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新课标高考由递推公式求数列通项的八大常见形式
对于递推公式确定的数列的求解,通常可以 通过递推公式的变换,转化为等差数列或等
比数列问题,有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列称辅 助数列法。
1. 递推公式为(其中p,q均为常数,
)。
解法:把原递推公式转化为:
其中
例1. 已知数列
,再利用换元法转化为等比数列求解。
中,,求。
2.
可构造为形如
型递推式
的等比数列。
例5. 在数列中,,求通项公式。
,解:原递推式可化为
,上式即为是一个等比数列,首项
,比较系数可得:
,公比为。
所以。
即,故为所求。
3.
(1)可构造为形如
(A、B、C为常数,下同)型递推式
的等比数列。
(其中p,q均为常数,类型4 递推公式为
)。
(2)可构造为形如
引入辅助数列
(其中),得:
再应用类型1的方法解决。
例1. 已知数列中,,求。
例2. 已知数列中,,求。
4.=p+q (p、q均为常数)(二阶递归)
=p
{-
+q -=(-)∴解出、因此
}是G.P
型
特殊地
分析:∵
∴
∴
例1、,
是以
,
为首项,公比为
的等比数列
,求
例2:a
1
=1,a
2
= =-,求数列{}的通项公式。
-=(-)解得:=1、=
-=(-), a
2
-a
1
= ∴-= ∴
(-)+┈+(a
2
-a
1
)+a
1
=++┈++1=3-.
5.等差数列:
由此推广成差型递推关系:
累加:
= ,于是只要可以求和就行。
递推公式为
解法:把原递推公式转化为,
(特殊情形:⑴.(差后等差数列)⑵
利用累加法求解。
例1.已知{}满足,且,求
例2.已知{}满足,且,求
例3.已知{}满足,且,求
例4. 已知数列满足,求。
6.等比数列: 递推公式为
累乘:
类型2递推公式为
=(-)+
∴=3-
)(差后等比数列)
解法(1)
把原递推公式转化为,利用累乘法求解。
例1.已知{
例2.已知{
}满足
}满足
,且,求
,且
,求
例3.. 已知数列满足,求。
7.倒数变换法:
形如 (为常数,且)的递推公式,可令
。则可转化为型;
例1:数列中,且,,求数列的通项公式.
8.对数变换法:
1.
递推式两边同取对数,得
令,则
,已转化为“型”,由累乘相
消法可得
满足,求。
例、已知
数列
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本文更新与2020-09-11 14:16,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/392272.html
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