抄底逃顶指标公式数列中递推关系求通项公式(构造法)

龙源期刊网 http:
数列中递推关系求通项公式（构造法）

作者：张亦新

来源：《文理导航》2018年第17期

【摘 要】数列在高考中分值占比较高，已知递推关系求通项公式，出现的频率较高。本
文对数列已知递 推关系求通项公式，采用构造法进行分析、研究、归类、拓展，能够有效提高
学生解题的能力，从而促使 学生逻辑思维更加严密，培养良好的思维习惯和素养。
【关键词】数列；递推关系；通项公式；构造法
求数列通项公式是高考重点考查的内 容，中学数学课本中，只有等差数列与等比数列可以
直接利用公式求通项，有些数列提供递推关系可通过 构造转化为等差或等比数列，利用等差或
等比的通项公式，求得原数列的通项公式，体现化归转化思想在 数列中的灵活应用。
解决数列问题过程中，定向思考由条件到结论，有时这种思维方 式难以寻找到解题途径。
此时，需要换角度思考，设法绕过障碍。数列中构造法本质就是将未知关系转化 为已知的等差
或等比关系，是根据已知条件的特征，构造出新的数学模型，从而使问题简化，体现发散思
维。本文就数列中已知递推关系采用构造法求通项公式，进行总结、归类、拓展。
1.已知递推关系a =p·a +f（n）（本文中都满足p为常数且p≠0，p≠1）求通项
1.1已知递推关系中f（n）=q（q为常数）求通项
例1：已知数列{a }中，a =-1，a =3a +1，求通项公式a 。
本例构造法思想就是设法将常数1分解到a 与a 上去，可采用待定系数法，设每项分到
x，即a +x=3（a +x），化简得a =3a +2x，与原式对比解得x= ，这说明{a + }为等比数列，所
以a + =- ·3 ，从而得a =- ·3 - 。
递推关系形如a =p·a +q，可构造a - =p（a - ），即{a - }为等比数列，从而求得通项a 。
1.2已知递推关系中f（n）=A·n+B求通项
例2：已知数列{a }中，a =-1，a =3a +2n+1，求通项公式a 。
本例可设a +x·（n+1）+y=3（a +x·n+y），化解后a =3a +2x·n+2y-x，对比原式解方程组
得到x=1，y=1，即{a +n+1}为首项1公比3的等比数列，所以a +n+1=3 ，从而a =3 -n-1。
龙源期刊网 http:
递推关系形如a =p·a +A·n+B，构造{a +x·n+y}成等比数列，通过待定系数法可求得x，
y。同理，a =p·a +f（n），f（n）为二次函数，三次函数，都可类似构造。
1.3已知递推关系中f（n）=p 求通项
例3：已知数列{a }中，a =-1，a =3a +3 ，求通项公式a 。
本例特点系数3与底数一样，等式左右同除以3 ，得到 = +1，这说明{ }为等差数列，所
以 =n- ，从而a =（n- ）·3 。
递推关系形如a =p·a +A·p ，可构造{ }成等差数列，通过等差数列公式可求得通项a 。
1.4已知遞推关系中f（n）=q 求通项
例4：已知数列{a }中，a =-1，a =3a +2 ，求通项公式a 。
本例特点系数3与底数2不同，可将等式左右同除以2 ，得到 = · +1，可设b = ，则b = ·b
+1，用例1方法解得b =（ ） -2，从而求得a =3 -2 。
也可将2 分解到a 与a 上，设a +x·2 =3（a +x·2 ），得a =3a +x·2 ，对比原递推关系
x=2，即{a +2·2 }为等比数列，所以a +2·2 =3 ，得a =3 -2 。
递推关系形如a =p·a +A·q ，可两边除以q ，转化为例1形式构造成等比数列；也可直接
利用待定系数法设成a +x·q =p（a +x·q ），构造{a +x·q }成等比数列，对比原式求得x，从而
利用等比数列通项公式，求出通项a 。
1.5已知递推关系中f（n）=A·q +B·n+C求通项
例5：已知数列{a }中，a =-1，a =3a +2 +2n+1，求通项公式a 。
本例可设a +x·2 +y·（n+1）+z=3（a +x·2 +y·n+z），化解后，a =3a +x·2 +2y·n+2z-y，解
得x=2，y=1，z=1，即构造{a +2·2 +n+1}为等比数列，求得a +2·2 +n+1=3 ，解得a =3 -2 -n-
1。
递推关系形如a =p·a +A·q +B·n+C，构造{a +x·q +y·n+z}成等比数列，利用待定系数法可
求x，y，z，从而求出通项a 。
2.已知二阶线性递推关系，求通项
2.1已知递推关系a =A·a +B·a （A，B为常数，且A≠0，B≠0以下相同）求通项
龙源期刊网 http:
例6：已知数列{a }中，a =-1，a =1，a =4a -3a ，求通项公式a 。
可设a +x·a =y·（a +x·a ），化解后a =（y-x）·a +xy·a ，对比已知递推关系， y-x=4，解
得 x=-1，或
x·y=-3 y=3
x=-3
y=1两组解的意思是两种分解方式。第一种分解得a -a =3（a -a ），这说明{a -a }为等比
数列，a -a =2·3 ，利用累加法可得a =3 -2；第二种分解方式得a -3a =a -3a ，{a -3a }首项为4
公比为1的等比数列，或者首项为4公差为0的等差数列，得到a -3a =4，转化为例1的问
题，可得a =3 -2。两种分解得到的结果是一致的，因此解题时只需一种即可。
（下转第29页）（上接第27页）
递推关系形如a =A·a +B·a 可构造成{a +x·a }成等比数列，得到的结果为a =-x·a +A·q ，可
利用例4的方式求解。
2.2已知递推关系a =A·a +B·a +C·n+D求通项
例7：已知数列{a }中，a =-1，a =1，a =5a -6a +2n-3，求通项公式a 。
设 =t，得a =（t-x）a +tx·a +（ty-y）·n+tz-z-y，对比已知得
t-x=5， x=-2或 x=-3，
t·x=-6 t=3 t=2
ty-y=2 y=1 y=2
tz-z-y=-3 z=-1 z=-1两组解表示两组分
解，第一种分解可得{a -2a +n-1}为等比数列，a -2a +n-1=3 ，得到a =2a +3 -n+1，转化为
例5的形式，可构造{a -3 -n}为等比数列，可得a =3 -5·2 +n。对于第二种分解，同理可得同样
的结果。
递推关系形如a =A·a +B·a +C·n+D，可构造{a +x·a +y·n+z}成等比数列，得形如a =p·a
+A·q +B·n+C，变为例5同类，构造{a +x·q +y·n+z}成等比数列，从而求得a ，需要二次构
造。
龙源期刊网 http:
3.已知分式递推关系，求通项
3.1递推关系形如a = ，求通项
例8：已知数列{a }中，a =-1，a = ，求通项公式a 。
本例特点是分子仅含a 的项，且系数与分母常数相同，通过倒数得到 = + ，构造{ }成等差
数列，求得a = 。
递推关系形如a = ，可通过倒数，构造{ }成等差数列，从而求得通项a 。
3.2递推关系形如a = ，求通项
例9：已知数列{a }中，a =-1，a = ，求通项公式a 。
本例倒数之后可得 = · + =，设b = ，则b = b + ，形如例1形式，可求得b =1-2·3 ，从而a
= 。
递推关系形如a = ，可通过倒数，构造{ +X}成等比数列，求得通项a 。
3.3递推关系形如a = （C≠0且AD-BC≠0），求通项
可利用不动点进行构造，设特征方程x= ，解得方程的根，根据根的情况进行构造，分为
有两个不同的 实根与两个相同的实根两种情况，如下进行分类：
3.3.1特征方程有两个不同实根
例10：已知数列{a }中，a =2，a = ，求通项公式a 。
设特征方程x= ，解得两根为1与-1，则可设 =t· ，（t为常数），根据已知关系，可得a
= ，将a ，a 代入得到t=-3，这说明{ }是首项为3公比为-3的等比数列， =-（-3） ，解得a
= 。
递推关系形如a = ，如果特征方程x= 有两不同实根α，β，可构造{ }成等比数列，公比可
由第一与第二项求得，利用等比数列通项公式，解出通项a 。
3.3.2特征方程有两个相同实根
例11：已知数列{a }中，a =2，a = ，求通项公式a 。
龙源期刊网 http:
设特征方程x= ，解得两相同根x=- ，则可设 = +t，根据已知关系a = ，将a ，a 代入得到
t=1，这说明{ }是首项为 公差为1的等差数列，所以 =n- ，从而解得a = 。
递推关系形如a = ，如果特征方程x= 有两相同实根α，可构造{ }成等差数列，公差可由
第一与第二项求得，利用等差数列通项公式，解出通项a 。
本文通过研究三类数列递推关系，构造求得通项，归纳总结方法。深刻理解递推公式与通
项公式概念，有 利于优化思维品质，提高逻辑能力；在数列课的教学中，引导学生运用构造法
求通項，不仅能提高学生的 解题能力，更重要是通过这种解题方法可丰富学生的想象力，培养
学生的创造性思维能力。
数列递推公式转换为通项公式，观察、分析，合理变形，是成功构造新数列的关键。它的
本质就是将递推 关系转化为等差或等比数列，化繁为简、把未知转化为已知、从不熟悉到熟
悉，这是解答数学问题的共性 。
【参考文献】
[1]任志鸿.高中总复习优化设计[M].知识出版社，2016年12月
[2]王朝银.步步高高考总复习数学[M].黑龙江教育出版社，2017年2月