异或的公式北师大版八年级数学下册 公式法教学设计教案

《3 公式法》教案
第1课时
教学目标
（一）教学知识点
1．使学生了解运用公式法分解因式的意义．
2．使学生掌握用平方差公式分解因式．
3．使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式．
（二）能力训练要求
1．通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力．
2．训练学生对平方差公式的运用能力．
（三）情感与价值观要求
在引导学生逆用 乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想
方法．
教学重难点

教学重点：让学生掌握运用平方差公式分解因式．

教 学难点：将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因
式的能力．
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
［师］在前两节课中我们学习了因式分解的 定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形
式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中， 若各项都含有相同的因式，即公因
式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形 式．
如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我
们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本
节课我们就 来学习另外的一种因式分解的方法——公式法．
Ⅱ．新课讲解
［师］1．请看乘法公式：
（a+b）（a－b）=a
2
－b
2
（1）
左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是：
a
2
－b
2
=（a+b）（a－b）（2）
左边是一个多 项式，右边是整式的乘积．大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因
式分解？
［生］符合因式分解的定义，因此是因式分解．
［师］对，是利用平方差公式进行的因式分解 ．第（1）个等式可以看作是整式乘法中的平
方差公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的平方差 公式．
2．公式讲解
［师］请大家观察式子a
2
－b
2
，找出它的特点．
［生］是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差．
［师］如 果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分
解成两个整式的和与差 的积．
如x
2
－16=（x）
2
－4
2
=（x+ 4）（x－4）．
9m
2
－4n
2
=（3m）
2
－（2n）
2

=（3m +2n）（3m－2n）
3．例题讲解
［例1］把下列各式分解因式：
（1）25－16x
2
； （2）9a
2
－
1
2
b．
4
［例2］把下列各式分解因式：
（1）9（m+n）
2
－（m－n）
2
； （2）2x
3
－8x．
说明：例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方， 利用平方差公式分解因式；例
2的（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分 解因式，例2的
（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公 因
式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法．
补充例题：
判断下列分解因式是否正确．
（1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2． （2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1）（a2－1）．
［生］解：（1）不正确．
本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式，但（1）
中还是多 项式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进行因式分解．
（2）不正确．错误原因是因式分解不 到底，因为a
2
－1还能继续分解成（a+1）（a－1）．
应为a
4－1=（a
2
+1）（a
2
－1）=（a
2
+1）（a +1）（a－1）．
Ⅲ．课堂练习
把下列各式分解因式．
（1）36（x+y）2－49（x－y）2；
（2）（x－1）+b2（1－x）；
（3）（x2+x+1）2－1．
Ⅳ．课时小结
我们已学习过的因式分解方法有提 公因式法和运用平方差公式法．如果多项式各项含有公因
式，则第一步是提公因式，然后看是否符合平方 差公式的结构特点，若符合则继续进行．第
一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进 一步分解因式，直到每个多项
式都不能分解为止．
第2课时
教学目标
（一）教学知识点
1．使学生会用完全平方公式分解因式．
2．使学生学习多步骤，多方法的分解因式．
（二）能力训练要求
在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力．
（三）情感与价值观要求
通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力．
教学重难点
教学重点：让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法．
教学难点：让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式．
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
［师］我们知道，因式分解是整式乘法的反 过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两
种方法：提取公因式法、运用平方差公式法．现在，大家 自然会想，还有哪些乘法公式可以
用来分解因式呢？
在前面我们不仅学习了平方差公式（a+ b）（a－b）=a
2
－b
2

而且还学习了完全平方公式（a±b ）
2
=a
2
±2ab+b
2

本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式．
Ⅱ．新课
1．推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点．
［师］由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？
［生］可以．
将完全平方公式倒写：
a
2
+2ab+b
2
=（a+b）
2
； a
2
－2ab+b
2
=（a－b）
2
．
便得到用完全平方公式分解因式的公式．
［师］很好．那么什么样的多项式才可以用这个公式 分解因式呢？请大家互相交流，找出这
个多项式的特点．
［生］从上面的式子来看，两个等式 的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式
的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那 两项乘积的两倍．凡具备这些特点的三项
式，就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了 因式分解．
［师］左边的特点有（1）多项式是三项式；
（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；
（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍．
右边的特点：这两数或两式和（差）的平方． < br>用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和
（或差 ）的平方．
形如a
2
+2ab+b
2
或a
2
－2 ab+b
2
的式子称为完全平方式．
由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把 乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多
项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．
练一练：
下列各式是不是完全平方式？
（1）a
2
－4a+4； （2）x
2
+4x+4y
2
； （3）4a
2
+2ab+
1
2
b；
4
（4）a
2
－ab+b
2
； （5）x
2
－6x－9； （6）a
2
+a+0.25
［师］判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件，项数是三项；其中有两项同号
且能写成两 个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的2倍．
［生］（1）是；
（2）不是，因为4x不是x与2y乘积的2倍；
（3）是；
（4）不是，ab不是a与b乘积的2倍．
（5）不是，x
2
与－9的符号不统一．
（6）是．
2．例题讲解
［例1］把下列完全平方式分解因式：
（1）x
2
+14x+49；
（2）（m+n）
2
－6（m+n）+9．
［师］分析：大家先把多项式化 成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因
式．公式中的a，b可以是单项式，也可以是多 项式．
解：（1）x
2
+14x+49=x
2
+2×7x+72
=（x+7）
2

（2）（m+n）
2
－6（m + n）+9=（m+n）
2
－2（m+n）×3+3
2
=［（m+n）－3］< br>2
=（m+n－3）
2
．
［例2］把下列各式分解因式：
（1）3ax
2
+6axy+3ay
2
；
（2）－x
2
－4y
2
+4xy．
［师］分析：对一个三 项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是
否有公因式，若有公因式应先提取公 因式，再考虑用完全平方公式分解因式．
如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+” 号时，可以先提取“－”号，
然后再用完全平方公式分解因式．
解：（1）3ax
2
+6axy+3ay
2

=3a（x
2
+2xy+y
2
）
=3a（x+y）
2

（2）－x
2
－4y
2
+4xy
=－（x
2
－4xy+4y
2
）
=－［x
2
－2·x·2y+（2y）
2
］
=－（x－2y）
2

Ⅲ．课堂练习
把下列各式分解因式：
（1）4a
2
－4ab+b
2
； （2）a
2
b
2
+8abc+16c
2
；
m
2
mn
2
（3）（x+y）+6（x+y）+9； （4）－+n；
144
6
2
y
2
1
24
（5）4（2a+b）－12（2a+b）+9； （6）xy－x－
100
5
2
Ⅳ．课时小结
这节课我们学习了用完全平方公式分解因式，它与平方差公式不同之处是：
（1）要求多项式有三项．
（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是 这两数或式的乘积的2倍，
符号可正可负．
同时，我们还学习了若一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式分解因式．