插入法计算公式北师大版八年级数学下册 公式法-教案

《3 公式法》教案
第1课时
教学目标
1、经历通过整式乘法的平方差 公式逆向得出公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆
向思维．
2、会用公式法（直接用公式不出两次）分解因式（指数是正整数）．
教学重难点
用公式法（直接用公式不出两次）分解因式（指数是正整数）．
教学过程
一、创设情景，导出问题
（1）观察多项式x
2
-25，9x
2< br>-y
2
，它们有什么共同特征？
（这是对平方差公式的再认识，通过整式乘法 的逆变形得到分解因式的方法，让学生进一步
感受到整式乘法与分解因式的互逆关系．）
（2）将它们分别写成两个因式的乘积，说明你的理由，并与同伴交流．
（让学生充分交流，加深对这种方法的理解．）
二、探索交流，概括概念
讨论：
（1）多项式的各项都能写成平方的形式．如x
2
-25中，x
2
本 身是平方的形式，25=5
2
也是平
方的形式；9x
2
-y
2
也是如此．
（2）逆用乘法公式（a+b）（a-b）=a
2
-b
2
，可知x
2
-25= x
2
-5
2
=（x+5 ）（x-5），9x
2
-y
2
=（3x）
2
-y
2
=（3x+y）（3x-y）．
所以我们可以借助乘法公式（a+b）（a-b）=a
2
-b
2
的逆过程得到乘法公式a
2
-b
2
=（ a+b）（a-b）
三、巩固应用，拓展研究
例1、把下列各式分解因式：

（直接利用平方差公式分解因式，让学生体会公式中的a，b在此例中分别是什么．）
提问： a
2
-b
2
=（a+b）（a-b）中a，b都表示单项式吗？它们可以是多 项式吗？
例2、把下列各式分解因式：
（1）9（m+n）
2
-（m-n ）
2
；（2）2x
3
-8x
；

解：（1）9（m +n）
2
-（m-n）
2
=4（2m+n）（m+2n）
（进一步 让学生理解平方差公式中的字母a，b不仅可以表示数，而且可以表示其他代数式．）
（2）2x
3
-8x=2x（x
2
-4）=2x（x
2
-2x）=2x（x+ 2）（x-2）
（引导学生体会多项式中若含有公因式，就要先提公因式，然后进一步分解，直至不能 再分
解为止．）
四、应用加强，课内深化
如图，在边长为a的正方形中挖去一个边 长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一
个矩形，通过计算两个阴影部分的面积，可以得到一 个矩形，通过计算两个阴影部分的面积，
可以得到一个分解因式的公式，这个公式是怎样的？

第2课时
教学目标
1、会把多项式经过适当变形，成为完全平方式的形式，能较熟 练地运用完全平方公式把多
项式分解因式．
2、通过综合运用提取公因式法、平方差公式和完 全平方公式把多项式因式分解，进一步提
高学生综合运用知识解决问题的能力．
教学重难点
重点：把多项式通过适当的代换、变形转化为完全平方式，运用完全平方公式分解因式．
难点：综合运用多种方法把多项式因式分解．
教学过程
一、导入新课
问：什么叫完全平方式？试举例加以说明．
答：形如a
2
±2ab+b2
的式子叫做完全平方式，例如多项式9x
2
－12xy+4y
2
就是一个完全平方
式．
问：多项式－x
2
－4y
2
+4 xy是否符合完全平方式的结构特点？这样的多项式能否进行因式分
解？
这节课我们就要解决这个问题．
二、新课
例1、把－x
2
－4y
2
+4xy分解因式．
分析：这个 多项式的两个平方项的符号均为负，因此不符合完全平方式的形式，不能直接运
用完全平方公式把它因式 分解，如果把它的各项均提出一个负号，那么括号内的多项式就符
合完全平方式的结构特点，从而可以运 用完全平方公式分解因式．
解：－x
2
+4y
2
+4xy=（x< br>2
－4xy+4y
2
）
=－[x
2
－2·2x·y+（2y）
2
]
=－（x－2y）
2
．
指出：
（1）在一个多项式中，两个平方项的符号必须相同，才有可能成为完全平方式．
（2）在对 类似例1的多项式因式分解时，一般都是先把完全平方项的符号变为正的，也就
是先把负号提到括号外面 ，然后再把括号内的多项式运用完全平方公式因式分解．
例2、把（x+y）
2
－6（x+y）+9分解因式．
分析：多项式中的两个平方项分别是（x+y）
2
和32，另一项6（x+y）=2·（x+y）·3，符合
完全平方式的形式，这里“x+y” 相当于完全平方式中的a，“3”相当于相当于公式中的b，设
a=x+y，我们可以把原式变为（x+ y）
2
－6（x+y）+9=a
2
－6a+9，因而能运用完全平方公式，< br>得到（a－3）
2
．
在解题过程中，可以把代换这一步骤省略．
解：（x+y）
2
－6（x+y）+9=（x+y）
2
－2（x+y）·3+ 3
2
=（x+y－3）
2
．
指出：把较复杂的多项式（x+y）< br>2
－6（x+y）2+9，通过代换a=x+y，使原多项式转化为关
于字母a的二次三 项式a
2
－6a+9，从而可以用完全平方公式分解因式，这种通过代换解决
问题的方 法是数学中经常用到的一种重要的思想方法．
例3、把m
2
+10m（a+b）+25（a+b）
2
分解因式．
问：观察和分析这个多项式，是否符合完全平方式形式？为什么？
答：可以把m
2< br>+10m（a+b）+25（a+b）
2
写成m
2
+2m·5（a+b ）+[5（a+b）]
2
．这里m相当
于完全平方式里的a，5（a+b）相当于完全 平方式里的b．原式是完全平方式，可以运用完
全平方公式因式分解．
解：m
2+10m（a+b）+25（a+b）
2
=m
2
+2m·5（a+b）+ [5（a+b）]
2

=[m+5（a+b）]
2
=（m+5a+5b）
2
．
指 出：通过以上各例题可以看到，在给出的多项式中，两个平方项可以是单项式（数），也
可以是多项式．
例4、把下列各式分解因式：
（1）3ax
2
+6axy+3ay
2
；
（2）81m< br>4
－72m
2
n
2
+16n
4
．
解：（1）3ax
2
+6axy+3ay
2
=3a（x
2
+ 2xy+y
2
）=3a（x+y）
2
．
指出：如果多项式的各项有公因式，应该先提出这个公因式，再进一步分解因式．
（2）81 m
4
－72m
2
n
2
+16n
4
=（9m
2
）
2
－2·9m
2
·4n
2
+（4n
2
）
2
=（9m
2
－4n
2
）
2
．
问：做到这一步还能不能继续再分解？
答：括号内的多项式是平方差形式，可以运用平方差公式分解因式．
原式=（9m
2
－4n
2
）
2

=[（3m）
2
－（2n）
2
]
2

=[（3m+2n）（3m－2n）]
2

=（3m+2n）
2
（3m－2n）
2
．
指出：在把多项式因式分解时，应把多项式分解到不能再分解为止．
三、课堂练习
把下列各式分解因式：
（1）（x+y）
2
－10（x+y）+25；（2 ）－2xy－x
2
－y
2
；（3）ax
2
+2a
2
x+a
3
；（4）－a
2
c
2
－c
4+2ac
3
；
（5）（a+b）
2
－16（a+b）+64； （6）（x
2
+2x）
2
+2（x
2
+2x）+1；（7） （m
2
－6）
2
（m
2
－6）+9；
（8）a4
－8a
2
b
2
+16b
4
．