唐筛计算公式数列的概念与通项公式

数列的概念与通项公式
【基本概念】
1．数列、数列的项
按照一定顺序排列着的一列数叫做数列，数列中的每个数叫做这个数列的项．
2．数列的通项公式
数列{a
n
}的第n项与序号n之间的关系可以用一个 公式表示，这个公式叫做这个数列的
通项公式．
3．数列与函数的关系
数列可以看 作是一个定义域为正整数集N
*
或它的有限子集{1,2,3，…，n}的函数，当自
变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．
4．数列可用图象来表示
在直角坐标系中，以 序号为横坐标来表示一个数列．图象是一些相应的项为纵坐标来描
点画图孤立的点，它们位于 第一象限、第四象限或x轴的正半轴.
5．数列的递推公式
如果已知数列{a
n
}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a
n
与它的
前一项a
n
－
1
(或前几项)(n≥2，n∈N
*
)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫
做这个数列的递推公式．
6．通项公式与递推公式的区别与联系

通项公式
递推公式
区别
项a
n
是序号n的函数式a
n
＝f(n)
已知a
1
及相邻项间的关系式
联系
都是数列的一种表示方法，
可求出数列中任意一项
【经典例题】
1.数列的有关概念与分类
例1 已知下列数列：
（1）2019,2019,2019,2019；
n－1
12
（2）0，，，…，，…；
23n
111
（3）1，，，…，
n
－
1
，…；
24
2
－
n1
·n
23
（4）1，－，，…，，… ；
35
2n－1
－
（5）1,0，－1，…，sin
nπ
，….
2
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其中，有穷数列是________，无穷数列是_____ _，递增数列是_______，递减数列是
________，摆动数列是_______，周期数列 是________．(将合理的序号填在横线上)
2.观察法求数列的通项公式
例2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
2
2
－13
2
－14
2
－15
2
－1
1111
（1），－，， －； （2） ，，，；
1×22×33×44×52345
1234
（3）1，2，3，4； （4）9，99，999，9999.
2345
3.数列通项公式的应用
n
2
例3 （1）已知数列{a
n
}的通项公式为a
n＝
2
，试判断0.7是不是数列{a
n
}中的一项？
n＋1
若是，是第几项？
nπ
（2）已知数列{a
n
}的 通项公式为a
n
＝3－2cos.求证：a
m
＋
4
＝
2
a
m
.
4.根据数列的递推公式写出数列的前几项，并归纳通项公式
例4 根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式．
（1）a
1
＝0，a
n
＋
1
＝a
n
＋2n－1 (n∈N
*
)
a
n
（2）a
1
＝1，a
n
＋
1
＝a
n
＋.
n＋1
（3）a
1< br>＝2，a
2
＝3，a
n
＋
2
＝3a
n
＋
1
－2a
n
(n∈N
*
)
【总结提升】
1．数列的通项公式
如果数列的第n项a
n
与n之间的关系可以用一个函数 式a
n
＝f(n)来表示，那么这个公式
叫做这个数列的通项公式．
注意：数列的通项与通项公式是有区别的，前者是函数值，后者是一个函数的解析式．
2．数列与函数的关系
对任一数列{a
n
}，每一项的序号n与这一项a< br>n
的对应关系，可以看成序号集合到另一个
数的集合的映射．因此，从映射、函数的观点 看，数列可以看成是一个定义域为正整数集N
＋
(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的 函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的函
数值(右图)，而数列的通项公式也就是相应函数的解 析式．反过来，对于函数y＝f(x)，如果
f(i)(i＝1,2,3，…，n，…)有意义，那么可 以得到一个数列f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，….
3．数列的表示法
从函数观点看，数列除了可以用通项公式表示外，还有如下表示方法：
(1)列表法(又称列举法)，即通过列举数列的前n项来表示数列的方法．
(2)图象法， 由于数列是定义在正整数集N
＋
(或它的有限子集{1,2,3，…，n})上的函数，
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因此，数列的图象是相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一些孤立的点．
4．通项公式和递推公式的区别
通项公式直接反映a
n
和n之间的关系，即 a
n
是n的函数，知道任意一个具体的n值，
通过通项公式就可以求出该项的值an
；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任
意两个(或多个)相邻项之间的推导 关系，不能由n直接得出a
n
.
5．如何用递推公式给出一个数列
用递推公式给出一个数列，必须给出
①“基础”——数列{a
n
}的第1项或前几项；
②递推关系——数列{a
n
}的任一项a
n
与它的前一项a
n
－
1
(或前几项)之间的关系，并且这
个关系可以用一个公式来表示．

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