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作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-11 13:08
tags:数列公式

单设本科批次-安徽大学分数线


用构造法求数列的通项公式
摘 要:数列问题以其多变的形式和灵活的求解方法备受高考命< br>题者的青睐,历年来都是高考命题的热点,求数列的通项公式更是
高考重点考查的内容,作为常归 的等差数列或等比数列可直接根据
它们的通项公式求解,但也有一些数列要通过构造来形成等差数列或等比数列,之后再应用各自的通项公式求解。
关键词:归纳猜想构造
例1.(200 6年福建高考题)在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1,则
an等于()
a.2n b.2n+1
c.2n-1 d.2n-1
解:an+1 =2an+1,所以an+1+1=2an+2=2(an+1),所以■=2,又
a1+1=2,{a n+1}是首项为2公比为2的等比数列an+1=2·2n-1=2n,
所以an=2n-1,所以选 c.
归纳小结 若数列{an}满足an+1=pan+q(p≠1,q为常数),则令
an +1+?姿=p(an+?姿)来构造等比数列,并利用对应项相等求?姿的
值,求通项公式.
例2.在数列{an}中,a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an,则an= .
解:an+2-an+1=2(an+1-an),因为a2-a1=2,所以{an- an-1}为首项
为2公比也为2的等比数
列,an-an+1=2n-1,an=(an-a n-1)+(an-1-an-2)+…
+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+2+1= ■=2n-1.
归纳小结:先构造{an-1-an}等比数列,这是化归思想的具体应用,
再用叠加法求出通项公式,当然本题也利用了等比数列求和公式。
例3.(必修5教材69页)已知数 列{an}中
a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3),求这个数列的通项公式 .
解:因为an=2an+3an-2,所以an+an-1=
3(an-1+an-2) ,又a1+a2=7,{an+an-1}形成首项为7,公比为3的
等比数列,则an+an-1=7 ×3n-2,①
又an-3an-1=-(an-1-3an-2),
a2-3a1=-1 3,{an-3an-1}形成了一个首项为-13,公比为-1的等比
数列,
则an-3an-1=(-13)·(-1)n-2,②
①×3+②得4an=7×3n-1+13·(-1)n-1,
所以an=■×3n-1+■(-1)n-1.
归纳小结:本题是两次构造等比数列,属于构造方面比较级,最终
用加减消元的
方法确定出数列的通项公式。
例4.(2008四川省高考题)设数列{an}的前项和为s n,若
b·an-2n=(b-1)sn成
立,求证:当b=2时,{an-n·2n-1}是等比数列.
证明:当n=1,b·a1-2=(b-1)a1,
所以a1=2,
又因为b·an-2n=(b-1)·sn,①
所以b·an+1-2n+1=(b-1)·sn+1,②
②-①得b·an+1-b·an-2n=(b-1)·an+1,
所以an+1=b·an+2n,
当b=2时,有an+1=2an+2n,
所以an+1-(n+1)×2n=2an+2n-(n+1)×2n=2·(an-n·2n-1),
又a1-21-1=1,
所以{an-n·2n-1}为首项为1,公比为2的等比数
列,an-n·2n-1=2n-1,
所以an=(n+1)·2n-1.
归纳小结:本 题构造非常特殊,要注意恰当的化简和提取公因式,
本题集中体现了构造等比数列的价值与魅力,同时也 彰显构造思想
在高考中的地位和作用。
例5.数列{an}满足a1=3,an+1=2an+3·2n+1,则an等于()
a.(3n-1)·2n b.(6n-3)·2n-1
c.3(2n-1)·2n+1 d.(3n-2)·2n-1
解:因为an+1=2an+3×2n+1,所以■=■+3,■-■= 3,又■=■,所
以■构成了一个首项为■,公差为3的等差数列,■=■+(n-1)×
3= 3n-■,an=2×2n-1·(3n-■)=(6n-3)×2n-1,所以选b.
归纳小结:构造等比数列,注意形■,当n→n+1时,变为■.
例6.(2006山东高考 题)已知a1=2,点(an,an+1)在函数
f(x)=x2+x的图象上,其中n=1,2,3, …求数列{an}的通项公式.
解:因为f(x)=x2+2x,又因为(an,an+1)在函数图 象
上,an+1=an2+2an,an+1+1=an2+
2an+1=(an+1)2, 所以lg(an+1+1)=2lg(an+1),■=2,因为
lg(a1+1)=lg3,{lg( an+1)}是首项为lg3,公比为2的等比数
列,lgan+1=2n-1·lg3=lg32n- 1,所以an+1=32n-1,an=32n-1-1.
归纳小结:前一个题构造出■为等差数列, 并且利用通项与和的
关系来确定数列的通项公式,后一个题构造{lg(an+1)}为等比数列,再利用对数性质求解。数列与函数的综合运用是当今高考的重点与
热点,因此我们在解决数列问题时 应充分利用函数有关知识,以它
的概念与性质为纽带,架起函数与数列的桥梁,揭示它们之间内在
联系,从而有效地解决数列问题。
例7.数列{an}中,若a1=2,an+1=■,则a4等于()
a.■ b.■
c.■ d.■
解:因为an+1=■,所以■=■=■+3,又■=■,所以■是首项 为■,
公差为3的等差数列.
■=■+(n-1)·3=3n-■=■,
所以an=■,所以a4=■=■,所以选a
归纳小结:an+1=f(an)且为一次分式 型或构造出倒数成等差数列
或构造出倒数加常数成等比数列,发散之后,两种构造思想相互联
系 ,相互渗透,最后融合到一起.
总之,构造等差数列或等比数列来求数列的通项公式,是求通项
公式的重要方法也是高考重点考查的思想,当然题目是千变万化的,
构造方式也会跟着千差万别,要具 体问题具体分析,需要我们反复
推敲归纳,从而确定其形式,应该说构造方法的形成是在探索中前
进,在前进中探索。
作者单位:汉川市第二高级中学数
学组



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