重力势能公式数列通项公式的几种求法

数列通项公式的几种求法

数列通项公式直接表述了数列的本质，是给出数列 的一种重要方法。数列通项公式具备
两大功能，第一，可以通过数列通项公式求出数列中任意一项；第二 ，可以通过数列通项公
式判断一个数是否为数列的项以及是第几项等问题；因此，求数列通项公式是高中 数学中最
为常见的题型之一，它既考察等价转换与化归的数学思想，又能反映学生对数列的理解深度，< br>具有一定的技巧性，是衡量考生数学素质的要素之一，因而经常渗透在高考和数学竞赛中。
本文分 别介绍几种常见的数列通项的求法，以期能给读者一些启示。
一、常规数列的通项
例1：求下列数列的通项公式
（1）2(22—1)，3(32—1)，4(42—1)，5(52—1)，…
（2）－1×2(1)，2×3(1)，－3×4(1)，4×5(1)，…
（3）3(2)，1，7(10)，9(17)，11(26)，…
解：（1）an=n(n2—1) （2）an= n（n+1）(（－1）n) （3） an=2n＋1(n2＋1)
评注：认真观察所给数据的结构特征，找出an与n的对应关系，正确写出对应的表达式。

二、等差、等比数列的通项
直接利用通项公式an=a1+（n－1）d和an=a1qn－ 1写通项，但先要根据条件寻求首项、公
差和公比。

三、摆动数列的通项
例2：写出数列1，－1，1，－1，…的一个通项公式。
解：an=（－1）n－1

变式1：求数列0，2，0，2，0，2，…的一个通项公式。
分析与解答：若每一项均减去1，数列相应变为－1，1，－1，1，…
故数列的通项公式为an=1+（－1）n

变式2：求数列3，0，3，0，3，0，…的一个通项公式。
分析与解答：若每一项均乘以3(2)，数列相应变为2，0，2，0，…
故数列的通项公式为an=2(3)[1+（－1）n－1 ]
变式3：求数列5，1，5，1，5，1，…的一个通项公式。
分析与解答1：若每一项均减去1，数列相应变为4，0，4，0，…
故数列的通项公式为an=1++2×3(2)[1+（－1）n－1 ]=1+3(4)[1+（－1）n－1 ]
分析与解答2：若每一项均减去3，数列相应变为2，－2，2，－2，…
故数列的通项公式为an=3+2（－1）n－1

四、循环数列的通项
例3：写出数列0.1，0.01，0.001，0.0001，…的一个通项公式。
解：an= 10n(1)
变式1：求数列0.5，0.05，0.005，…的一个通项公式。
解：an= 10n(5)
变式2：求数列0.9，0.99，0.999，…的一个通项公式。
分析与解答： 此数列每一项分别与数列0.1，0.01，0.001，0.0001，…的每一项对应相加
得到的项 全部都是1，于是an=1－ 10n(1)

变式3：求数列0.7，0.77，0.777，0.7777，…的一个通项公式。
解：an= 9(7)（1－ 10n(1)）

例4：写出数列1，10，100，1000，…的一个通项公式。
解：an=10n－1


变式1：求数列9，99，999，…的一个通项公式。
分析与解答：此数列每一项都加上1就得到数列10，100，1000，… 故an=10n－1。

变式2：写出数列4，44，444，4444…的一个通项公式。
解：an= 9(4)（10n－1）
评注：平日教与学的过程中务必要对基本的数列通项公式进行过关，这就需 要提高课堂教与
学的效率，多加总结、反思，注意联想与对比分析，做到触类旁通，也就无需再害怕复杂 数
列的通项公式了。

五、通过等差、等比数列求和来求通项
例5：求下列数列的通项公式
（1）0.7，0.77，0.777，… （2）3，33，333，3333，…
（3）12，1212，121212，… （4）1，1+2，1+2+3，…
解：（1）12×（1+100+10000+…+100n－1 ）=12×1－100(1－100n)=33(4)（102n－1）
（4）an=1+2+3+…n=2(n（n+1）)

评注：关键是根据数据的变化规律搞清楚第n项的数据特点。

六、用累加法求an=an－1+f（n）型通项

例6：（1）数列{an}满足a1=1且an=an－1+3n－2（n≥2），求an。
（2）数列{an}满足a1=1且an=an－1+2n(1)（n≥2），求an。
解：（1）由an=an－1+3n－2知an－an－1=3n－2，记f（n）=3n－2= an－an－1
则an= （an－an－1）+（an－1－an－2）+（an－2－an－3）+…（a2－a1）+a1
=f（n）+ f（n－1）+ f（n－2）+…f（2）+ a1
=（3n－2）+[3（n－1）－2]+ [3（n－2）－2]+ …+（3×2－2）+1
=3[n+（n－1）+（n－2）+…+2]－2（n－1）+1
=3×2(（n+2）（n－1）)－2n+3=2(3n2－n)
（2）由an=an－1+2n(1)知an－an－1=2n(1)，记f（n）=2n(1)= an－an－1
则an=（an－an－1）+（an－1－an－2）+（an－2－an－3）+…（a2－a1）+a1
=f（n）+ f（n－1）+ f（n－2）+…f（2）+ a1
=2n(1)+2n－1(1)+2n－2(1)+…+22(1)+1=2(1)－2n(1)
评注 ：当f（n）=d（d为常数）时，数列{an}就是等差数列，教材对等差数列通项公式的推
导其实就 是用累加法求出来的。

七、用累积法求an= f（n）an－1型通项
例7:（1）已知数列{an}满足a1=1且an=n(2（n-1）)an—1（n≥2），求an

（2）数列{an}满足a1=2(1)且an=2n(1)an—1，求an
解：（1）由条件 an—1(an)=n(2（n－1）)，记f（n）=n(2（n－1）)
an= an—1(an)· an—2(an－1)·… a1(a2)·a1=f（n）f（n－1）f（n－2）…f（2）f（2）a1

=n( 2（n－1）)·n－1(2（n－2）)·n－2(2（n－3）)·…3(2×2)·2(2×1)·1=n (2n－1)
（2）an= an—1(an)· an—2(an－1)·… a1(a2)·a1 =2n(1)·2n－1(1)…22(1)·2(1)=21＋2＋…＋
n(1)=2－ 2(n（n＋1）)
评注：如果f（n）=q（q为常数），则{an}为等比数列，an= f（n ）an—1型数列是等比数列
的一种推广，教材中对等比数列通项公式地推导其实正是用累积法推导出来 的。

八、用待定系数法求an=Aan－1＋B型数列通项
例8:数列{an}满足a1=1且an＋1＋2an=1，求其通项公式。
解：由已知，an＋1＋2an=1，即an=－2 an—1＋1
令an＋x=－2（an－1＋x），则an=－2 an－1－3x，于是－3x=1，故x=－3(1)
∴ an－3(1)=－2（an－1－3(1)）
故{ an－3(1) }是公比q为－2，首项为an－3(1)=3(2)的等比数列
∴an－3(1)=3(2)（－2）n－1=3(1－（－2）n)
评注：一般地，当A≠1时令an＋x=A（an－1＋x）有an=A an－1＋（A－1）x，则有
（A－1）x=B知x=A－1(B)，从而an＋A－1(B)=A （an－1+A－1(B)），于是数列{an＋A－
1(B)}是首项为a1+A－1(B)、公比为 A的等比数列，故an＋A－1(B)=（a1+A－1(B)）An－1，
从而
an=（a 1+A－1(B)）An－1－A－1(B)；特别地，当A=0时{an}为等差数列；当A≠0，B=0时，数列{an}为等比数列。

推广：对于an=A an－1＋f（n）（A≠0且A∈R）型数列通项公式也可以用待定系数法求通
项公式。
例9：数列{an}满足a1=1且an=2an－1＋3n(1)（n≥2），求an。
解：令an＋x·3n(1)=2（an＋x·3n-1(1)）则an=2an－1+ 2x·3n-1(1)－
x·3n(1)=3(5)x·3n-1(1)=5x·3n(1)
而由已知an=2an－1＋3n(1)故5x=1，则x=5(1)。故an＋5(1)·3n(1)＝2（a n－1＋5(1)·3n-1(1)）
从而{an＋5(1)·3n(1)}是公比为q=2、首项为 a1＋5(1)·3(1)=15(16)的等比数列。
于是an＋5(1)·3n(1)= 15(16)×2n－1，则an=15(16)×2n－1－5(1)·3n(1)=15(1)（2n+3－ 3n－
1(1)）
评注：一般情况，对条件an=Aan－1+f（n）而言，可设an+g （n）=A[an－1+g（n－1）]，
则有Ag（n－1）－g（n）=f（n），从而只要求出函 数g（n）就可使数列{ an+g（n）}为等
比数列，再利用等比数列通项公式求出an。值得注意 的是an+g（n）与an－1+g（n－1）中
的对应关系。特别地，当f（n）=B（B为常数）时 ，就是前面叙述的例8型。
这种做法能否进一步推广呢？对于an=f（n）an－1+g（n）型数 列可否用待定系数法求通项
公式呢？
我们姑且类比做点尝试：令an+k（n）=f（n）[an－1+k（n－1）]，展开得到
an =f（n）an－1+f（n）k（n－1）－k（n），从而f（n）k（n－1）－k（n）= g（n）， 理论
上讲，通过这个等式k（n）可以确定出来，但实际操作上，k（n）未必能轻易确定出来，
请看下题：
数列{an}满足a1=1且an=2n(n)an－1+n+1(1)，求其通项公式。
在这种做法下得到2n(n)k（n－1）－k（n）=n+1(1)，显然，目前我们用高中数学知识还
无法轻易地求出k（n）来。

九、通过Sn求an
例10：数列{an}满足an =5Sn－3，求an。
解：令n=1，有a1=5an－3，∴a1=4(3)。由于an =5Sn－3………①
则 an-1 =5 Sn-1－3………②
①－②得到an－an-1=5（Sn－Sn-1） ∴an－an－1 =5an

故an=－4(1)an-1，则{an}是公比为q=－4(1)、首项an=4(3)的 等比数列，则an=4(3)（－4(1)）
n-1

评注：递推关系中含有Sn， 通常是用Sn和an的关系an=Sn－Sn－1（n≥2）来求通项公式，
具体来说有两类：一是通过 an=Sn－Sn－1将递推关系揭示的前n项和与通项的关系转化为
项与项的关系，再根据新的递推关 系求出通项公式；二是通过an=Sn－Sn－1将递推关系揭
示的前n项和与通项的关系转化为前n项 和与前n－1项和的关系，再根据新的递推关系求
出通项公式

十、取倒数转化为等差数列

例11：已知数列{an}满足a1=1且a
n+1=
an+2(2an)，求an。
解：由a
n+1=
an+2(2an)有 an+1(1)= 2an(an+2)= 2(1)+an(1) 即an+1(1)－an(1)=2(1)
所以，数列{an(1)}是首项为a1(1)=1、公差为d=2(1)的等差数列
则an(1)=1+（n－1）2(1)=2(n+1) 从而an=n+1(2)
评注： 注意观察和分析题目条件的结构特点，对所给的递推关系式进行变形，使与所求数列
相关的数列（本例中 数列{an(1)}）是等差或等比数列后，只需解方程就能求出通项公式了。

十一、构造函数模型转化为等比数列

例12：已知数列{an}满足a1=3且a
n+1=
（an－1）2+1，求an。
解：由条件a
n+1=
（an－1）2+1得a
n+1－1=
（an－1）2


两边取对数有lg（a
n+1－1）=lg（（an－1）2）=2lg（an－1） 即
故数列{ lg（an－1）}是首项为lg（a1－1）=lg2、公比为2的等比数列
所以，lg（an－1）=lg2·2n－
1=lgfile:C:DOCUME~1ADMI NI~1LOCALS~1Tempksohtmlwps_clip_
则an－
1=fil e:C:DOCUME~1ADMINI~1LOCALS~1Tempksohtmlwps_clip_
即an=file:C:DOCUME~1ADMINI~1LOCALS~1Tempksohtml wps_clip_+1

评注：通过构造对数函数达到降次的目的，使原来的递推关系转化为等比数列进行求。

十二、数学归纳法
例13：数列{an}满足a1=4且a
n=4－
an－1(4)（n≥2），求an。
解：通过递推关系求出数列前几项如下
a1=4=2+1(2) a2=4－
a1(4)=3=2+2(2) a3=4－
a2(4)=3(8)=2+3(2)
a4=4－
a3(4)=2(5)=2+4(2) a5=4－
a4(4)=5(12)=2+5(2) a6=4－
a5(4)=3(7)=2+6(2)
猜想：通项公式为an=2+n(2)。下用归纳法给出证明
显然，当n=1时，a1=4=2+1(2)，等式成立
假设当n=k时，等式成立，即ak=2+k(2)
则当n=k+1时，a
k+1=4－
ak(4)=4－
k(2)) k(2)=4－k+1(2k)=2+2－k+1(2k)=2+k+1(2)
由归纳法原理知，对一切n∈N+都有an=2+n(2)。

评注：先根据递推关系求出前 几项，观察数据特点，猜想、归纳出通项公式，再用数学归纳
法给出证明。

十三、综合应用
例14：已知各项为正的数列{a
n}满足a1=1且a
n2=a
n－12+2（n≥2），求an。
解：由a
n2=a
n－12+2知a
n2－a
n－12=2
则数列{a
n2}是公差为2、首项为a
12=1的等差数列。
故 a
n2=1+2（n－1）=2n－1 即an=

例15：数列{a
n}满足a1=a2=5且a
n+1=a
n+6a
n－1（n≥2），求an。
解：设a
n+1+λa
n=μ（a
n+λa
n－1），则a
n+1=（μ－λ）a
n+μλa
n－1
而a
n+1=a
n+6a
n－1 则
当λ=2且μ=3时a
n+1+2a
n=3（a
n+2a
n－1），即
n+1+2a
n, a
n+2a
n－1) =3
则数列{a
n+2a
n－1}是公比为3、首项为a
2+2a
1=15的等比数列。
于是，a
n+2a
n－1=15×3n－1=5×3n 则a
n=－2a
n－1+5×3n

令a
n+x·3n =－2（a
n－1+x·3n－1 ） 则a
n=－2a
n－1－x·3n 故x=－1
于是，a
n－3n =－2（a
n－1－3n－1 ）
从而{a
n－3n }是公比为－2、首项为a
1－3=2的等比数列。
所以，a
n－3n =2×（－2）n－1 则a
n=3n+2×（－2）n－1=3n－（－2）n
当λ=－3且μ=－2时，同理可求得a
n=3n－（－2）n

于是，数列{a
n}的通项公式为a
n=3n－（－2）n


小结：本文只是介绍了几种常见的求数列通项公式的方法，可以看到，求数列（特别是以递
推关系式给 出的数列）通项公式的确具有很强的技巧性，与我们所学的基本知识与技能、基
本思想与方法有很大关系 ，因而在平日教与学的过程中，既要加强基本知识、、基本方法、
基本技能和基本思想的学习，又要注意 培养和提高数学素质与能力和创新精神。这就要求无
论教师还是学生都必须提高课堂的教与学的效率，注 意多加总结和反思，注意联想和对比分
析，做到触类旁通，将一些看起来毫不起眼的基础性命题进行横向 的拓宽与纵向的深入，通
过弱化或强化条件与结论，揭示出它与某类问题的联系与区别并变更为出新的命 题。这样无
论从内容的发散，还是解题思维的深入，都能收到固本拓新之用，收到“秀枝一株，嫁接成< br>林”之效，从而有利于形成和发展创新的思维。