护理公式分解因式--二次三项式的因式分解(用公式法)

初三代数教案
第十二章：一元二次方程
第12课时：二次三项式的因式分解（用公式法）（一）

教学目标：
1、使学生理解二次三项式的意义；
2、了解二次三项式的因式分解与解一元二次方程的关系；
3、使学生会利用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式；
4、通过本节课的教学，提高学生研究问题的能力。
教学重点：
用公式法将二次三项式因式分解．
教学难点：
一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系．
教学过程：
二次三项式的因式分 解常用的方法是公式法、十字相乘法等．但对有些二次三项式，
2
用这两种方法比较困难，如将 二次三项式4x+8x-1因式分解．在学习了一元二次方程的解
法后，我们知道，任何一个有实根的一 元二次方程，用求根公式都可以求出．那么一元二次
22
方程ax+bx+c=0（a≠0）的 两个根与二次三项式ax+bx+c的因式分解有无关系呢？这就是
我们本节课研究的问题，也就是研究 和探索二次三项式因式分解的又一种方法——用公式
法．
2
一元二次方程的一般形式 是ax+bx+c=0（a≠0），观察方程的特点：左边是一个二次
三项式，曾经借助于将左边二次三 项式因式分解来解一元二次方程．反之，我们还可以利用
2
方程的根，来将二次三项式因式分解 ．即在分解二次三项式ax+bx+c的因式时，可先用公
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式求出方程ax+bx+c=0 的两个根x
1
，x
2
，然后写成ax+bx+c=a（x-x
1）（x-x
2
）．通过知识
之间的相互联系、相互作用和相互促进，对学生进行辩 证唯物主义思想教育．
2
公式ax+bx+c=a（x-x
1
）（x-x< br>2
）的得出的依据是根与系数的关系．一元二次方程根与
2
系数的关系为公式a x+bx+c=a（x-x
1
）（x-x
2
）的得出奠定了基础．通过因式分 解新方法的
导出，不仅使学生学习了一个新方法，还能进一步启发学生学习的兴趣，提高他们研究问题< br>的能力．
一、新课引入：
（1）写出关于x的二次三项式？
（2）将下列二次三项式在实数范围因式分解．
2222
①x-2x+1；②x-5x+6；③6x+x-2；④4x+8x-1．
由④感觉比较困难，引出本节课所要解决的问题．
二、新课讲解：
．①由新课引入观察上式①，②，③方程的两个根与方程左边的二次三项式的因式分
解之关系．
2
①x-2x+1=0；
解：原式变形为（x-1）（x-1）=0．
∴ x
1
=x
2
=1，
2
②x-5x+6=0；
解原方程可变为
（x-2）（x-3）=0
∴ x
1
=2，x
2
=3．
2
③6x+x-2=0
解：原方程可变为
（2x-1）（3x+2）=0．

22
观察 以上各例，可以看出，1，2是方程x-3x+2=0的两个根，而x-3x+2=（x-1）（x-2），……
所以我们可以利用一元二次方程的两个根来分解相应左边的二次三项式．
②推导出公式


=a（x-x
1
）（x-x
2
）．
22
这就是说，在分解二次三项式ax+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax+bx+c=0的
两个根x
1
，x
2
，然后写成
2
ax+bx+c=a（x-x
1
）（x-x
2
）． 教师引导学生从具体的数字系数的例子，观察、探索结论，再从一般的字母系数的例
子得出一般性的 推导，由此可知认识事物的一般规律是由特殊到一般，再由一般到特殊．
③公式的应用
2
例1 把4x+8x-1分解因式
2
解：∵ 方程4x+8x-1=0的根是


教师板书，学生回答．
由①到②是把4分解成2×2分别与两个因式相乘所得到的．目的是化简①．
练习：将下列各式在实数范围因式分解．
22
（1）x+20x+96；（2）x-5x+3
学生板书、笔答，评价．
2
解2 用两种方程把4x-5分解因式．

方法二，解：∵ 4x-5=0，
2

方法一比方法二简单，要求学生灵活选择，择其简单的方法．
练习：将下列各式因式分解．
222
（1）4x-8x+1；（2）27x-4x-8；（3）25x+20x+1；
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（4）2x-6x+4；（5）2x-5x-3．
学生练习，板书，选择恰当的方法，教师引导，注意以下两点：
2
（1）要注意一元 二次方程与二次三项式的区别与联系，例如方程2x-6x-4=0，可变形
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为x-3x- 2=0；但将二次三项式分解因式时，就不能将3x2-6x-12变形为x-2x-4．

（2）还要注意符号方面的错误，比如上面的例子如果写成2x-5x-

（3）一 元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）当△≥0时，方程有两个实根．当△＜0时，
2
方程 无实根．这就决定了：当b-4ac≥0时，二次三项式ax
1
+bx+c在实数范围内可以分 解；
2
当b-4ac＜0时，二次三项式ax
2
+bx+c在实数范围内不可 以分解．
三、课堂小结：
22
（1）用公式法将二次三项式ax+bx+c因式分 解的步骤是先求出方程ax+bx+c=0（a≠
2
0）的两个根，再将ax+bx+c写成a （x-x
1
）（x-x
2
）形式．
222
（2）二次三项 式ax+bx+c因式分解的条件是：当b-4ac≥0，二次三项式ax+bx+c在
2
实数 范围内可以分解；b2-4ac＜0时，二次三项式ax+bx+c在实数范围内不可以分解．
（3） 通过本节课结论的探索、发现、推导、产生的过程，培养学生的探索精神，激发
学生的求知欲望，对学生 进行辩证唯物主义思想教育，渗透认识事物的一般规律．
四、作业
教材 P.39中 A1．2（1）——（7）．
参考题目：
一、选择题(15分)
将下题中唯一正确答案的序号填在题后的括号内。
2
在实数范围内把-4y+8y-1分解因式的结果是( )
2
2
A、
C、
B、
D、


二、填空题(第1题10分，第2题15分，共25分)
2
1、在实数范围内把x-6x+4分解因式的结果是__________
2
2、在实数范围内把6y－2y-3分解因式的结果是________
三、把下列各式在实数范围内分解因式(每题15分，共60分)
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1、-3x+5x+1 2、2x-4x+1
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3、4x+8x-3 4、3x-2x-2