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四阶魔方特殊公式等差数列三个公式及其应用 《举一反三》四年级奥数教案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-11 14:28
tags:数列公式

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《举一反三》四年级奥数教案
一、教学内容:举一反三P39--P43
二、教学目标:等差数列三个公式及其应用
1、求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2
2、项数公式:项数=(末项-首项)×公差+1
3、通项公式:第N项=首项+(项数-1)×公差
三、教学难点:根据已知量和未知量,确定使用公式。
四、教学设计:
1、复习上节课内容。
2、由高斯小故事引入新课
【P41例题3】有这样一个数列: 1、2、3、4…99、100,请求出这个数列所
有项的和。
【分析】:如果我们把1、2 、3、4…99、100与列100、99…3、2、1相加,
则得到(1+100)+(2+99)+ (3+98)+…+(99+2)+(100+1),其中每个小
括号内的两个数的和都是101,一共 有100个101相加,所得的和就是所求数列的
和的2倍,再除以2,就是所求数列的和。
1+2+3+…+99+100=(1+100)×100÷2=5050
总结:上面的数列 是一个等差数列,经研究发现,所有的等差数列都可以用
下面的公式求和:等差数列总和=(首项+末项 )×项数÷2
这个公式也叫做等差数列求和公式。
那么我们来看看,什么叫数列,什么又是等差数列?【P39】
若干个数排成一列称为数列。 数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为
首项,最后一项称为末项。数列中项的个数称为项数。从第 二项开始,后项与其
相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,(即任意相邻两个数的差是一定
的),后项与前项的差称为公差。
关于等差数列求和的问题,我们需要记住三个公式,即求和公式、 通项公式
和项数公式。这也是我们这节课的重点。
前面我们得出的是求和公式。
练习:疯狂操练3:(1)、(2)


3、接下来我们来学习另外两个公式:“通项公式”和“项数公式”。
I、项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1
【例题1】有一个数列:4、10、16、22…52,这个数列共有多少项?
【分析】仔细 观察可以发现,后项与其相邻的前项之差都是6,所以这是
一个以4为首项,以公差为6的等差数列,根 据等差数列的项数公式即可解答。
由等差数列的项数公式:项数=(末项- 首项)÷公差+1,可得,项数=(52-
4)÷6+1=9,即这个数列共有9项。
练习:疯狂操练1(1)、(2) 、(3)

II、通项公式:第n项=首项+(项数-1)×公差
【例题2】有一等差数列:3,7,11,15…这个等差数列的第100项是多少?
【分析 】仔细观察可以发现,后项与其相邻的前项之差等于4,所以这是一
个以3为首项,以公差为4的等差数 列,根据等差数列的通项公式即可解答。
由等差数列的通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差,可得,
第100项=3+4×(100-1)=399.
练习:疯狂操练2(1)、(2)
总结:在等差数列中,只要知道首项、末项、项数、公差这四个量中的三个,
就可以利用三个公式求出 第四个。

4、综合练习。
【例题4】求等差数列2,4,6…48,50的和。
【分析】仔细观察数列中的特点,相邻两个数都相差2,所以可以用等差数
列的求和公式来求。
因为首项是2,末项是50,公差是,2,所以,项数=(50-2)÷2+1=25。
再根据等差数列的求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2,解出
2+4+6+8+…+50=(2+50)×25÷2=650。
练习:疯狂操练4(1)、(2)
总结:在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和 时,应先求出项数,
然后再利用等差数列求和公式求和。


5、能力升级。
【例题5】计算(2+4+6+…+100)-(1+3+5+…+99)
【分析】方法一:仔细观察算式中的被减数与减数,可以发现它们都是等差
数列相加,根据题意 可以知道首项、末项和公差,但并没有给出项数,这需要我
们求项数,按照这样的思路求得项数后,再运 用求和公式即可解答。
被减数的项数=(100-2)÷2+1=50,所以被减数的总和=(2+1 00)×50÷2=2550;
减数的项数=(99-1)÷2+1=50,所以减数的总和=(1+9 9)×50÷2=2500。
所以原式=2550-2500=50。

方法二:进一步分析还可以发现,这两个数列其实是把1 ~ 100这100个数
分成了奇数 与偶数两个等差数列,每个数列都有50个项。因此,我们也可以把这
两个数列中的每一项分别对应相减 ,可得到50个差,再求出所有差的和。
(2+4+6+…+100)-(1+3+5+…+99)
=(2-1)+(4-3)+(6-5)+…+(100-99)
=1+1+1+…+1
=50
练习:疯狂操练5(1)

6、作业:
P42疯狂操练4(2)
P42疯狂操练4(3)
P43疯狂操练5(2)


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