商的公式构造法求数列的通项公式

构造法求数列的通项公式

利津二中 刘志兰
在数列求通项的有关问题 中，经常遇到即非等差数列，又非等比数列的
求通项问题，特别是给出的数列相邻两项是线性关系的题型 ，在老教材中，
可以通过不完全归纳法进行归纳、猜想，然后借助于数学归纳法予以证明，
但新 教材中，由于删除了数学归纳法，因而我们遇到这类问题，就要避免用
数学归纳法。这里我向大家介绍一 种解题方法——构造等比数列或等差数列
求通项公式。

构造法就是在解决某些数 学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖
析，有时会联想出一种适当的辅助模型，以此促成命题转换 ，产生新的解题
方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式
要 求出该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一
新的感觉. 供参考。

1、构造等差数列或等比数列

由于等差数列与等比数列的通项公式 显然，对于一些递推数列问题，若
能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.

例1 设各项均为正数的数列
都有等式：
的前n项和为S
n< br>，对于任意正整数n，
成立，求

的通项
a
n
.
解：


即
，∵

是以2为公差的等差数列，且

∴

例2 数列中前n项的和

解：∵

当n≥2时，
， ∴

，∴.
.

，求数列的通项公式


.



令，则

是以为公比的等比数列，

∴.

，且


2、构造差式与和式

解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后 采用迭加的
方法就可求得这一数列的通项公式.

例3 设是首项为1的正项数列，且
∈N*），求数列的通项公式
a
n
.



解：由题设得

∵，

∴



，∴.
.
，（n
.

例4 数列中，，且
∈N*），求通项公式
a
n
.


解：∵




，（n

∴（n
∈N*）

3、构造商式与积式

构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方
法.

例5 数列
解：



∴

∴

，
中，，前n项的和

，求.


4、构造对数式或倒数式

有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使
问题得以解决.

例6 设正项数列满足，
项公式.

，
，则

是以2为公比的等比数列，

，

∴
，

.
，
（n≥2）.求数列的通
解：两边取对数得：，设

例7 已知数列中，，n≥2时

，求通项公式.
解：∵，两边取倒数得

可化为等差数列关系式.



∴

.