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杨红公式新北师大版八年级下册数学 《公式法(1)》教案(1)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-11 18:39
tags:公式法

上海985大学名单-祝福别人的话


4.3.1 公式法(一)
●教学目标
(一)教学知识点
1.使学生了解运用公式法分解因式的意义;
2.使学生掌握用平方差公式分解因式.
3.使学生了解,提公因式法是分解因式的首先考虑的方法,再考虑用平方差公式
分解因式.
(二)能力训练要求
1.通过对平方差公式特点的辨析,培养学生的观察能力.
2.训练学生对平方差公式的运用能力.
(三)情感与价值观要求
在引导学生逆用 乘法公式的过程中,培养学生逆向思维的意识,同时让学生了
解换元的思想方法.
●教学重点
让学生掌握运用平方差公式分解因式.
●教学难点
将某些单项式化为平方形式,再用平方差公式分解因式;培养学生多步骤分解
因式的能力.
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
[师]在前两节课中我们学习了因式分解 的定义,即把一个多项式分解成几个
整式的积的形式,还学习了提公因式法分解因式,即在一个多项式中 ,若各项都含
有相同的因式,即公因式,就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成几个因
式乘积的形式.
如果一个多项式的各项,不具备相同的因式,是否就不能分解因式了呢?当然
不是,只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程,就能利用这种关系找到新
的因式分解的方法,本 节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法.
Ⅱ.新课讲解
[师]1.请看乘法公式
(a+b)(a-b)=a
2
-b
2
(1)
左边是整式乘法,右边是一个多项式,把这个等式反过来就是
a
2
-b
2
=(a+b)(a-b) (2)
左 边是一个多项式,右边是整式的乘积.大家判断一下,第二个式子从左边到右
边是否是因式分解?
[生]符合因式分解的定义,因此是因式分解.
[师]对,是利用平方差公式进行的因式分解 .第(1)个等式可以看作是整式乘
法中的平方差公式,第(2)个等式可以看作是因式分解中的平方差 公式.
2.公式讲解
[师]请大家观察式子a
2
-b
2
,找出它的特点.
[生]是一个二项式,每项都可以化成整式的平方,整体来看是两个整式的平
方差.
[师]如果一个二项式,它能够化成两个整式的平方差,就可以用平方差公式
分解因式,分解成两个整式 的和与差的积.
如x
2
-16=(x)
2
-4
2
=(x+4)(x-4).
9 m
2
-4n
2
=(3 m )
2
-(2n)
2

=(3 m +2n)(3 m -2n)
3.例题讲解
[例1]把下列各式分解因式:
(1)25-16x
2
;
(2)9a
2

1
2
b.
4
解:(1) 25-16x
2
=5
2
-(4x)
2

=(5+4x)(5-4x);
(2)9a
2

=(3a+
1
2
1
b=(3a)
2
-(b)
2

42
11
b)(3a-b).
22
[例2]把下列各式分解因式:
(1)9(m+n)
2
-(m-n)
2
;
(2)2x
3
-8x.
解:(1)9(m +n)
2
-(m-n)
2

=[3(m +n)]
2
-(m-n)
2

=[3(m +n)+(m-n)][3(m +n)-(m-n)]
=(3 m +3n+ m-n)(3 m +3n-m +n)
=(4 m +2n)(2 m +4n)
=4(2 m +n)(m +2n)
(2)2x
3
-8x=2x(x
2
-4)
=2x(x+2)(x-2)
说明:例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方, 利用平方差公式
分解因式;例2的(1)是把一个二项式化成两个多项式的平方差,然后用平方差公式分解因式,例2的(2)是先提公因式,然后再用平方差公式分解因式,由此可
知,当一个题中既 要用提公因式法,又要用公式法分解因式时,首先要考虑提公因
式法,再考虑公式法.
补充例题
投影片(§4.3.1 A)
判断下列分解因式是否正确.
( 1)(a+b)
2
-c
2
=a
2
+2ab+b
2< br>-c
2
.
(2)a
4
-1=(a
2
2
-1=(a
2
+1)·(a
2
-1).
[生]解:(1)不正确.
本题错在对分解因式的概念不清,左边是多项式的形式,右边应是 整式乘积的
形式,但(1)中还是多项式的形式,因此,最终结果是未对所给多项式进行因式分
解.
(2)不正确.
错误原因是因式分解不到底,因为a
2
-1还能继续分解成(a+1)(a-1).
应为a
4
-1=(a
2
+1)(a
2
-1)=(a
2
+1)(a+1)(a-1).
Ⅲ.课堂练习
(一)随堂练习
1.判断正误
解:(1)x
2
+y
2
=(x+y)(x-y);
(2)x
2
-y
2
=(x+y)(x-y);


(×)
(√)
(3)-x
2
+y
2
=(-x+y)(-x-y); (×)
(4)-x
2
-y
2
=-(x+y)(x-y).
2.把下列各式分解因式
解:(1)a
2
b
2
-m
2

=(ab)
2
-m
2

=(ab+ m)(ab-m);
(2)(m-a)
2
-(n+b)
2

(×)
=[(m-a)+(n+b)][(m-a)-(n+b)]
=(m-a+n+b)(m-a-n-b);
(3)x
2
-(a+b-c)
2

=[x+(a+b-c)][x-(a+b-c)]
=(x+a+b-c)(x-a-b+c);
(4)-16x
4
+81y
4

=(9y
2

2
-(4x
2

2

=(9y
2
+4x
2
)(9y
2
-4x
2

=(9y
2
+4x
2
)(3y+2x)(3y-2x)
3.解:S
剩余
=a
2
-4b
2
.
当a=3.6,b=0.8时,
S
剩余
=3.6
2
-4× 0.8
2
=3.6
2
-1.6
2
=5.2×2=10.4( cm
2

答:剩余部分的面积为10.4 cm
2
.
(二)补充练习
投影片(§4.3.1 B)

把下列各式分解因式
(1)36(x+y)
2
-49(x-y)
2
;
(2)(x-1)+b
2
(1-x);
(3)(x
2
+x+1)
2
-1.
解:(1)36(x+y)
2
-49(x-y)
2

=[6(x+y)]
2
-[7(x-y)]
2

=[6(x+y)+7(x-y)][6(x+y)-7(x-y)]
=(6x+6y+7x-7y)(6x+6y-7x+7y)
=(13x-y)(13y-x);
(2)(x-1)+b
2
(1-x)
=(x-1)-b
2
(x-1)
=(x-1)(1-b
2

=(x-1)(1+b)(1-b);
(3)(x
2
+x+1)
2
-1
=(x
2
+x+1+1)(x
2
+x+1-1)
=(x
2
+x+2)(x
2
+x)
=x(x+1)(x
2
+x+2)
Ⅳ.课时小结
我们已学习过的 因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法.如果多项式各
项含有公因式,则第一步是提公因式,然 后看是否符合平方差公式的结构特点,若
符合则继续进行.
第一步分解因式以后,所含的多项 式还可以继续分解,则需要进一步分解因
式,直到每个多项式都不能分解为止.
Ⅴ.课后作业
习题4.4
1.解:(1)a
2
-81=(a+9)(a-9);
(2)36-x
2
=(6+x)(6-x);
(3)1-16b
2
=1-(4b)
2
=(1+4b)(1-4b);
(4)m
2
-9n
2
=(m +3n)(m-3n);
(5)0.25q
2
-121p
2

=(0.5q+11p)(0.5q-11p);
(6)169x
2
-4y
2
=(13x+2y)(13x-2y);
(7)9a
2
p
2
-b
2
q
2

=(3ap+bq)(3ap-bq);
(8)
49
2
77
a-x
2
y
2
=(a+xy)( a-xy);
422
2.解:(1)(m+n)
2
-n
2
=(m +n+n)(m +n-n)= m(m +2n);
(2)49(a-b)
2
-16(a+b)
2

=[7(a-b)]
2
-[4(a+b)]
2

=[7(a-b)+4(a+b)][7(a-b)-4(a+b)]
=(7a-7b+4a+4b)(7a-7b-4a-4b)
=(11a-3b)(3a-11b);
(3)(2x+y)
2
-(x+2y)
2

=[(2x+y)+(x+2y)][(2x+y)-(x+2y)]
=(3x+3y)(x-y)
=3(x+y)(x-y);
(4)(x
2
+y
2
)-x
2
y
2

=(x
2
+y
2
+xy)(x
2
+y
2
-xy);
(5)3ax
2
-3ay
4
=3a(x
2
-y
4

=3a(x+y
2
)(x-y
2

(6)p
4
-1=(p
2
+1)(p
2
-1)
=(p
2
+1)(p+1)(p-1).
3.解:S
环形
=πR
2
-πr
2
=π(R
2
-r
2

=π(R+r)(R-r)
当R=8.45,r=3.45,π=3.14时,
S
环形
=3.14×(8.45+3.45)(8.45-3.45)=3.14×11.9×5 =186.83(cm
2

答:两圆所围成的环形的面积为186.83 cm
2
.
Ⅵ.活动与探究
把(a+b+c)(bc+ca+ab)-abc分解因式
解:(a+b+c)(bc+ca+ab)-abc
=[a+(b+c)][bc+a(b+c)]-abc
=abc+a
2
( b+c)+bc(b+c)+a(b+c)
2
-abc
=a
2
(b+c)+bc(b+c)+a(b+c)
2

=(b+c)[a
2
+bc+a(b+c)]
=(b+c)[a
2
+bc+ab+ac]
=(b+c)[a(a+b)+c(a+b)]
=(b+c)(a+b)(a+c)
●板书设计
§4.3.1 公式法(一)
一、1.由整式乘法中的平方差公式推导因式分解中的平方差公式.
2.公式讲解
3.例题讲解
补充例题
二、课堂练习
1.随堂练习
2.补充练习
三、课时小结
四、课后作业
●备课资料
参考练习
把下列各式分解因式:
(1)49x
2
-121y
2
;
(2)-25a
2
+16b
2
;
(3)144a
2
b
2
-0.81c
2
;
(4)-36x
2
+
49
2
y;
64
(5)(a-b)
2
-1;
(6)9x
2
-(2y+z)
2
;
(7)(2m-n)
2
-(m-2n)
2
;
(8)49(2a-3b)
2
-9(a+b)
2
.
解:(1)49x
2
-121y
2

=(7x+11y)(7x-11y);
(2)-25a
2
+16b
2
=(4b)
2
-(5a)
2

=(4b+5a)(4b-5a);
(3)144a
2
b
2
-0.81c
2

=(12ab+0.9c)(12ab-0.9c);
(4)-36x
2
+
49
2
7
y=(y)
2
-(6x)
2

648
=(
77
y+6x)(y-6x);
88
(5)(a-b)
2
-1=(a-b+1)(a-b-1);
(6)9x
2
-(2y+z)
2

=[3x+(2y+z)][3x-(2y+z)]
=(3x+2y+z)(3x-2y-z);
(7)(2m-n)
2
-(m-2n)
2

=[(2 m-n)+(m-2n)][(2 m-n)-(m-2n)]
=(3 m-3n)(m +n)
=3(m-n)(m +n)
(8)49(2a-3b)
2
-9(a+b)
2

=[7(2a-3b)]
2
-[3(a+b)]
2

=[7(2a-3b)+3(a+b)][7(2a-3b)-3(a+b)]
=(14a-21b+3a+3b)(14a-21b-3a-3b)
=(17a-18b)(11a-24b)

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