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水管流量计算公式数列通项公式经典例题精析

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-11 13:59
tags:数列公式

高考誓言-南京晓庄师范学院


经典例题精析

类型一:迭加法求数列通项公
解析:∵




将上面


个式子相加得到:
, 当


1.在数列

中,

,,求.




总结升华:
1. 在数列中,,若为常数,则数列
不是等差数列.
的解析式,而
.
时,
.
(),
符合上式

是等差数列;若
不是一个常数,而是关于的式子,则数列
2.当数列的递推公式是形如
可求的,则可用多式累(迭)加法得
举一反三:
【变式1】已知数列

,,
的和是
,求.
【答案】

【变式2】数列

【答案】.
中,

,求通项公式.

类型二:迭乘法求数列通项公式
2.设是首项为1的正项数列,且
. ,求它的通项公式

解析:由题意

∵,∴,


∴,
∴,又,
∴当

时,
时,符合上式


总结升华:
1. 在数列
列;若
中,
.
,若为常数且,则数列
不是等比数列.
是等比数
不是一个常数,而是关于的式子,则数列
的解析关系,而
.
2.若数列有形如
可用多式累(迭)乘法求得
举一反三:
的积是可求的,则
【变式1】在数列

中,,,求.
【答案】

【变式2】已知数列

中,,,求通项公式.
【答案】由得,∴ ,

∴当时,






类型三:倒数法求通项公式


3.数列中,,
时,符合上式


,求.
思路点拨:对两边同除以得即可.
解析:∵,∴两边同除以得,
∴成等差数列,公差为d=5,首项,
∴,

总结升华:
1.两边同时除以
.
可 使等式左边出现关于和的相同代数式的差,右边为
一常数,这样把数列的每一项都取倒数,这又构成一个 新的数列,而恰是
等差数列.其通项易求,先求的通项,再求的通项.
2.若数列有形如的关系,则可在等式两边同乘以,先求
出,再求得.
举一反三:
【变式1】数列

中,,,求.
【答案】

【变式2】数列

中,

,,求.
【答案】

类型四:待定系数法求通项公式
.


4.已知数列中,,,求.
法一:设,解得
即原式化为
设,则数列

为等比数列,且

法二:∵ ①

由①-②得:
设,则数列

为等比数列



法三:,,
,……,


总结升华:
1.一般地,对已知数列

的项满足,(为常数,),
则可设
数 列

转化为求等比数列
,利用已知得即,从而将
的通项.第二种方法利用了递 推关系式作差,构造新的
等比数列.这两种方法均是常用的方法.
2.若数列有形如
求得.
(k、b为常数)的线性递推关系,则可用待定系数法
举一反三:
【变式1】已知数列

中,,求
【答案】令,则,
∴,即
∴,
∴为等比数列,且首项为,公比,
∴,


.
【变式2】已知数列

满足,而且,求这个数列的通项公式.
【答案】∵,∴
设,则,即,
∴数列是以为首项,3为公比的等比数列,
∴,∴.


.
类型五:

.
(1)设
和的递推关系的应用
中,是它的前n项和,并且, 5.已知数列
,求证:数列是等比数列;
(2)设
(3)求数列

解析:
(1)因为
,求证:数列
的通项公式及前n项和.
是等差数列;
,所以
以上两式等号两边分别相减,得


因为
由此可知,数列

所以
所以
, 所以
.
,变形得
,所以
是公比为2的等比数列.
,,
,



(2) ,所以
将 代入得
由此可知,数列是公差为的等差数列,它的首项,
故.
(3)
当n≥2时,

由于
故所求
,所以


也适合此公式,
的前n项和公式是.

总结升华:该 题是着眼于数列间的相互关系的问题,解题时,要注意利用题设的已知条
件,通过合理转换,将非等差、 等比数列转化为等差、等比数列,求得问题的解决利用等差
(比)数列的概念,将已知关系式进行变形, 变形成能做出判断的等差或等比数列,这是数
列问题中的常见策略.
举一反三:
【变式1】设数列首项为
.
(1)求证:数列是等比数列;
1,前n项和满足
(2)设数列
求的通项公式.
的公比为,作数列,使,,
【答案】
(1),

∴,

①-②

∴,
∴是一个首项为1公比为的等比数列;
(2)

∴是一个首项为1公比为的等差比数列


【变式2】若

【答案】当n≥2时,将

整理得
,

(),求.
代入
,

,
两边同除以得 (常数)
∴是以为首项,公差d=2的等差数列,
∴ ,


.
【变式3】等差数列
前n项和

.
中,前n项和,若.求数列的
【答案】∵为等差数列,公差设为,



,
,
,
若,则, ∴.





①-②得



类型六:数列的应用题
,∴

,
,





6.在一直线 上共插13面小旗,相邻两面间距离为10m,在第一面小旗处有某人把
小旗全部集中到一面小旗的位置 上,每次只能拿一面小旗,要使他走的路最短,应集中到哪
一面小旗的位置上?最短路程是多少?

思路点拨: 本题求走的总路程最短,是一个数列求和问题,而如何求和是关键,应先< br>画一草图,研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程,然后求和.
解析:设将旗集中到第x面小旗处,则
从第一面旗到第面旗处,共走路程为了
回到第二面处再到第面处是,

回到第三面处再到第面处是


从第面处到第
从第面处到第

总的路程为:

面处取旗再回到第面处的路程为,
面处取旗再回到第面处,路程为20×2,

∵,∴时,有最小值
答:将旗集中到第7面小旗处,所走路程最短.
总结升华:本题属等差数列应用问题,应用等差数列前项和公式,在求和后,利用二
次函数求最短路程.
举一反三:
【变式1】某企业2007年12月份的产值是这年1月份产值的
年度产值的月平均增长率为( )
倍,则该企业2007年
A. B. C. D.

【答案】D;
解析:从2月份到12月份共有11个月份比基数(1月份)有产值增长,设为,


【变式2】某人2006年1月31日存入若干万元人民币,年利率为
1月3 1日取款时被银行扣除利息税(税率为)共计
,到2007年

元,则该人存款的本金为
( )
A.1.5万元 B.2万元 C.3万元 D.2.5万元

【答案】B;
解析:本金利息/利率,利息利息税/税率



【 变式3】根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的个月内累积的需求量
利息
本金(元),
(元)
(万件)近似地满足
需求量超过万件的月份是( )
.按比例预测,在本年度内,
A.5月、6月 B.6月、7月 C.7月、8月 D.9月、10月

【答案】C;
解析:第个月份的需求量超过万件,则

解不等式,得,即.


【变式4】某种汽车购买时的费用为10万元,每年应交保险费、养路费及汽油费合计9
千元,汽车的维修费平均为第一年2千元,第二年4千元,第三年6千元,依次成等差数列
递增 ,问这种汽车使用多少年后报废最合算?(即年平均费用最少)

【答案】设汽车使用年限为年,为使用该汽车平均费用.

当且仅当,即(年)时等到号成立.
因此该汽车使用10年报废最合算.

【变式5】某市2006年底有住房面积1200万平方米,计划从2007年起,每年拆除20< br>万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.
(1)分别求2007年底和2008年底的住房面积;
(2)求2026年底的住房面积.(计算结果以万平方米为单位,且精确到0.01)

【答案】
(1)2007年底的住房面积为1200(1+5%)-20=1240(万平方米),
2008年底的住房面积为1200(1+5%)
2
-20(1+5%)-20=1282(万 平方米),
∴2007年底的住房面积为1240万平方米;
2008年底的住房面积为1282万平方米.
(2)2007年底的住房面积为[1200(1+5%)-20]万平方米,
2008年底的住房面积为[1200(1+5%)
2
-20(1+5%)-20]万平方米,
2009年底的住房面积为[1200(1+5%)
3
-20(1+5%)
2
-20(1+5%)-20]万平方米,
…………
2026年底的住房面积为[1200(1+5%)
20
―20(1+5%)
19―……―20(1+5%)―20] 万平
方米
即1200(1+5%)20
―20(1+5%)
19
―20(1+5%)
18
―……― 20(1+5%)―20

≈2522.64(万平方米),
∴2026年底的住房面积约为2522.64万平方米.

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