8的公约数，6是它们的最大公
因数。
4 48 56
4 12 16
3 4
48和56的最大公因数是4×4=16
48和56的最小公倍数数是4×4×3×4=192
20、公因数只有1的两个数，叫做互质数，成互质
关系的两个数，有下列几种情况：
1和任何自然数互质。
相邻的两个自然数互质。
两个不同的质数互质。
当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数
互质。
两个合数的公约数只有1时 ，这两个合数互质，
如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两
两互质。
如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两
个数的最大公约数。
0尾
1尾
2尾
3尾
4尾
5尾
6尾
7尾
8尾
9尾


11、31、41、61、71、
2
3、13、23、43、53、73、83、 7个

0个
1个
0个
6个
0个
5个
5、

7、17、37、47、67、97

19、29、59、79、89、
16、一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，
这样的数叫做合数，例如 4、6、8、9、12都是合
数。
0和1不是质数也不是合数，自然数除了0和1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数
的不同分类，可分为质数、合数和0和1。 < br>17、每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其
如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是 1。
中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的
质因数，例如15=3×5，3和5 叫做15的质因数。
21、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，
其中最小的一个， 叫做这几个数的最小公倍数，如
18、把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫
2的倍数有 2、4、6 、8、10、12、14、16、18 ……
做分解质因数。
例如把28分解质因数 ：2 28
2 14
7
28=2×2×7
19、几个数公有的因数，叫
3的倍数有3、6、9、12、15、18 …… 其中6、
12、18……是2、3的公倍数，6是它们的最小公
倍数。。
如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两
个数的最小公倍数。
如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们

的最小公倍数。
几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍
数的个数是无限的。
4 48 56
4 12 16
3 4
48和56的最大公因数是4×4=16
（2）有限小数：小数部分的数位是有限的小数，
叫做有限小数。 例如： 41.7 、 25.3 、 0.23 都
是有限小数。
无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无
限小数。 例如： 4.33 …… 3.1415926 ……
无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无
规律且位数无 限，这样的小数叫做无限不循环小数。
例如：∏
循环小数：一个数的小数部分，有一个数 字或者几
48和56的最小公倍数数是4×4×3×4=192
22、最小的质数是2，最小 的合数是4，最小的奇
数是1，最小的偶数是0，0和1不是质数也不是
合数。最小的一位数是 0，最小的2位数是10，最
小的3位数是100。
最大的一位数是9，最大的2位数是99，最大的3
位数是999。
（二）小数
1 、小数的意义
把整数1平均分成10份、100份、1000份…… 得
到的十分之几、百分之几、千分之几…… 可以用
小数表示。
一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，
三位小数表示千分之几……
个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。
例如： 3.555 …… 0.0333 …… 12.109109 ……
一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数
字叫做这个循环小数的循环节。 例如： 3.99 ……
的循环节是“ 9 ” ， 0.5454 ……的循环节是
“ 54 ” 。
纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫
做纯循环小数。 例如： 3.111 …… 0.5656 ……
混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，
叫做混循环小数。 3.1222 …… 0.03333 ……
写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数
字上各点一个圆点。如果循环 节只有 一个数字，
就只在它的上面点一个点。例如： 3.777 …… 简
写作 0.5302302 …… 简写作 。
一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。
（三）分数
数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整
1、 分数的意义
数部分，小数点右边的数叫做小数部分。
在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是< br>10。小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数
部分的最低单位“一”之间的进率也是10。
2、小数的分类
（1）纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。
例如： 0.25 、 0.368 都是纯小数。
带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。 例
如： 3.25 、 5.26 都是带小数。
2、 分数的分类
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或
者几份的数叫做分数。
在分数里 ，中间的横线叫做分数线；分数线下面的
数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；
分 数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。
把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的
数，叫做分数单位。

真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数
小于1。
假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，
叫做假分数。假分数大于或等于1。
带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，
通常叫做带分数。
3、 约分和通分
把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小
的分数 ，叫做约分。
分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母
分数，叫做通分。
（四）百分数
1、 表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做
百分数,也叫做百分率 或百分比。百分数通常用
来表示。百分号是表示百分数的符号。 百分号
后面绝对不能加单位。
二、 方法
198 6503 0532
亿 万 个
3. 小数的读法：读小数的时候，整数部
分按照整数的读法读，小数点读作“点”，小数部< br>分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。
4. 小数的写法：写小数的时候，整数部
分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，
小数部分顺次写出每一个数位上的数字。
5. 分数的读法：读分数时，先读分母再读“分之”
然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读。
6. 分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写
分子，按照整数的写法来写。
7. 百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再
读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。
8. 百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，
而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。
（二）计量单位
整数：135的计量单位是1；
（一）数的读法和写法
小数：1.35的计量单位是0.01,
1. 整数的读法：从高位到低位，一级一级地 读。
读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后
面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾 的0都不
读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零。
10.3009的计量单位0.0001;
分数：
17
的计量单位是
17
，
15
5
19
31
例如：198 6503 0532
亿 万 个
读作：一百九十八亿六千五百零三万零五百三十二

2. 整数的写 法：从高位到低位，一级一级地写，
哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写
0。
例如：一百九十八亿六千五百零三万零五百三十二
1
的计量单位是
19
。
（二）数的改写
一个较大的多 位数，为了读写方便，常常把它改写
成用“万”或“亿”作单位的数。有时还可以根据
需要，省 略这个数某一位后面的数，写成近似数。
1. 准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可
以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改
写后的数是原数的准确数。 例如把 1254300000
改写成以万做单位的数是 125430 万；改写成 以

亿做单位 的数 12.543 亿。
2. 近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较
大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来
表示。 例如： 1302490015 省略亿后面的尾数是
13 亿。
3. 四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是
4 或者比4小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位
上的数是5或者比5大，就把尾数舍去，并向它的
前一位进1。例如：省略 345900 万后面的尾数约
是 35 万。省略 4725097420 亿后面的尾数约是
47 亿。
4. 大小比较
1. 比较整数大小：比较整数的大小，位数多的那
个数就大，如 果位数相同，就看最高位，最高位
上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就
看下一位，哪 一位上的数大那个数就大。
2. 比较小数的大小：先看它们的整数部分，，整
数部分大的 那个数就大；整数部分相同的，十分
位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同
的，百分位 上的数大的那个数就大……
3. 比较分数的大小:分母相同的分数，分子大的
分数比较大 ；分子相同的数，分母小的分数大。
分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较
两个数的大 小。
（三）数的互化
1. 小数化成分数：看小数点后面有几位小数，就
在1 的后面添几个零作分母，把原来的小数去掉小
数点作分子，能约分的要约分。
2. 分数化成小数：用分子除以分母。除不尽时，
一般保留2位小数。
同时在后面添上百分号。
5. 百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把
百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。
6. 分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除
不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化 成百分
数。
7. 百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能
约分的要约成最简分数。
（四）数的整除
1. 把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用
能整除这个合数的质数去除，一直除到商是 质数为
止，再把除数和商写成连乘的形式。
例如把28分解质因数 ：2 28
2 14
7
28=2×2×7

2. 求几个数的最大公因数的 方法是：先用这几个
数的公约数连续去除，一直除到所得的商只有公约
数1为止，然后把所有的 除数连乘求积，这个积就
是这几个数的的最大公约数 。
4 48 56
4 12 16
3 4
48和56的最大公因数是4×4=16
48和56的最小公倍数数是4×4×3×4=192

3. 一个最简分数，如 果分母中除了2和5以外，
不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；
3. 求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个
如果分母中含有2和5 以外的质因数，这个分数
数（或其中的部分数）的公约数去除，一直除到互
就不能化成有限小数。
质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连
4. 小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，
乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。

4. 成为互质关系的两个数：1和任何自然数互质 ；
分
相邻的两个自然数互质； 当合数不是质数的倍数
时，这个合数和这个质数互质； 两个合数的公约
数只有1时，这两个合数互质。
（五） 约分和通分
比
数
除
法
分子
分数线
—
分母（不能为
0）
除数（不能为
0）
分数值
被除数 除号÷ 商
前项 比号：
后项（不能为
0）
比值（可以
用整数、分
数、小数表
示，但绝对
不能加单
位）
约分的方法：用分子和分母的公约数（1除外）去
除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止 。
通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公
倍数，然后把各分数化成用这个最小公 倍数作分母
的分数。
三 性质和规律
（一）商不变的规律
商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大
或者同时缩小相同的倍，商不变。
（二）小数的性质
小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数
的大小不变。
（三）小数点位置的移动引起小数大小的变化

四 运算的意义
（一）整数四则运算
1、整数加法：把两个数合并成一个数的运算叫做
加法。
- 在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。
加数是部分数，和是总数。
- 加数+加数=和
和－一个加数=另一个加数
1. 小数点向右移动一位，原 来的数就扩大10倍；
小数点向右移动两位，原来的数就扩大100倍；小
2、整数减法：已知 两个加数的和与其中的一个加
数点向右移动三位，原来的数就扩大1000倍……
数，求另一个加数的运算叫做减法。
2. 小数点向左移动一位，原来的数就缩小10倍；
- 在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫小数点向左移动两位，原来的数就缩小100倍；小
做减数，未知的加数叫做差。被减数是总数，减 数
数点向左移动三位，原来的数就缩小1000倍……
和差分别是部分数。
3. 小数点向左移或者向右移位数不够时，要用
“0

（四）分数的基本性质
分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除
以相同的数（零除外），分数的大小不变。
（五）分数、除法和比的关系
- 加法和减法互为逆运算。
3、整数乘法：求几个相同加数的和的简便运算叫
做乘法。
- 在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做
因数。相同加数的和叫做积。
- 在乘法里，0和任何数相乘都得0. 1和任何数
相乘都的任何数。
- 一个因数× 一个因数 =积 一个因数=积÷另一
个因数

4、 整数除法：已知两个因数的积与其中一个因数，
求另一个因数的运算叫做除法。
- 在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因
数叫做除数，所求的因数叫做商。
- 乘法和除法互为逆运算。
- 在除法里，0不能做除数。因为0和任何数相乘
都得0，所以 任何一个数除以0，均得不到一个确
定的商。
- 被除数÷除数=商 除数=被除数÷商 被除数=商
×除数
（二）小数四则运算
1. 小数加法：小数加法的意义与整数加法的意义
相同。是把两个数合并成一个数的运算。
2. 小数减法：小数减法的意义与整数减法的意义
相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另
一个加数的运算.
3. 小数乘法：小数乘整数的意义和整数乘法的意
义相同，就是求几个 相同加数和的简便运算；一个
数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之
几、千分之几… …是多少。
4. 小数除法：小数除法的意义与整数除法的意义
相同，就是已知两个因数的 积与其中一个因数，求
另一个因数的运算。
5. 乘方 求几个相同因数的积的运算叫做乘方。例
如 3 × 3 =32
（三）分数四则运算
1. 分数加法：分数加法的意义与整数加法的意义
相同。 是把两个数合并成一个数的运算。
2. 分数减法：分数减法的意义与整数减法的意义
相同。已知两个加数的和与其中的一个加数 ，求另
一个加数的运算。
3. 分数乘法：分数乘法的意义与整数乘法的意义
相同，就是求几个相同加数和的简便运算。
4. 乘积是1的两个数叫做互为倒数。
5. 分数除法：分数除法的意义与整数除法的意 义
相同。就是已知两个因数的积与其中一个因数，求
另一个因数的运算。
（四）运算定律
1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，
它们的和不变，这叫做加法交换律
表示为：
a+b=b+a
甲数+乙数=乙数+甲数
○+※=※+○
15+4=4+15
2. 加法结合律：三个数相加，先把前两
个数相加，再加上第 三个数；或者先把后两个数相
加，再和第一个数相加它们的和不变，这叫做加法
结合律
表示为：
（a+b)+c=a+(b+c)
（甲数+乙数）+丙数=甲数+（乙数+丙数）
（○+※）+◎=○+（※+◎）
（15+4）+6=15+（4+6）
在加法中：
0和0是好朋友，因为0+0=0
1和9是好朋友，因为1+9=10
2和8是好朋友，因为2+8=10
3和7是好朋友，因为3+7=10
4和6是好朋友，因为4+6=10
5和5是好朋友，因为5+5=10
3. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置它
们的积不变，这叫做乘法交换律

表示为：
a×b=b×a。
甲数×乙数=乙数×甲数
5×16=80 6×15=90 6×25=150
5×18=90 8×15=120 8×25=200
5×24=120 12×15=180 12×25=250
○ × ※ = ※ × ○
15×4=4×15
4. 乘 法结合律：三个数相乘，先把前两个
数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，
再和第 一个数相乘，它们的积不变，这叫做乘法结
合律
表示为： （a×b)×c=a×(b×c) 。
（甲数×乙数）×丙数=甲数×（乙数×
丙数）
（○×※）×◎=○×（※×◎）
（15×4）×6=15×（4×6）
在乘法中：
4和25是好朋友，因为4×25=100
4和250是好朋友，因为4×250=1000
4和0.25是好朋友，因为4×0.25=1
4和2.5是好朋友，因为4×2.5=10
40和2.5是好朋友，因为40×2.5=100
40和25是好朋友，因为40×25=1000
8和125是好朋友，因为8×125=1000
8和12.5是好朋友，因为8×12.5=100
8和1.25是好朋友，因为8×1.25=10
8和0.125是好朋友，因为8×0.125=1
一定要记住：
5×12=60 2×15=30 2×25=50
5×14=70 4×15=60 4×25=100
5. 乘法结合律：（1）两个数的和与一个数相乘，
可以把两个加数分别 与这个数相乘再把两个积相
加，这叫做乘法律分配律。
（2）两个数的差与一个数相乘，可以 把两个数分
别与这个数相乘再把两个积相减，这也叫做乘法律
分配律。
表示为：(a+b) ×c=a×b+a×c
(25+6) ×4 =25×4+6×4 =100+24 =124
(a-b) ×c=a×b-a×c
(25-6) ×4 =25×4-6×4 =100-24 =76
a×b+a×c=c×(a+b)
25×4+5×4= 4×(25+5) =4
×30=120
a×b-a×c=c×(a-b)
25×4-5×4 =4×(25-5)=4
×20=80
（3）隐“1”法计算乘法分配律的要点
9=9×1 15=15×1 24=24×1
38=38×1
58=80×1 90=90×1 165=165×1
256=256×1
例如：
25×9+25=25×（9+1）=25×10=250

125×9-125=125×
=125×8=1000
一定要记住：
（9-1）
a÷b×c=a÷(b÷c)
200÷25÷4=200÷(25×4)
=200÷100=2
101=100+1 99=100-1
102=100+2 98=100-2
103=100+7 97=100-3
201=200+1 199=200-1
202=200+2 198=200-2
203=200+7 197=200-3
6. 减法的性质：（1）从一个数里连续减去几个数，
可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，这叫做减法的性质。
表示为：
a-b-c=a-(b+c)
a÷b×c=a÷(b÷c)
8、特殊情况
一个数+0=这个数
一个数—0=这个数
一个数×0=0
一个数÷0没有意义，因为0不能作除数
0÷一个非0的数=0
一个数—这个数=0
一个非0的数÷这个数=1
一个数÷1=这个数
一个数×1=这个数
1÷一个数（不能为0）=
这个数

（五）运算法则
1
a-b+c=a-(b-c)
251-28-72=251-（28+72）
=251-100=151
251-128+28=251-（128-28）
=251-100=151
7、 除法的性质：从一个数里连续除去几个
数，可以从这个数里除去所有除数的积，商不变，
这叫做 除法的性质。
表示为：
a÷b÷c=a÷(b×c)

1. 整数加法计算法则：相同数位对齐，从低位加
起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。
2. 整数减法计算法则：相同数位对齐，从低位加
起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位 退一作
十，和本位上的数合并在一起，再减。
3. 整数乘法计算法则：先用一个因数每一 位上的
数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪
一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对 齐哪一位，
然后把各次乘得的数加起来。
4. 整数除法计算法则：先从被除数的高位除起，
除数是几位数，就看被除数的前几位； 如果不够
除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在

哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”
占位。每次除得的余数要小于除数。
5. 小数乘法法则：先按照整数乘法的计算法则算
出积，再看因数中共有几位小数，就从积的 右边起
数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”
补足。
6. 除数是整 数的小数除法计算法则：先按照整数
除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点
对齐；如 果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数
后面添“0”，再继续除。
7. 除数是小数的除 法计算法则：先移动除数的小
数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几
位（位数不够的 补“0”），然后按照除数是整数的
除法法则进行计算。
8. 同分母分数加减法计算方法:同分母分数相加
减，只把分子相加减，分母不变。
9. 异分母分数加减法计算方法:先通分，然后按
照同分母分数加减法的的法则进行计算。
10. 带分数加减法的计算方法:整数部分和分数
部分分别相加减，再把所得的数合并起来。
11. 分数乘法的计算法则:分数乘整数，用分数的
分子和整数相乘的积作分子，分母不变；
分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相
乘的积作分母。
12. 分数除法的计算法则:甲数除以乙数（0
除外），等于甲数乘乙数的倒数。
（六） 运算顺序
5、 没有括号的混合运算:同级运算从左往右依次
运算；两级运算 先算乘、除法，后算加减法。
6、有括号的混合运算:先算小括号里面的数，再算
中括号里面的数，最后算括号外面的数。

五 应用 题
（一）整数和小数的应用
1 简单应用题
（1） 简单应用题：只含有一种基本数量关系，或
用一步运算解答的应用题，通常叫做简单应用题。
（2） 解题步骤：
a、 审题理解题意：了解应用题的内容，知道应用
题的条件 和问题。读题时，不丢字不添字边读边思
考，弄明白题中每句话的意思。也可以复述条件和
问题 ，帮助理解题意。
b、选择算法和列式计算：这是解答应用题的中心
工作。从题目中告诉什 么，要求什么着手，逐步根
据所给的条件和问题，联系四则运算的含义，分析
数量关系，确定算 法，进行解答并标明正确的单位
名称。
C、检验：就是根据应用题的条件和问题进行检查< br>看所列算式和计算过程是否正确，是否符合题意。
如果发现错误，马上改正。
d、答案：根据计算的结果，先口答，逐步过渡到
笔答。
( 3 ) 解答加法应用题：
1. 第一级运算：加法和减法叫做第一级运算。
a求总数的应用题：已知甲数是多少，乙数是多少，
求甲乙两数的和是多少。
2. 第二级运算：乘法和除法叫做第二级运算。
3、小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序
相同。
4、 分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序
相同。
b求比一个数多几的数应用题：已知甲数是多少和
乙数比甲数多多少，求乙数是多少。
(4 ) 解答减法应用题：
a求剩余的应用题：从已知数中去掉一部分，求剩
下的部分。

-b求两 个数相差的多少的应用题：已知甲乙两数
各是多少，求甲数比乙数多多少，或乙数比甲数少
多少 。
c求比一个数少几的数的应用题：已知甲数是多
少，，乙数比甲数少多少，求乙数是多少。
(5 ) 解答乘法应用题：
a求相同加数和的应用题：已知相同的加数和相同
加数的个数，求总数。
- 同时相向而行：相遇时间=速度和×时间
- 同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追
及时间=路程速度差。
- 同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：
路程=速度差×时间。

3、价格问题
单价×数量＝总价
b求一个数的几倍是多少的应用题：已知一个数 是
多少，另一个数是它的几倍，求另一个数是多少。
总价÷单价＝数量
( 6) 解答除法应用题：
a把一个数平均分成几份，求每一份是多少的应用
题：已知一个数 和把这个数平均分成几份的，求每
一份是多少。
b求一个数里包含几个另一个数的应用题：已知一
个数和每份是多少，求可以分成几份。
C 求一个数是另一个数的的几倍的应用题：已知甲
数乙数各是多少，求较大数是较小数的几倍。
d已知一个数的几倍是多少，求这个数的应用题。
路程÷（甲速+乙速）＝相遇时间
（7）常见的数量关系：
路程÷相遇时间—甲速＝乙速
1 、平均数问题
路程÷相遇时间—乙速＝甲速
平均数数×份数＝总量
6、追及问题
总量÷平均数＝份数
路程差÷速度差=追及时间
总量÷份数＝平均数
7、流水问题：
2、行程问题
顺速=船速＋水速
速度×时间＝路程
逆速=船速－水速
路程÷速度＝时间
船行速度=（顺水速度+ 逆流速度）÷2
路程÷时间＝速度
流水速度=（顺流速度- 逆流速度）÷2
解题关键及规律：
路程=顺流速度× 顺流航行所需时间
- 同时同地相背而行：路程=速度和×时间。
路程=逆流速度×逆流航行所需时间
总价÷数量＝单价
4、工程问题
工作效率×工作时间＝工作总量
工作总量÷工作效率＝工作时间
工作总量÷工作时间＝工作效率
5、相遇问题
（甲速+乙速）×相遇时间＝路程

8、植树问题：
（1）沿线段植树
- 棵树=段数+1
棵树=总路程÷株距+1
- 株距=总路程÷（棵树-1）
总路程=株距×（棵树-1）
-（2） 沿周长植树
- 棵树=总路程÷株距
- 株距=总路程÷棵树
- 总路程=株距×棵树
9、年龄问题
差＋减数＝被减数
13、 乘法
因数×因数＝积
积÷一个因数＝另一个因数
14、除法
被除数÷除数＝商
被除数÷商＝除数
商×除数＝被除数
（二）分数和百分数的应用题解题方法：
1、特殊形式
（1）“的”字类
解题关键：年龄问题的主要特点是随着时间的变化，“的”前ד的”后
年岁不断增长，但大小两个不同年龄的差是不会改
（2）“是、相当于、占”字类
变的，因此，年龄问题是一种“差不变”的问题，
解题时，要善于利用差不变的特点。
“是”前÷“是”后
10、鸡兔同笼问题：
解题关键：解答鸡兔问题一般采用假设 法，假设全
是一种动物（如全是“鸡”或全是“兔”，然后根
据出现的腿数差，可推算出某一种 的头数。
- 解题规律：
假设全部是鸡
兔的只数：（总腿数－鸡腿数×总头数）÷一只鸡
兔腿数的差=兔子只数
11、加法
加数＋加数＝和
来说，整体是标准量，部分是比较量。
和 － 一个加数＝另一个加数
（2）“的”前就是标准量
12、减法
被减数－减数＝差
被减数－差＝减数
（3）“比、 占、 是、相当于”后面的就是标准
量
“相当于”前÷“相当于”后
“占”前÷“占”后
（3）“比”字类
（大数—小数）÷“比”后的数
2、找标准量（单位“1”）的方法
要正确找准单位“1”的量（即标准量）必须从题
目中的分率句着手。
（1） 分数应用题，存在着整体和部分两个数量，
一般
（4）工程问题中工作总量就是单位“1”

3、分数应用题的解题公式
标准量×对应分率=比较量
标准量×（1+分率）=比较量
标准量×（1—分率）=比较量
比较量÷对应分率=标准量
比较量÷（1+分率）=标准量
比较量÷（1—分率）=标准量
比较量÷标准量=对应分率
（1）
4 、百分率
合格率＝
合格产品数
×100％
产品总数
次品率＝
不合格产品数
×100％
产品总数
出勤率＝
实际出勤人数
×100％
应出勤人数
入学率＝
实际入学人数
×100％
应入学人数
优秀率＝
优秀学生人数
×100％
学生总人数
利息＝本金×利率×时间

税后利息＝本金×利率×时间×(1－
5%)


及格率＝
及格学生人数
×100％
学生总人数
命中率=
命中的球数
×100％
投中的球数
xx率=
XX数
×100％ (计算公式)
总数
学生总人数
达标率＝
达标学生人数
×100%
发芽率＝
发芽种子数
试验种子总数
5 、工程问题：
- 是分数 应用题的特例，它与整数的工作问题有着
密切的联系。它是探讨工作总量、工作效率和工作
时间 三个数量之间相互关系的一种应用题。
×100％
出粉率＝
面粉千克数
小麦千克数
出米率＝
米的重量
稻谷的重量
- 解题关键：把工作总量看作单位“1”，工作效
×100％
率就是工作时间的倒数，然后根据题目的具体情况，
灵活运用公式。
×100％
- 数量关系式：
- 工作总量=工作效率×工作时间
- 工作效率=工作总量÷工作时间
出油率＝
花生油的重量
×100％
花生米的重量
成活的棵数
植树的总棵数
- 工作时间=工作总量÷工作效率
成活率＝×100％
- 工作总量÷工作效率和=合作时间

6 纳税
- 纳税就是把根据国家各种税法的有关规定，按照
一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳 给国
家。
- 缴纳的税款叫应纳税款。
- 应纳税额与各种收入的（销售额、营业额、应纳
税所得额 ……）的比率叫做税率。
* 利息
存入银行的钱叫做本金。
取款时银行多支付的钱叫做利息。
利息与本金的比值叫做利率。
利息=本金×利率×时间
面的多少的测量一般称表面积。
（二）常用的面积单位 * 平方毫米 * 平方厘米 *
平方分米 * 平方米 * 平方千米
（三）面积单位的换算
* 1平方厘米 ＝100 平方毫米
* 1平方分米=100平方厘米
* 1平方米 ＝100 平方分米
* 1公倾 ＝10000 平方米
* 1平方公里 ＝100 公顷
三 体积和容积
（一）什么是体积、容积
体积，就是物体所占空间的大小。
容积，箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，
通常叫做它们的容积。
（二）常用单位
1 -、体积单位
* 立方米
* 立方米 * 立方分米 * 立方厘米
2、 容积单位
* 升 * 毫升
1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升
1升=1000毫升
（三）单位换算
1 体积单位
* 1立方米=1000立方分米
* 1立方分米=1000立方厘米
2 容积单位
* 1升=1000毫升
第二章 度量衡
一 长度
(一) 什么是长度
长度是一维空间的度量。
(二) 长度常用单位
*公里(km) * 米(m) * 分米(dm) * 厘米(cm) * 毫
米(mm) * 微米(um)
(三) 单位之间的换算
* 1毫米 ＝1000微米
* 1厘米 ＝10 毫米
* 1分米 ＝10 厘米
* 1米 ＝1000 毫米
* 1千米 ＝1000 米
二 面积
（一）什么是面积
面积，就是物体所占平面的大小。对立体物体的表

* 1升=1立方分米
* 1毫升=1立方厘米
四 质量
（一）什么是质量
质量，就是表示表示物体有多重。
（二）常用单位
* 吨 t
* 千克 kg
* 克 g
（三）常用换算
* 一吨=1000千克
* 1千克=1000克
五 时间
（一）什么是时间
是指有起点和终点的一段时间
（二）常用单位
* 世纪 * 年 * 月 * 日 * 时 * 分 * 秒
（三）单位换算
* 1世纪=100年
* 1年=365天 平年
* 一年=366天 闰年
* 一、三、五、七、八、十、十二是大月 大月有
31 天
* 四、六、九、十一是小月小月 小月有30天
* 平年2月有28天 闰年2月有29天
* 1天= 24小时
* 1小时=60分
* 一分=60秒
六 货币
（一）什么是货币
货币是充当一切商品的等价物的特殊商品。货币是
价值的一般代表，可以购买任何别的商品。
（二）常用单位
* 元
* 角
* 分
（三）单位换算
* 1元=10角
* 1角=10分





第三章 代数初步知识

一、用字母表示数
1 用字母表示数的意义和作用
* 用字母表示数，可以把数量关系简明的表达出来，
同时也可以表示运算的结果。
2用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、
几何形体的计算公式
（1）常见的数量关系
- 路程用s表示，速度v用表示，时间用t表示，
三者之间的关系：
- s=vt

- v=st
- t=sv
- 总价用a表示，单价用b表示，数量用c表示，
三者之间的关系:
- a=bc
- b=ac
- c=ab
（2）运算定律和性质
- 加法交换律：a+b=b+a
- 加法结合律：（a+b)+c=a+(b+c)
- 乘法交换律：ab=ba
- 乘法结合律：（ab)c=a(bc)
- 乘法分配律：（a+b)c=ac+bc
- 减法的性质：a-(b+c) =a-b-c
（3）用字母表示几何形体的公式
- 长方形的长用a表示，宽用b表示，周长用c
表示，面积用s表示。
- c=2(a+b)
- s=ab
- 正方形的边长a用表示，周长用c表示，面积用
s表示。
- c=4a
- s=a?
- 平行四边形的底a用表示，高用h表示，面积用
s表示。
- s=ah
- 三角形的底用a表示，高用h表示，面积用s
表示。
- s=ah2
- 梯形的上底用a表示，下底b用表示，高用h
表示，中位线用m表示，面积用s表示。
- s=(a+b)h2
- s=mh
- 圆的半径用r表示，直径用d表示，周长用c
表示，面积用s表示。
- c=∏d=2∏r
- s=∏ r?
- 扇形的半径用r表示，n表示圆心角的度数，面
积用s表示。
- s=∏ nr?360
- 长方体的长用a表示，宽用b表示，高用h表示，
表面积用s表示，体积用v表示。
- v=sh
- s=2(ab+ah+bh)
- v=abh
- 正方体的棱长用a表示，底面周长c用表示，底
面积用s表示， 体积用v表示.
- s=6a?
- v=a?
- 圆柱的高用h表示，底面周长用c表示，底面积
用s表示， 体积用v表示.
- s侧=ch
- s表=s侧+2s底
- v=sh
- 圆锥的高用h表示，底面积用s表示， 体积用
v表示.
- v=sh3
3 用字母表示数的写法

- 数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以记作
“.”，或者省略不写，数字要写在字母的前面。
- 当“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写。
- 在一个问题中，同一个字母表示同一个量，不同
的量用不同的字母表示。
- 用含有字母的 式子表示问题的答案时，除数一般
写成分母，如果式子中有加号或者减号，要先用括
号把含字母 的式子括起来，再在括号后面写上单位
的名称。
4将数值代入式子求值
* 把 具体的数代入式子求值时，要注意书写格式：
先写出字母等于几，然后写出原式，再把数代入式
子求值。字母表示的是数，后面不写单位名称。
* 同一个式子，式子中所含字母取不同的数值，那
么所求出的式子的值也不相同。
二、简易方程
（一）方程和方程的解
1方程：含有未知数的等式叫做方程。
- 注意方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可。
- 方程和算术式不同。算术式是一 个式子，它由运
算符号和已知数组成，它表示未知数。方程是一个
等式，在方程里的未知数可以 参加运算，并且只有
当未知数为特定的数值时 ，方程才成立 。
2 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，
叫做方程的解。
三、解方程
解方程，求方程的解的过程叫做解方程。
四、列方程解应用题
1 列方程解应用题的意义
* 用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的
方法。
2 列方程解答应用题的步骤
* 弄清题意，确定未知数并用x表示；
* 找出题中的数量之间的相等关系；
* 列方程，解方程；
* 检查或验算，写出答案。
3列方程解应用题的方法
* 综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知
数（ 量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等
量关系，进而列出方程。这是从部分到整体的一种
思维过程，其思考方向是从已知到未知。
* 分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等 量
关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未
知数（量）列成有关的代数式进而列出方程 。这是
从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未
知到已知。
4列方程解应用题的范围
小学范围内常用方程解的应用题：
a一般应用题；
b和倍、差倍问题；
c几何形体的周长、面积、体积计算；
d 分数、百分数应用题；
e 比和比例应用题。
五 比和比例
1比的意义和性质
（1） 比的意义
- 两个数相除又叫做两个数的比。
- “：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做
比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比 的前项
除以后项所得的商，叫做比值。
- 同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当
于除数，比值相当于商。

- 比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时
也可能是整数。
- 比的后项不能是零。
（2）比例的性质
- 在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。
这叫做比例的基本性质。
根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，（3）解比例
后项相当于分母，比值相当于分数值。
- 根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三
（2）比的性质 项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。
求比例中的未知项，叫做解比例。
- 比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0
除外），比值不变，这叫做比的基本性质。 3 正比例和反比例
（3） 求比值和化简比 （1） 成正比例的量
- 求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结- 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着
果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。 变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也
- 根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项是
互质的数。
（4）比例尺
- 图上距离：实际距离=比例尺
- 要求会求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际
距离；已知实际距离和比例尺求图上距离。
- 线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，
用来表示和地面上相对应的实际距离。
（5）按比例分配
- 在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量
按照一定的 比来进行分配。这种分配的方法通常叫
做按比例分配。
- 方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后
求出总数的几分之几是多少。
2 比例的意义和性质
（1） 比例的意义
- 表示两个比相等的式子叫做比例。
- 组成比例的四个数，叫做比例的项。
- 两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。
就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他
们的关系叫做正比例关系。 （正比例的图像是一
条直线）
- 用字母表示yx=k(一定）
（2）成反比例的量
- 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着
变化，如 果这两种量中相对应的两个数的积一定，
这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反
比例 关系。（反比例的图像是一条曲线）

- 用字母表示x×y=k(一定)




第四章 几何的初步知识
一 线和角
（1）线
* 直线

- 直线没有端点；长度无限；过一点可以画无数条，
过两点只能画一条直线。
* 射线
- 射线只有一个端点；长度无限。
* 线段
- 线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；
两点的连线中，线段为最短。
* 平行线
- 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
- 两条平行线之间的垂线长度都相等。
* 垂线
- 两条直线相交成直角时，这两条直线 叫做互相垂
直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线,相交的
点叫做垂足。
- 从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做
这点到直线的距离。
（2）角
够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在
的这条直线叫做对称轴。

- 正方形有4条对称轴。
长方形有2条对称轴。
-等腰三角形有2条对称轴
等边三角形有3条对称轴
正五边形有5条对称轴
正六边形有6条对称轴

- 等腰梯形有一条对称轴
圆有无数条对称轴。
环形有无数条对称轴
- 菱形有4条对称轴
扇形有一条对称轴。
平行四边形没有对称轴。
（1）- 从一点引出两条射线，所组成的图形叫做
角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。
任意三角形形没有对称轴。
（2）角的分类
- 锐角：小于90°的角叫做锐角。
- 直角：等于90°的角叫做直角。
- 钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。
- 平角：角的两边成一条直线，这时所组成的角叫
做平角。平角180°。
- 周角：角的一边旋转一周，与另一边重合。周角
是360°。

对称轴
- 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能
任意梯形形没有对称轴

三 立体图形
（一）长方体
1 特征
- 六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方
形）。
- 相对的面面积相等，12条棱相对的4条棱长度
相等。
- 有8个顶点。
- 相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、

高。
- 两个面相交的边叫做棱。
- 三条棱相交的点叫做顶点。
- 把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。
- 长方体或者正方体6个面的总面积，叫做它的表
面积。

2 计算公式
棱长总和=（长+宽+高）×4
s表=2(ab+ah+bh)
S表（无盖）=a×b+（a×h+b×h) ×2
S表（没有上底和下底）=（a×h+b×h) ×2

- V=sh
- V=abh
（二）正方体
1 特征
- 六个面都是正方形
- 六个面的面积相等
- 12条棱，棱长都相等
- 有8个顶点
v=a?
（三）圆柱
1圆柱的认识
- 圆柱的上下两个面叫做底面。
- 圆柱有一个曲面叫做侧面。
- 圆柱两个底面之间的距离叫做高 。
- 进一法：实际中，使用的材料都要比计算的结果
多一些 ，因此，要保留数的时候，省略的位上的
是4或者比4小，都要向前一位进1。这种取近似
值的方法叫做进一法。
2计算公式
- s侧=ch
- s表=s侧+s底×2
- v=sh3

（四）圆锥
1 圆锥的认识
- 圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面。
- 从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
- 测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平 ，用一块平
板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和
底面之间的距离。
- 把圆锥的侧面展开得到一个扇形。 2计算公式
- 正方体可以看作特殊的长方体
2 计算公式
棱长总和=棱长×12
S表=6a?
S表（无盖）=5a?
- 球和圆类似，也有一个球心，用O表示。
S表（没有上底和下底）=4a?
- 从球心到球面上任意一点的线段叫做球的半径，
1 认识
- 球的表面是一个曲面，这个曲面叫做球面。
（五）球
- v= sh3

用r表示，每条半径都相等。
- 通过球心并且两端都在球面上的线段，叫做球的

直径，用d表示,每条直径都相等,直径的长度等于
半径的2倍，即d=2r。
四边形 三角形
按角分 平行四边形 分类 梯形
1、锐角三角形 ：定义：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫定义：只有一组对
三个角都是锐角。 做平行四边形。 边平行的四边形叫
做梯形。
2、直角三角形 ：特征：
有一个角是直角。特征：
1、两组对边分别平行且对边相等。
等腰直角三角形< br>1、只有一组对边平
的两个锐角各为
2、对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度 。
行的四边形。
45度，它有一条对
3、平行四边形容易变形。
称轴。
2、中位线等于上下
3、钝角三角形：
4、平行四边形没有对称轴。
有一个角是钝角。
面积公式：底
×
高
按边分 长方形 正方形 菱形
底和的一半。

1、任意梯形
定义：只有一组对
边平行的四边形叫
做梯形。
2、直角梯形
定义：一腰垂直于
底的梯形叫直角梯
形。
3、等腰梯形
定义：两条腰相等
的梯形叫等腰梯
形。
1、 任意三角形：定义：有四个
三条边长度不相角是直角的
等。 平行四边形
叫做长方形。
2、等腰三角形：
有两条边长度相特征
等；两个底角相
1、两组对边分
等；
别平行且对边
3、等边三角形：相等，4个角
三条边长度都相都是直角
等；三个内角都是
2、长方形的
60度；有三条对称
对角线相等。
轴。
。



定义：四条边都定义：邻边相等
相等，四个角都的平行四边形
是直角的四边形叫做菱形。
叫做正方形。
特征：
特征：
1、菱形的四条边
1、四条边都相都相等。
等。
2、菱形的对角线
2、四个角都是直互相垂直，并且
角。 每一条对角线平
分一组对角。
3、有4条对称轴。
三角形 平行四边长方形
形
正方形 菱形 梯形

周长

（长+宽）
边长
×4
边长

×2

面积
底
×4

边长
×边长

对角线×对角线
÷2
底
×高
底
×高
长
×宽

×
（上底+下底）
×
÷2
高

2条
高
÷2
只有等腰梯形有1
条对称轴。
对称轴 1、等腰三没有
角形有1
条对称
轴。
2、等边三
角形有3
条对称
轴。
2条 4条
正方体
1、六个面都是正方形 。

2、六个面的面积相等
3、12条棱，棱长都相等
4、有8个顶点
5、把正方体放在桌面上，最多只能
看到三个面。
6、正方体可以看作特殊的长方体


棱长×12
棱长×棱长×6
a?
×6
棱长×棱长×5
a?
×5
棱长×棱长×4
a?
×4
底面积
×高
V = sh
棱长×棱长×棱长 V = a
体积
÷底面积
体积
÷
（棱长×棱长）

圆锥
以直角三角形的一条直角边 所在直线为旋转
轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫
做圆锥。

扇形


半 圆 扇形

圆
半
半圆是指直径一条弧 和经过这条弧
所对应的弧，叫两端的两条半径所围
做半圆。

成的图形叫做扇形。
图

环


d C半圆=∏r+2r C扇=∏d ×+d
n


∏r

C半圆=∏d÷2+d
c扇=2∏r×
360
+2r
C半圆=c÷2+ c
n
÷∏

c扇=c×
360
+ c÷∏
S半圆=∏r? ÷2
S扇=∏r? ×
360

n
（R?
S半圆=∏×(d÷
S扇=∏×(d÷2) ?×
2) ?÷2
S半圆=∏×(c÷
∏÷2) ?÷2

n
360

S扇=∏×(c÷∏÷2)
?×
360

n
1条 1条

好两脚间的距离（即半径）；
在一点（即圆心）上；
脚旋转一周，就画出一个圆。
叫做圆心。一般用字母o表示。
长和直径的比值叫做圆周率。用字母∏表示。

1
等于半径长度的2倍，半径等于直径长度的
2
。
决定圆的大小。
2 复合应用题
（1）有两个或两个以上的基本数量关系组成
的，用两步或两步以 上运算解答的应用题，通常叫
做复合应用题。
具有独特的结构特征的和特定的解题规律的
复合应用题，通常叫做典型应用题。
（1）平均数问题：平均数是等分除法的发展。
- 解题关键：在于确定总数量和与之相对应的
（2）含有三个已知条件的两步计算的应用题。 总份数。
- 求比两个数的和多（少）几个数的应用题。
- 比较两数差与倍数关系的应用题。
（3）含有两个已知条件的两步计算的应用题。
- 算术平均数：已知几个不相等的同类量 和与
之相对应的份数，求平均每份是多少。数量关系式：
数量之和÷数量的个数=算术平均数。
- 加权平均数：已知两个以上若干份的平均数，
求总平均数是多少。
- 数量关系式 （部分平均数×权数）的总和
÷（权数的和）=加权平均数。
- 差额平均数 ：是把各个大于或小于标准数的
部分之和被总份数均分，求的是标准数与各数相差
之和的平均数 。
- 数量关系式：（大数－小数）÷2=小数应得
数 最大数与各数之差的和÷总份数=最大数应给
数 最大数与个数之差的和÷总份数=最小数应得
数。
例：一辆汽车以每小时 100 千米 的速度从甲
地开往乙地，又以每小时 60 千米的速度从乙地开
- 已知两数相差多少（或倍数关系）与其中一
个数，求两个数的和（或差）。
- 已知两数之和与其中一个数，求两个数相差
多少（或倍数关系）。
（4）解答连乘连除应用题。
（5）解答三步计算的应用题。
（6）解答小数 计算的应用题：小数计算的加
法、减法、乘法和除法的应用题，他们的数量关系、
结构、和解题 方式都与正式应用题基本相同，只是
在已知数或未知数中间含有小数。
3典型应用题

往甲地。求这辆车的平均速度。
分析：求汽车的平均速度同样可以利用公式。
此题可以把甲地到乙地的路程设为“ 1 ”，则汽
车行驶的总路程为“ 2 ”，从甲地到乙地的速度
为 100 ，所用的时间为 ，汽车从乙地到甲地速度
为 60 千米 ，所用的时间是 ，汽车共行的时间为
+ = , 汽车的平均速度为 2 ÷ =75 （千米）

（2） 归一问题：已知相互关联的两个 量，其
中一种量改变，另一种量也随之而改变，其变化的
规律是相同的，这种问题称之为归一问 题。
- 根据求“单一量”的步骤的多少，归一问题
可以分为一次归一问题，两次归一问题。
( 6) 解答除法应用题：
a把一个数平均分成几份，求每一份是多少的应用
题：已知一个数 和把这个数平均分成几份的，求每
一份是多少。
b求一个数里包含几个另一个数的应用题：已知一
个数和每份是多少，求可以分成几份。
C 求一个数是另一个数的的几倍的应用题：已知甲
数乙数各是多少，求较大数是较小数的几倍。
d已知一个数的几倍是多少，求这个数的应用题。
（7）常见的数量关系：
- 总价= 单价×数量
- 路程= 速度×时间
- 根据球痴单一量之后，解题采用乘法还是除
法，归一问题可以分为正归一问题，反归一问题。
- 工作总量=工作时间×工效
- 一次归一问题，用一步运算就能求出“单一
量”的归一问题。又称“单归一。”
- 两次归一问题，用两步运算就能求出“单一
量”的归一问题。又称“双归一。”
- 正归一问题：用等分除法求出“单一量”之
后，再用乘法计算结果的归一问题。
- 反归一问题：用等分除法求出“单一量”之
后，再用除法计算结果的归一问题。
- 解题关 键：从已知的一组对应量中用等分除
法求出一份的数量（单一量），然后以它为标准，
根据题目 的要求算出结果。
c求比一个数少几的数的应用题：已知甲数是多
少，，乙数比甲数少多少，求乙数是多少。
(5 ) 解答乘法应用题：
a求相同加数和的应用题：已知相同的加数和相同
加数的个数，求总数。
- 总产量=单产量×数量
2 复合应用题
（1）有两个或两个以上的基本数量关系组成的 ，
用两步或两步以上运算解答的应用题，通常叫做复
合应用题。
（2）含有三个已知条件的两步计算的应用题。
- 求比两个数的和多（少）几个数的应用题。
- 比较两数差与倍数关系的应用题。
（3）含有两个已知条件的两步计算的应用题。
- 已知两数相差多少（或倍数关系）与其中一个数，
求两个数的和（或差）。
- 已知两数之和与其中一个数，求两个数相差多少
（或倍数关系）。
（4）解答连乘连除应用题。
（5）解答三步计算的应用题。
b求一个数的几 倍是多少的应用题：已知一个数是
（6）解答小数计算的应用题：小数计算的加法、
多少，另一 个数是它的几倍，求另一个数是多少。
减法、乘法和除法的应用题，他们的数量关系、结

构、和解题方式都与正式应用题基本相同，只是在
已知数或未知数中间含有小数。
3典型应用题
具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合
应用题，通常叫做典型应用题。
（1）平均数问题：平均数是等分除法的发展。
- 解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份
数。
- 算术平均数：已知几个不相等的同 类量和与之相
对应的份数，求平均每份是多少。数量关系式：数
量之和÷数量的个数=算术平均 数。
- 加权平均数：已知两个以上若干份的平均数，求
总平均数是多少。
- 数量关系式 （部分平均数×权数）的总和÷（权
数的和）=加权平均数。
- 差额平均数 ：是把各个大于或小于标准数的部分
之和被总份数均分，求的是标准数与各数相差之和
的平均数 。
- 数量关系式：（大数－小数）÷2=小数应得数 最
大数与各数之差的和÷总份数=最大数应给数 最
大数与个数之差的和÷总份数=最小数应得数。
例：一辆汽车以每小时 100 千米 的速度从甲地开
往乙地，又以每小时 60 千米的速度从乙地开往甲
地。求这辆车的平均速度。
分析：求汽车的平均速度同样可以利用公式。此题
- 根据求“单一量”的步骤的多少，归一问题可以
分为一次归一问题，两次归一问题。
- 根据球痴单一量之后，解题采用乘法还是除法，
归一问题可以分为正归一问题，反归一问题。
- 一次归一问题，用一步运算就能求出“单一量”
的归一问题。又称“单归一。”
- 两次归一问题，用两步运算就能求出“单一量”
的归一问题。又称“双归一。”
- 正归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，
再用乘法计算结果的归一问题。
- 反归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，
再用除法计算结果的归一问题。
- 解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求
出一份的数量（单一量），然后以它为标准 ，根据
题目的要求算出结果。
- 数量关系式：单一量×份数=总数量（正归一）
- 总数量÷单一量=份数（反归一）
例 一个织布工人，在七月份织布 4774 米 ， 照
这样计算，织布 6930 米 ，需要多少天？
分析：必须先求出平均每天织布多少米，就是单一
量。 693 0 ÷ （ 477 4 ÷ 31 ） =45 （天）

（3）归总问题：是已知单位数量和计量单位数量
的 个数，以及不同的单位数量（或单位数量的个数），
通过求总数量求得单位数量的个数（或单位数量）。
可以把甲地到乙地的路程设为“ 1 ”，则汽车行
驶的总路程为“ 2 ”，从甲地到乙地的速度为
- 特点：两种相关联的量，其中一种量变化，另一
100 ，所用的时间为 ，汽车从乙地到甲地速度为
种量也跟着变化，不过变化的规律相反，和反比例
60 千米 ，所用的时间是 ，汽车共行的时间为 + = ,
算法彼此相通。
汽车的平均速度为 2 ÷ =75 （千米）
- 数量关系式：单位数量×单位个数÷另一个单位

数量 = 另一个单位数量 单位数量×单位个数÷
另一个单位数量= 另一个单位数量。
（2） 归一问题：已知相互关联的两个量，其中一
种量改变，另一种量也随之而改变，其变化的规律
例 修一条水渠，原计划每天修 800 米 ， 6 天修
是相同的，这种问题称之为归一问题。
完。实际 4 天修完，每天修了多少米？

分析：因为要求出每天修的长度，就必须先求出水多少辆？
渠的长度。所以也把这类应用题叫做“归总问题”。
分析：大货车比小货车的 5 倍还多 7 辆，这 7 辆
不同之处是“归一”先求出单一量，再求总量，归
也在总数 115 辆内，为了使总数与（ 5+1 ）倍对
总问题是先求出总量，再求单一量。 80 0 × 6 ÷
应，总车辆数应（ 115-7 ）辆 。
4=1200 （米）

列式为（ 115-7 ）÷（ 5+1 ） =18 （辆）， 18 ×
5+7=97 （辆）
（4） 和差问题：已知大小两个数的和，以及他们

的差，求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题。
- 解题关键：是把大小两个数的和转化成两个大数
的和（或两个小数的和），然后再求另一个数。
- 解题规律：（和＋差）÷2 = 大数 大数－差=小
数
（和－差）÷2=小数 和－小数= 大数
例 某加工厂甲班和乙班共有工人 94 人，因工作
需要临时从乙班调 46 人到甲班工作，这时乙班比
甲班人数少 12 人，求原来甲班和乙班各有多少
人？
分析：从乙班调 46 人到甲班，对于总数没有变化，
现在把乙数转化成 2 个乙班，即 9 4 － 12 ，由
此得到现在的乙班是（ 9 4 － 12 ）÷ 2=41 （人），
乙班在调出 46 人之前应该为 41+46=87 （人），
甲班为 9 4 － 87=7 （人）

（5）和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍
数 关系，求两个数各是多少的应用题，叫做和倍
问题。
- 解题关键：找准标准数（即1倍数 ）一般说来，
题中说是“谁”的几倍，把谁就确定为标准数。求
出倍数和之后，再求出标准的数 量是多少。根据另
一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系，
再去求另一个数（或几个数 ）的数量。
- 解题规律：和÷倍数和=标准数 标准数×倍数=
另一个数
例:汽车运输场有大小货车 115 辆，大货车比小货
车的 5 倍多 7 辆，运输场有大 货车和小汽车各有
（6）差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍
数关系，求两个数各是多少 的应用题。
- 解题规律：两个数的差÷（倍数－1 ）= 标准数
标准数×倍数=另一个数。
例 甲乙两根绳子，甲绳长 63 米 ，乙绳长 29 米 ，
两根绳剪去同样的长度，结果甲所剩的长度是乙绳
长的 3 倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？ 各减去
多少米？
分析：两根绳子剪去相同的一段，长度差没变，甲
绳所剩的长度是乙绳的 3 倍，实比乙绳多（ 3-1 ）
倍，以乙绳的长度为标准数。列式（ 63-29 ）÷
（ 3-1 ） =17 （米）…乙绳剩下的长度， 17 ×
3=51 （米）…甲绳剩下的长度， 29-17=12 （米）…
剪去的长度。
第五章 简单的统计
一 统计表
（一）意义
* 把统计数据填写在一定格式的表格内，用来反映
情况、说明问题，这样的表格就叫做统计表。
（二）组成部分
* 一般分为表格外和表格内两部分。表格外部分包
括标的名称， 单位说明和制表日期；表格内部包括
表头、横标目、纵标目和数据四个方面。
（三）种类
* 单式统计表：只含有一个项目的统计表。
* 复式统计表：含有两个或两个以上统计项目的统

计表。 制作条形统计图的一般步骤:
* 百分数统计表：不仅表明各统计项目的具体数量，（1）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。
而且表明比较量相当于标准量的百分比的统计表。
（2）在水平射线上，适当分配条形的位置，确定
（四）制作步骤 直线的宽度和间隔。
1搜集数据
2整理数据：
- 要根据制表的目的和统计的内容，对数据进行分
类。
3设计草表：
- 要根据统计的目的和内容设计分栏格内容、分栏
格画法，规定横栏、竖栏各需几格，每格长度。
4 正式制表：
（3）在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的
具体情况，确定单位长度表示多少。
（4）按照数据的大小画出长短不同的直条，并注
明数量。
2 折线统计图
- 用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多
少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来。
- 优点：不但可以表示数量的多少，而且能够清楚
地表示出数量增减变化的情况。
- 把核对过的数据填入表中，并根据制表要求，用
- 注意：折线统计图的横轴表示不同的年份、月份
简单、明确的语言写上统计表的名称和制表日期。
等时间时，不同时间之间的距离要根据年份或月份
的间隔来确定。
二 统计图
（一）意义
* 用点线面积等来表示相关的量之间的数量关系
的图形叫做统计图。
（二）分类
1 条形统计图
- 用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的 多
少画成长短不同的直条，然后把这些直线按照一定
的顺序排列起来。
- 优点：很容易看出各种数量的多少。
制作折线统计图的一般步骤:
（1）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。
（2）在水平射线上，适当分配折线的位置，确定
直线的宽度和间隔。
（3）在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的
具体情况，确定单位长度表示多少。
（4）按照数据的大小描出各点，再用线段顺次连
接起来，并注明数量。

- 注意：画条形统计图时，直条的宽窄必须相同。
3扇形统计图
- 取一个单位长度表示数量的多少要根据具体情
况而确定；
- 复式条形统计图中表示不同项 目的直条，要用不
同的线条或颜色区别开，并在制图日期下面注明图
例。
- 用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部
分所占总数的百分数。
- 优点：很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。
制扇形统计图的一般步骤：
（1）先算出各部分数量占总量的百分之几。

（2）再算出表示各部分数量的扇形的圆心角度数。
（3）取适当的半径画一个圆，并按照上面算出的
圆心角的度数，在圆里画出各个扇形。 < br>（4）在每个扇形中标明所表示的各部分数量名称
和所占的百分数，并用不同颜色或条纹把各个扇 形
区别开。