和差问题公式等差数列求和公式推导方法

等差数列求和公式推导方法
有很多喜欢学习数学的同学，是非常的想知道，等差数列求和公式推导
方法是什幺，小编整理了相关信息，西瓦会对大家有所帮助！

1 等差数列求和公式是怎幺推导的一。从通项公式可以看出，a(n)是 n 的一
次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前 n 项和公式知，
S(n)是 n 的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为 0。
二。从等差数列的定义、通项公式，前 n 项和公式还可推出：a(1)+a(n)
=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…
=a(k)+a(n-k+1) ，(类似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。。。=p(k)+p( n-
k+1))，k∈{1,2,…,n}
三。若 m，n，p，q∈N*，且 m+n=p+q，则有 a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)
=(2n-1)*a(n)，S(2n+1)=
(2n+1)*a(n+1)，S(k)， S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)*k-S(n-1)*k…成等
差数列，等等。
若 m+n=2p,则 a(m)+a(n)=2*a(p)
(对 3 的证明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+ b(1)*(m+n)
p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q= 2*b(0)+b(1)*(p+q);因为 m+n=p+q，所以
p(m)+p(n)=p(p)+p
(q))
其他推论
①和=(首项+末项)×项数÷2
(证明：s(n)=[n,n ]*[1,12;0,12]*[b(0);b(1)]=n*b0+12*b1*n+12*b1*n
(p(1)+p(n))*n2=(b(0)+b(1)+b(0)+b(1)*n)*n2=n*b0+12* b1*n+12*b1*n =s(n))
证明原理见高斯算法
项数=(末项- 首项)÷公差+1
(证明：(p(n)-p(1))b(1)+1=(b(0)+b(1)*n-( b(0)+b(1)))b(1)+1=(b(1)*(n-1))b(1)
+1=n-1+1=n)
②首项=2x 和÷项数-末项或末项-公差×(项数-1)
③末项=2x 和÷项数- 首项
(以上 2 项为第一个推论的转换)
④末项=首项+(项数-1)×公差
(上一项为第二个推论的转换)
推论 3 证明
若 m，n，p，q∈N*，且 m+n=p+q，则有 a(m)+a(n)=a(p)
+a(q)
如 a(m)+a(n)=a(1)+(m-1)*d+a(1)+(n-1)*d
=2*a(1)+(m+n-2)*d
同理得，
a(p)+a(q)=2*a(1)+(p+q-2)*d
又因为
m+n=p+q;
a(1),d 均为常数
所以
若 m，n，p，q∈N*，且 m+n=p+q，则有 a(m)+a(n)=a(p)+a(q)
若 m，n，p∈N*，且 m+n=2p，则有 a(m)+a(n)=2a(p)
注：1。常数列不一定成立
2。m,p,q,n 属于自然数
⑤2(前 2n 项和-前 n 项和)=前 n 项和+前 3n 项和-前 2n 项和
1 等差数列求定义等差数列是常见数列的一种，可以用 AP 表示，如果一个
数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫
做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母 d 表示。例如：
1,3,5 ,7,9……（2n-1)。等差数列{an}的通项公式为：an=a1+(n-1)d。前 n 项和
公式为：Sn=n*a1+n(n-1)d2 或 Sn=n(a1+an)2。注意：以上 n 均属于正整数
1 等差数列求和方法 1、公式法

2、错位相减法

3、倒序相加法

4、分组法

5、裂项相消法

6、数学归纳法

7、通项化归法
先将通项公式进行化简，再进行求和。
如：求数列 1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前 n 项和。此时先将 an 求出，
再利用分组等方法求和。
8、[标签:内容]