五险一金计算公式《运用公式法》教学设计

《运用公式法》教学设计
●教学目标
（一）教学知识点
1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；
2.使学生掌握用平方差公式分解因式.
3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解
因式.
（二）能力训练要求
1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力.
2.训练学生对平方差公式的运用能力.
（三）情感与价值观要求
在引导学生逆用 乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元
的思想方法.
●教学重点
让学生掌握运用平方差公式分解因式.
●教学难点
将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的
能力.
●教学方法
引导自学法
●教具准备
投影片两张
第一张（记作§12.3 A）
第二张（记作§12.3 B）
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
［师］在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项 式分解成几个整式的
积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的 因式，
即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式.
如果 一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，
只要我们记住因式分解是 多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的
方法，本节课我们就来学习另外的一种因 式分解的方法——公式法.
Ⅱ.新课讲解
［师］1.请看乘法公式
（
a
+
b
）（
a
－
b
）=
a
2
－
b
2
（1）
左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是
a
2
－
b
2
=（
a
+
b
）（
a
－
b< br>） （2）
左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式 子从左边到右边是否
是因式分解？
［生］符合因式分解的定义，因此是因式分解.
［师］对，是利用平方差公式进行的因式分解.第（1）个等式可以看作是整式乘法中
的平方差公式，第 （2）个等式可以看作是因式分解中的平方差公式.
2.公式讲解
［师］请大家观察式子< br>a
2
－
b
2
,找出它的特点.
［生］是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差.
［师］如 果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因
式，分解成两个整式的和与差 的积.
如
x
－16=（
x
）－4=（
x
+4）（
x
－4）.
9
m
2
－4
n
2
=（3
m
）
2
－（2
n
）
2

=（3
m
+2
n
）（3
m
－2
n
）
3.例题讲解
［例1］把下列各式分解因式：
（1）25－16
x
2
;
（2）9
a
2
－
1
2
b
.
4< br>222
222
解：（1）25－16
x
=5－（4
x
）
=（5+4
x
）（5－4
x
）;
（2）9
a
2
－
=（3
a
+
1
2
1

b
=（3
a
）
2
－（
b
）
2

42
11
b
）（3
a
－
b
）.
22
［例2］把下列各式分解因式:
（1）9（
m
+
n< br>）
2
－（
m
－
n
）
2
;
（2）2
x
3
－8
x
.
解：（1）9（
m
+
n
）
2
－（
m－
n
）
2

=［3（
m
+
n
）］
2
－（
m
－
n
）
2

=［3（
m
+
n
）+（
m
－
n
）］［3（
m
+
n
）－（
m
－
n
）］
=（3
m
+3
n
+
m
－
n
）（3
m
+3
n
－
m
+
n
）
=（4
m
+2
n
）（2
m
+4
n
）
=4（2
m
+
n
）（
m
+2
n
）
（2）2
x3
－8
x
=2
x
（
x
2
－4）
=2
x
（
x
+2）（
x
－2）
说明： 例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因
式；例2的（1）是把一个 二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式，
例2的（2）是先提公因式，然后再用平 方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用
提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提 公因式法，再考虑公式法.
补充例题
投影片（§12.3 A）
判断下列分解因式是否正确.
（1）（
a
+
b
）－
c
=
a
+2
ab
+
b
－
c
.
（2）
a
4
－1=（
a
2
）
2
－ 1=（
a
2
+1）·（
a
2
－1）.
［生］解：（1）不正确.
本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是 整式乘积的形式，
但（1）中还是多项式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进行因式分解.
（2）不正确.
错误原因是因式分解不到底，因为
a
2
－1还能继 续分解成（
a
+1）（
a
－1）.
应为
a
4－1=（
a
2
+1）（
a
2
－1）=（
a2
+1）（
a
+1）（
a
－1）.
Ⅲ.课堂练习
（一）随堂练习
1.判断正误
解：（1）
x
2
+
y
2
=（
x
+
y
）（
x
－
y< br>）;
（2）
x
2
－
y
2
=（
x< br>+
y
）（
x
－
y
）;























（×）
22222
（√）
（×） （3）－
x< br>2
+
y
2
=（－
x
+
y
）（－x
－
y
）;
（4）－
x
2
－
y2
=－（
x
+
y
）（
x
－
y
）.
2.把下列各式分解因式
解：（1）
a
2
b
2
－
m
2

=（
ab
）
2
－
m

2

=（
ab
+
m
）（
ab
－
m
）;
（2）（
m
－a
）
2
－（
n
+
b
）
2

（×）
=［（
m
－
a
）+（
n< br>+
b
）］［（
m
－
a
）－（
n
+< br>b
）］
=（
m
－
a
+
n
+
b
）（
m
－
a
－
n
－
b
）;
（3）
x
2
－（
a
+
b
－
c）
2

=［
x
+（
a
+
b
－
c
）］［
x
－（
a
+
b
－
c）］
=（
x
+
a
+
b
－
c
）（
x
－
a
－
b
+
c
）;
（4）－16
x
+81
y

=（9
y
2< br>）
2
－（4
x
2
）
2

=（9y
2
+4
x
2
）（9
y
2
－4
x
2
）
=（9
y
2
+4
x
2
）（3
y
+2
x
）（3
y
－2
x
） 3.解：S
剩余
=
a
2
－4
b
2
.
当
a
=3.6,
b
=0.8时，
S
剩余
=3.6
2
－4×0.8
2
=3.6
2
－1.6
2
=5.2×2=10.4（cm
2
）
答：剩余部分的面积为10.4 cm
2
.
（二）补充练习
投影片（§12.3 B）
把下列各式分解因式
（1）36（
x
+
y
）
2< br>－49（
x
－
y
）
2
;
（2）（
x
－1）+
b
2
（1－
x
）;
（3）（
x
2
+
x
+1）
2
－1. 解：（1）36（
x
+
y
）
2
－49（
x－
y
）
2

=［6（
x
+
y
）］
2
－［7（
x
－
y
）］
2

=［6（
x
+
y
）+7（
x
－
y
）］［6 （
x
+
y
）－7（
x
－
y
）］
=（6
x
+6
y
+7
x
－7
y
）（6x
+6
y
－7
x
+7
y
）
=（13
x
－
y
）（13
y
－
x
）;
4 4
（2）（
x
－1）+
b
2
（1－
x
）
=（
x
－1）－
b
2
（
x
－1）
=（
x
－1）（1－
b
2
）
=（
x
－1）（1+
b
）（1－
b
）;
（3）（
x
2
+
x
+1）
2
－1
=（
x
2
+
x
+1+1）（
x
2
+x
+1－1）
=（
x
2
+
x
+2）（
x
2
+
x
）
=
x
（
x
+1） （
x
2
+
x
+2）
Ⅳ.课时小结
我们已学习过 的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法.如果多项式各项含
有公因式，则第一步是提公因式， 然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续
进行.
第一步分解因式以后，所含的多 项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到
每个多项式都不能分解为止.
Ⅴ.课后作业
习题12.3
1.解：（1）
a
2
－81 =（
a
+9）（
a
－9）;
（2）36－
x
2< br>=（6+
x
）（6－
x
）;
（3）1－16
b2
=1－（4
b
）
2
=（1+4
b
）（1－4
b
）;
（4）
m

2
－9
n
2
=（
m
+3
n
）（
m
－3
n
）;
（5）0.25
q
2
－121
p
2

=（ 0.5
q
+11
p
）（0.5
q
－11
p
）;
（6）169
x
2
－4
y
2
=（13
x
+2
y
）（13
x
－2
y
）;
（7 ）9
a
2
p
2
－
b
2
q
2

=（3
ap
+
bq
）（3
ap
－
bq
）;
（8）
49
2
77
a
－
x
2
y
2
=（
a
+
xy
）（
a
－
xy
）;
4
22
2.解：（1）（
m
+
n
）
2
－
n
2
=（
m
+
n
+
n
）（
m
+
n
－
n
）=
m
（
m
+2
n
）;
（2）49（
a
－
b
）
2< br>－16（
a
+
b
）
2

=［7（
a
－
b
）］
2
－［4（
a
+
b
）］
2

=［7（
a
－
b
）+4（
a
+
b
）］［7（
a
－
b
）－4（
a
+b
）］
=（7
a
－7
b
+4
a
+4
b
）（7
a
－7
b
－4
a
－4
b
）
=（11
a
－3
b
）（3
a
－11< br>b
）;
（3）（2
x
+
y
）
2
－ （
x
+2
y
）
2

=［（2
x
+
y
）+（
x
+2
y
）］［（2
x
+
y
）－（
x
+2
y
）］
=（3
x
+3
y
）（
x
－
y
）
=3（
x
+
y
）（
x
－
y
）;
（4）（
x
2
+
y
2
）－
x
2< br>y
2

=（
x
2
+
y
2
+
xy
）（
x
2
+
y
2
－
xy）;
（5）3
ax
2
－3
ay
4
=3
a
（
x
2
－
y
4
）
=3
a< br>（
x
+
y
2
）（
x
－
y
2
）
（6）
p
4
－1=（
p
2
+1）（< br>p
2
－1）
=（
p
+1）（
p
+1）（
p
－1）.
3.解：
S
环形
=
πR
2
－
πr
2
=
π
（
R
2
－
r
2
）
=π
（
R
+
r
）（
R
－
r
）
当
R
=8.45,
r
=3.45，
π
=3.14时 ，
2
S
环形
=3.14×（8.45+3.45）（8.45－3.45） =3.14×11.9×5=186.83（cm
2
）
答：两圆所围成的环形的面积为186.83 cm.
Ⅵ.活动与探究
把（
a
+
b
+
c
）（
bc
+
ca
+
ab
）－
abc
分解因式
解：（
a
+
b
+
c
）（
bc
+
ca
+
ab
）－
abc

=［
a
+（
b
+
c
）］ ［
bc
+
a
（
b
+
c
）］－
ab c

=
abc
+
a
2
（
b
+c
）+
bc
（
b
+
c
）+
a
（
b
+
c
）
2
－
abc

=a
2
（
b
+
c
）+
bc
（
b
+
c
）+
a
（
b
+
c
）
2

=（
b
+
c
）［
a
2
+bc
+
a
（
b
+
c
）］
=（
b
+
c
）［
a
2
+
bc
+
ab
+
ac
］
=（
b
+
c
）［
a< br>（
a
+
b
）+
c
（
a
+
b
）］
=（
b
+
c
）（
a
+
b< br>）（
a
+
c
）
●板书设计
§12.3 运用公式法
一、1.由整式乘法中的平方差公式推导因式分解中的平方差公式.
2
2.公式讲解
3.例题讲解
补充例题
二、课堂练习
1.随堂练习
2.补充练习
三、课时小结
四、课后作业
●备课资料
参考练习
把下列各式分解因式：
（1）49
x
－121
y
;
（2）－25
a
2
+16
b
2
;
（3） 144
a
2
b
2
－0.81
c
2
;
（4）－36
x
2
+
49
2
y
;
64
22
（5）（
a
－
b
）
2
－1;
（6）9
x
2
－（2
y
+
z
）
2
;
（7）（2
m
－
n
）
2
－（
m
－2
n
）
2
;
（8）49（2
a
－3
b
）
2
－9（
a
+
b
）
2
.
解：（1）49
x
2
－121
y
2

=（7
x
+11
y
）（7
x
－11
y
） ;
（2）－25
a
2
+16
b
2
=（4
b
）
2
－（5
a
）
2

=（4
b
+5
a
）（4
b
－5
a
）;
（3）14 4
a
2
b
2
－0.81
c
2

= （12
ab
+0.9
c
）（12
ab
－0.9
c< br>）;
（4）－36
x
2
+
49
2
7
y
=（
y
）
2
－（6
x
）
2

64
8
77
=（
y
+6
x
）（
y
－6
x
）;
88
（5）（
a
－
b
）
2
－1=（
a
－
b
+1）（
a
－b
－1）;
（6）9
x
2
－（2
y
+
z
）
2

=［3
x
+（2
y
+
z
）］［3
x
－（2
y
+
z
）］
=（3
x
+2
y
+
z
）（3
x
－2
y< br>－
z
）;
（7）（2
m
－
n
）
2
－（
m
－2
n
）
2

=［（2
m
－
n
）+（
m
－2
n
）］［（2
m
－
n
）－（
m
－2
n
）］
=（3
m
－3
n
）（
m
+
n
）
=3（
m
－
n
）（
m
+
n
）
（8）49（2
a
－3
b
）
2< br>－9（
a
+
b
）
2

=［7（2
a
－3
b
）］
2
－［3（
a
+
b
） ］
2

=［7（2
a
－3
b
）+3（
a< br>+
b
）］［7（2
a
－3
b
）－3（
a+
b
）］
=（14
a
－21
b
+3
a
+3
b
）（14
a
－21
b
－3
a－3
b
）
=（17
a
－18
b
）（11a
－24
b
）