sq1魔方公式构造辅助数列求数列通项公式

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构造辅助数列求数列通项公式

作者：汤英辉

来源：《中学生数理化·学习研究》2016年第05期

求数列的通项公式是高考的重点之一，因此掌握数列通项公式的求法至关重要，本文就 构
造辅助数列求通项公式的几种情况进行论述。
1.递推公式形如：an=pan-1+q（p，q为常数，pq（p-1）（q-1）≠0）。
处理方法：
（1）利用待定系数法变形为an+λ=p（an-1+λ），即构造数 列{an+λ}为公比为p的等比数
列，求出{an+λ}的通项公式，从而求出an。
（2）由an=pan-1+q得an+1=pan+q，则an+1-an=p（an- an-1），即构造等比数列{an+1-
an}，从而求出an。
例1已知数列{an}中，an+1=2an+1，且a1=1，求通项公式an。
解析：因为an+1=2an+1，
所以an+1+1=2（an+1）。
令bn=an+1，则辅助数列{bn}为公比为2的等比数列，所以bn=b1qn-1。
即an+1=（a1+1）2n-1=2n。
所以an=2n-1。
点评：本题通过在递推公式两边同时加1后构造{an+1}为等比数列，从而求出an。
2.递推公式形如：an=pan-1+qn-1（p，q为常数，pq（p-1）（q-1）≠0）。
处理方法：
一般先在两边同时除以qn得：
anqn=pq·an-1qn-1+1q。
（1）若p=q，则数列anqn为等差数列，从而求出an；