弧形公式初中数学解一元二次方程公式法课程讲义

初中数学解一元二次方程公式法课程讲义

1．知道一元二次方程根的判别式的概念．
2．会用判别式判断一元二次方程的根的情况及根 据一元二次方程的根的情况确定字母
的取值范围．
3．经历求根公式的推导过程并会用公式法解简单的一元二次方程．





一、情境导入

老师写了4个一元二次 方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，
小强突然站起来说出每个方程解的情况，你 想知道他是如何判断的吗？

二、合作探究
探究点一：一元二次方程的根的情况
【类型一】判断一元二次方程根的情况
不解方程，判断下列方程的根的情况．
(1)2
x
2
＋3
x
－4＝0；


(2)
x
2
－
x
＋
1
＝0；
4
(3)
x
2
－
x
＋1＝0.
解析：根 据根的判别式我们可以知道当
b
2
－4
ac
≥0时，方程才有实数根 ，而
b
2
－4
ac
<0
时，方程没有实数根．由此我们不解 方程就能判断一元二次方程根的情况．
解：(1)2
x
2
＋3
x< br>－4＝0，
a
＝2，
b
＝3，
c
＝－4，∴
b
2
－4
ac
＝3
2
－4×2×(－4)＝41＞0.∴方程有两个不相等的实数根．
(2)
x
2
－
x
＋< br>111
22
＝0，
a
＝1，
b
＝－1，
c< br>＝.∴
b
－4
ac
＝(－1)－4×1×＝0.∴方程有两个
444
相等的实数根．
(3)
x
2
－
x
＋1＝0 ，
a
＝1，
b
＝－1，
c
＝1.∴
b
2< br>－4
ac
＝(－1)
2
－4×1×1＝－3＜0.∴方程没
有 实数根．
方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由
b
2
－4ac
的值的符号来判断方程
根的情况．当
b
2
－4
ac
＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当
b
2
－4
ac＝0时，
一元二次方程有两个相等的实数根；当
b
2
－4
ac< br>＜0时，一元二次方程无实数根．


【类型二】由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值


已知关于< br>x
的一元二次方程(
a
－1)
x
2
－2
x< br>＋1＝0有两个不相等的实数根，则
a
的取值范围是( )
A．
a
>2 B．
a
<2
C．
a
<2且
a
≠1 D．
a
<－2
解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，得到一个不等式，再
由二次项系数不为 0知
a
－1不为0.即4－4(
a
－1)＞0且
a
－1≠0 ，解得
a
＜2且
a
≠1.选C.
方法总结：若方程有实数根，则< br>b
2
－4
ac
≥0.由于本题强调说明方程是一元二次方程，
所以，二次项系数不为0.因此本题还是一道易错题．

【类型三】说明含有字母系数的一元二次方程根的情况


已知：关于< br>x
的方程2
x
2
＋
kx
－1＝0，
求证：方 程有两个不相等的实数根．
证明：Δ＝
k
2
－4×2×(－1)＝
k
2
＋8，无论
k
取何值，
k
2
≥0，所以
k
2
＋8＞0，即Δ＞0，
∴方程2
x
2
＋
kx
－1＝0有两个不相等的实数根．
方法总结：要说明一个含字母系数的一元二次方程的根的情 况，只需求出该方程根的判
别式，分析其正、负情况，即可得出结论．

【类型四】一元二次方程的根的情况的实际应用
小林准备进行如下操作实验：把一根长


为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各 围成一个正方形．小峰对小林说：“这两个正方形
的面积之和不可能等于48cm
2
” ，他的说法对吗？请说明理由．
解：假设能围成．设其中一个正方形的边长为
x
，则 另一个正方形的边长是(10－
x
)，
由题可得，
x
2
＋( 10－
x
)
2
＝48.化简得
x
2
－10
x
＋26＝0.因为
b
2
－4
ac
＝(－10)
2
－4×1×26＝
－4<0，所以此方程没有实数根．所以小峰的说法是对的．

探究点二：公式法解一元二次方程
【类型一】用公式法解一元二次方程
用公式法解下列方程：
(1)2
x
2
＋
x
－6＝0；
(2)
x
2
＋4
x
＝2；
(3)5
x
2
－4
x
＋12＝0；
(4)4
x
2
＋4
x
＋10＝1－8
x
.
解析：方程(1)(3)是一元二次方程的一般形式，可以直接确定
a
，
b< br>，
c
的值，并计算
b
2
－4
ac
的值，然后 代入求根公式，即可求出方程的根；方程(2)(4)则需要先化成一般形式，
再求解．


解：(1)这里
a
＝2，
b
＝1，
c
＝ －6，
b
2
－4
ac
＝1
2
－4×2×(－6)＝ 1＋48＝49.∴
x
＝
－
b
±
b
2
－4
ac
－1±49－1±7
2
a
＝
2×2
＝
4
3
，即原方程的解是
x
1
＝－2，
x
2
＝.
2
－4±
2
24
＝－2±6.(2)将方程化为一般形式，得
∴原方程的解是
x
1
＝－2＋
x
2
＋4
x
－2＝0.∵
b
2
－4
ac
＝24，∴
x
＝
6. 6，
x
2
＝－2－
(3)∵
b
2
－4
ac
＝－224<0，∴原方程没有实数根．
3
(4)整理，得4x
2
＋12
x
＋9＝0.∵
b
2
－4
ac
＝0，∴
x
1
＝
x
2
＝－.
2方法总结：用公式法解一元二次方程时，一定要先将方程化为一般形式，再确定
a
，
b
，
c
的值．

【类型二】一元二次方程解法的综合运用
三角形的两边分别为2和6，第三边是
方程
x
2
－10
x
＋21＝0的解，则第三边的长为( )
A．7 B．3
C．7或3 D．无法确定


解析：解一元二次方程
x
2
－10x
＋21＝0，得
x
1
＝3，
x
2
＝7.根据 三角形三边的关系，第
三边还应满足4＜
x
＜8.所以第三边的长
x
＝7.故选A.
方法总结：解题的关键是正确求解一元二次方程，并会运用三角形三边的关系进行取舍．

三、板书设计



教学过程中，强调用判别式去判断方程根的情 况，首先需把方程化为一般形式．同时公式法
的得出是通过配方法来的，用公式法解方程∴前提是
Δ
≥0.