课前三分钟演讲-官僚
数列通项公式
—
常见
9
种求法
一、公式法
例
1
已知数列满足，，求数列的通项公式。
解：两边除以，得，则，故数列是
以 为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，
所以数列的通项公式为。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列
是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式 求出，进而求出数列
的通项公式。
二、累加法
例
2
已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由得则
所以数列的通项公式为。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求
出，即得数列的通项公式。
例
3
已知数列满足，求数列的通项公式
解：由得
所以
评注：本题解题的关键是把递推关系式
进而求出
项公式。
例
4
已知数列满足
转化为
，即得数列
，
的通，求数列的通项公式。
解：
故
两边除以，得，则，
因此，则
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，
进而求出，即得数 列
的通项公式，最后再求数列
三、累乘法
例
5
已知数列满足
的通项公式。
，求数列的通项公式。
解：因为，所以，则，故
所以数列的通项公式为
评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而
求出，即得数列的通项公式。
例
6
已知数列
项公式。
解：因为
满足，求的通
①
所以
②
用
②
式－
①
式得则故
所以
③
由，，则，又知
，则，代入
③
得。
所以，的通项公式为
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，
进而求出
的通项公式。
四、待定系数法
例
7
已知数列满足
，从而可得当的表达式，最后再求出数列
，求数列的通项公式。
解：设
④
将
，得
代入
④
式，得
，两边除以
⑤
，得
，等式两边消去
代入
④
式得
由及
⑤
式得，则， 则数列是以
为首项，以
2
为公比的等比数列，则，故。
评注：本题解题的关键是把递推关系式
从而可知数列
的通项公式。
是等比数列，进而求出数列
转化为，
的通项公式，最后再求出数列
例
8
已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设
⑥
将代入
⑥
式，得
整理得。
令，则，代入
⑥
式得
⑦
由及
⑦
式，
得，则，
故数列
因此是以
，则
为首项，以
3
为公比的等比数列，
。
评注：本题解题的关键是把递推关系式
，从而可知数列
出数列的通项公式，最后再求数列转化为
是等比数列，进而求
的通项公式。
例
9
已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设
⑧
将代入
⑧
式，得
，则
等式两边消去，得，
解方程组，则，代入
⑧
式，得
⑨
由及
⑨
式，得
则，故数列为以
为首项， 以
2
为公比的等比数列，因此
，则。
评注：本题解题的关键是把递 推关系式转化为
，从而可知数列
是等比数列，进而求出数列
再求出数列
五、对数变换法
例
10
已知数列满足，，求数列
的通项公式。
的通项公式，最后
的通项公式。
解：因为
常用对数得
，所以
⑩
。在式两边取
设
11
将
⑩
式代入
11
式，得，两边消去
并整理，得，则
，故
代入
11
式，得
12
由及
12
式，
得，
则，
所以数列是以为首项，以
5
为公比的等
比数列，则，因此
则。
评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为
，从而可知 数列
是等比数列，进而求出数列的通项
公式，最后再求出数列
六、迭代法
例
11
已知数列满足
的通项公式。
，求数列的通项公式。
解：因为，所以
又，所以数列的通项公式为。
评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的 通项公式。即先将等式
两边取常用对数得，即，
再由累乘法可推知，从而
。
七、数学归纳法
例
12
已知数列满足，求数列
的通项公式。
解：由及，得
由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。
（
1
）当时，，所以等式成立。
（
2
）假设当时等式成立，即，则当时，
由此可知，当时等式也成立。
根据（
1
），（
2
）可知，等式对任何都成立。
评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前
n
项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。
八、换元法
例
13
已知数列满足，求数列
的通项公式。
解：令，则
故，代入得
即
因为，故
则，即，
可化为，
所以是以为首项，以为公比的等比数
列，因此，则，即，得
。
< br>评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化
形式，从而可知数列为等比数 列，进而求出数列的通项公式，
最后再求出数列
九、不动点法
的通项公式。
例
14
已知数列满足，求数列的通项公式。
解：令
两个不动点。因为
< br>，得，则是函数的
。所以数列
是以为首项，以为公比的等比数列，故，
则。
评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两
个根，进而可推出，从而可知 数列为等比数
列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。
例
15
已知数列满足，求数列的通项公式。
解：令，得，则是函数的不动点。
因为，所以
。
评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化
形式，从而可知数列为等比数列 ，进而求出数列的通项公式，
最后再求出数列
的通项公式。
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