平行板电容公式数列找规律万能公式教学文案

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数列找规律公式
数列找规律用拉格朗日插值。拉格朗日“提出”了这种方 法，所谓的插值，就是“插”“值”，就
是指找出一个通过给出离散数据点的函数。即，数列中给出数据 可以表示为在坐标系上的点，
x坐标就是第几项，y坐标就是该项的值。
比如说，“1 ，3， 7， 8， 0， 5， 9， 2， 4， 6”这个数列可以表示为：

在Mathematica中用几行简单的代码即可做到：

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接下来，我们找出这些点都在哪一个函数上面，接着下来把下一项的项数带进去，就 得到了
下一项的值——这实际上就是通项公式！
事不宜迟，马上来试一试！
首先，我们先来看看拉格朗日插值公式是怎么样的：



好吧，我知道小学生又看不懂了。
那下面我们先试一一个简单的数列：1、8、27…那下一个是什么呢？
首先，这表示存在一 个函数。当自变量分别为1、2、3时函数值为1、8、27。于是我们可
以设一个函数：

接下来就是关键的一步了！小学生可以不懂这是怎么回事。但有什么问题？考试会用就行了
（如 果你不介意再解释一下一些其他的问题...比如未知数、自变量和分数的运算）。
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容易看到，整个式子是三项的和，每一个点都有一 项。对于每一个单独的点来说，分子是这
一点的函数值乘上x与其他点的自变量的差。而分母就是该店的 自变量和其他点的自变量的
差的积。
于是，一个通项公式就出来了。是
于是我们迫不及待地把x=4带进去，得到58.
至此，大功告成。
等等，什么答 案写着是64？别管了，肯定是盗版书印错答案了。有什么可能拉格朗日大牛
会错呢？
什么， 我们的规律不对？正确的是y=x^3?好的，让我看看。嗯…难道是拉格朗日错了？但
是前面我们的估 算也是没问题的啊。
再仔细看一下坑爹的高数课本，才发现原来是我们一直搞错了。如果我们给的是n 个点，那
么拉格朗日给出的函数将会是(n-1)次的。
这不坑爹吗…用公式之前还得想清楚 这个函数是几次的，而且如果是更高次数的还没办法加
上点去求（更别说斐波那契数列这样的用递归定义 的数列了）。
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这就意味着，就算是1、2、3、4、5、6… 这样的数列，拉格朗日插值法在耗尽你大量的考
试时间去求出通项公式以后，还会给出一个超级坑爹的答 案！
那么这个方法还有什么用！
别急，前面的计算都是为后面做铺垫的。现在才是主要内容。
无论是分布得多么奇怪的点，拉 格朗日插值法总能给出一条经过这些点的函数图象。也就是
说，就算是1、2、3、4、5、6、（15 68）这样明显不靠谱的答案也是“有规律的”。因为你
总可以设一个六次多项式，找出这个数列的通项 公式。
所以说：
1、3、5、7、9、（1598），是对的
3、1、4、1、5、9、2、（999），是对的
1，1，2，3，5，7，（8989），是对的
2，4，6，8，（5），是对的
如果老师斗胆把你的答案批错的话，你大可以把这篇文章打印出来，然后跟老师说：“这个
空填任何数 都是可以的，因为你总可以设一个n次多项式，然后……”

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