四阶魔方特殊公式等差数列三个公式及其应用 《举一反三》四年级奥数教案

《举一反三》四年级奥数教案
一、教学内容：举一反三P39--P43
二、教学目标：等差数列三个公式及其应用
1、求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2
2、项数公式：项数＝（末项－首项）×公差＋1
3、通项公式：第N项＝首项＋（项数－1）×公差
三、教学难点：根据已知量和未知量，确定使用公式。
四、教学设计：
1、复习上节课内容。
2、由高斯小故事引入新课
【P41例题3】有这样一个数列： 1、2、3、4…99、100，请求出这个数列所
有项的和。
【分析】：如果我们把1、2 、3、4…99、100与列100、99…3、2、1相加，
则得到（1+100）+（2+99）+ （3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小
括号内的两个数的和都是101，一共 有100个101相加，所得的和就是所求数列的
和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。
1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050
总结：上面的数列 是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用
下面的公式求和：等差数列总和=（首项+末项 ）×项数÷2
这个公式也叫做等差数列求和公式。
那么我们来看看，什么叫数列，什么又是等差数列？【P39】
若干个数排成一列称为数列。 数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为
首项，最后一项称为末项。数列中项的个数称为项数。从第 二项开始，后项与其
相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，（即任意相邻两个数的差是一定
的），后项与前项的差称为公差。
关于等差数列求和的问题，我们需要记住三个公式，即求和公式、 通项公式
和项数公式。这也是我们这节课的重点。
前面我们得出的是求和公式。
练习：疯狂操练3：（1）、（2）


3、接下来我们来学习另外两个公式：“通项公式”和“项数公式”。
I、项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1
【例题1】有一个数列：4、10、16、22…52，这个数列共有多少项？
【分析】仔细 观察可以发现，后项与其相邻的前项之差都是6，所以这是
一个以4为首项，以公差为6的等差数列，根 据等差数列的项数公式即可解答。
由等差数列的项数公式:项数=(末项- 首项)÷公差+1,可得,项数=（52－
4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。
练习：疯狂操练1(1)、(2) 、(3)

II、通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差
【例题2】有一等差数列：3，7，11，15…这个等差数列的第100项是多少？
【分析 】仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差等于4，所以这是一
个以3为首项，以公差为4的等差数 列，根据等差数列的通项公式即可解答。
由等差数列的通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差,可得,
第100项=3+4×（100－1）=399.
练习：疯狂操练2(1)、(2)
总结：在等差数列中，只要知道首项、末项、项数、公差这四个量中的三个，
就可以利用三个公式求出 第四个。

4、综合练习。
【例题4】求等差数列2，4，6…48，50的和。
【分析】仔细观察数列中的特点，相邻两个数都相差2，所以可以用等差数
列的求和公式来求。
因为首项是2，末项是50，公差是,2，所以,项数=（50－2）÷2+1=25。
再根据等差数列的求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2,解出
2+4+6+8+…+50=(2+50)×25÷2=650。
练习：疯狂操练4(1)、(2)
总结：在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和 时,应先求出项数,
然后再利用等差数列求和公式求和。


5、能力升级。
【例题5】计算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）
【分析】方法一：仔细观察算式中的被减数与减数，可以发现它们都是等差
数列相加，根据题意 可以知道首项、末项和公差，但并没有给出项数，这需要我
们求项数，按照这样的思路求得项数后，再运 用求和公式即可解答。
被减数的项数=(100-2)÷2+1=50，所以被减数的总和=(2+1 00)×50÷2=2550;
减数的项数=(99-1)÷2+1=50,所以减数的总和=(1+9 9)×50÷2=2500。
所以原式=2550-2500=50。

方法二：进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1 ～ 100这100个数
分成了奇数 与偶数两个等差数列，每个数列都有50个项。因此，我们也可以把这
两个数列中的每一项分别对应相减 ，可得到50个差，再求出所有差的和。
（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）
=（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（100－99）
=1+1+1+…+1
=50
练习：疯狂操练5(1)

6、作业：
P42疯狂操练4（2）
P42疯狂操练4（3）
P43疯狂操练5（2）