arctan公式《公式法因式分解》教学案例及反思

《公式法因式分解》教学案例及反思
五龙口一中 卫艳艳


一、教学目标分析
1、使学生了解平方差公式的特点。2、使学生运用平方差公式
2、通过对平方差公式的辨析，培养学生的观察能力。
3.经历探索因式分解方法的过程，培 养学生研讨问题的方法，通过猜测、推理、
验证、归纳等步骤，得出因式分解的方法.
二、学法引导
1、 教师学法：理论与实际相结合。
2、 学生学法：细心观察公式的结构特征，从而将之转化为能运用公式的形式
在分解因式。
三、重点、难点及解决方法
1、教学重点：平方差公式
2、教学难点：正确熟练运用公式法分解因式。
3、教学重点、难点的解决方法：授课应强化 公式结构特征的教学，以便于学生
准确理解公式并能熟练地加以应用。
四、教学资源与工具设计
本次教学需要多媒体设备、自制课件、可以使教学生动形象，容易引 起学生的学
习兴趣和热情。多媒体设备使课件，更加形象直观，使学生能更深刻的理解所学
知识 。
五、教学步骤
（一）、对一个多项式如x－4没有公因式可提，是不是就不能因式分解呢 ？
事实上由乘法公式（a＋b）(a－b)＝ a
2
－b
2
猜想出（x＋2）(x－2)＝ x
2
－4,
反过来就可得出它可分解为x
2
－4＝（x＋2）(x－2)，这样就又给我们提供了一
种新分解因式方法。
（二）、整体感知：由平方差公式a
2
－ b
2
＝（a ＋ b ）(a － b)

让学生观
察出该公式的特征，即左边是两个数的平方差， 而右边可以写成这两个数的和与
差的形式，在实际解题中充分让学生能理解，一定要符合两个数平方的差 的形式
才能运用该公式来分解因式。

2

六、教学过程设计
（一）创设问题情景，呈现新知
1、由多项式的乘法（a＋b）(a－b)＝ a
2
－b
2
引入由右向左用，则可以将某些符
合条件的多项式分解因式。
2、观察下列运算的特征，归纳使用平方差公式的条件。
x
2
－16 ＝ x
2
－ 4
2
＝ （x ＋ 4）( x － 4 )
↓ ↓ ↓ ↓
a
2
－ b
2
＝ （a ＋ b ）(a － b)




↑ ↑ ↑ ↑
9m
2
－ 4n
2
＝ (3m)
2
－ (2n)
2
＝（3m＋2n）( 3m－2n)
3、通过例题的分析、示范及练习 ，使师生的思维、情感不断加以锻炼、交流从
而深化对公式的理解。
（二）引导探究 探索新知
1、什么是因式分解？与整式乘法有何联系？
2、整式乘法有哪些？（共5个）其中的字母可表示什么？
（三）交流评价
理解 新知既然整式乘法与因式分解是互逆运算关系，那么乘法公式除了可以进行
整式乘法外，还有其他什么用 途？（请同学回答）如果把乘法公式从右向左用就
可以用来把符合某些条件的多项式分解因式。我们把这 种多项式的分解因式的方
法叫做运用公式法。我们先来用平方差公式来分解因式，（引出课题）
把乘法公式（a＋b）(a－b)＝a
2
－b
2
反过来写成平方差公式a
2
－b
2
＝（a ＋ b ）
(a － b)

就得到了因式分解的平方差公式。
该公式用语言叙述为：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
（请虚述总结 ）
该公式的特征：即左边是两个数的平方差，而右边是两个因式积的形式，这两个
因式分别为 这两个数的和与差的形式，利用公式可以把具有平方差特征的多项式
来分解因式
。

（四）尝试应用应用新知

例题1把多项式 x
2
－16 和9m
2
－ 4n
2
分解因式

解：x
2
－16 ＝ x
2
－ 4
2
＝ （x ＋ 4）( x － 4 )



↓ ↓ ↓

a
2
－ b
2
＝ （a ＋ b ）(a － b)



9m
2
－ 4n
2
＝ (3m)
2
－ (2n)
2
＝（3m＋2n）( 3m－2n)

显然公式中的字母a、b可以表示任何数和单项 式及多项式，若给出的多项
式两部分不具备明显的平方差2，需要化成a
2
－ b
2
的形式，所以用平方
差公式的时，能否把两部分写成平方的形式而且还需作差，是 运用平方差
公式的关键。

（五）学生自主探究

例题2把下列多项式分解因式

(1)1

－25b
2
(2)x
2
y
2
－x
2
(3) m
2
－0.01n
2

（六）拓展延深

例题3把下列多项式分解因式 (1)(a b＋b )
2
－(a＋1)
2
；

(2)(a
2
－x
2
)
2
－4ax(x

－a)
2
；

(3)(x ＋ y z＋ )
2
－(x

－y ＋z)
2
.

1、议一议

下列多项式可否用平方差公式如果可以应分解成什么样子？如果不能请
说明理由。（在有理数范 围内分解）

（1）x
2
＋ y
2
（2）x
2
－ y
2
（3）－a
2
＋ b
2

（4）3a
2
－4 b
2
（5）0.9a
2
－ b
2
（6）－a
2
－ b
2

2、巩固练习：填空题

（1）25m
2
＝( )
2
; （2）0.49b
2
＝( )
2
; （3 ）81n
6
＝( )
2
;
（ 4 ） c
2
＝ ( )
2
; （5 ） x
6
y
2
＝ ( )
2
; （ 6 ）64x
2
y
2
＝ ( )
2

（七）变式迁移 强化新知

（1）a
2
－9 b
2
; （2）a
2
－4b
2
; （3）36

－m
2
; （4）4x
2
－9y
2
（5）0.81a
2
－16 b
2
（6）36n
2
－1 （7）64x
16
－y
4
z
6
（8）25a
2
b
4
c
16
－
16

（八）中考展望 点击中考

把下列多项式分解因式



（1）3x
2
－3 ； （2）(x+ y)
2
－4 ； （3）x
3
y
2
－4x

解：（1）3x
2-3=3(x
2
-1)=3(x+1)(x-1).

（2）(x+ y )
2
-4=(x+y+2)(x+y-2).

（3）x
3
y
2
-4x=x(x
2
y
2
-4)=x(xy+2)(xy -2).

（九）小结升华 整合新知

1、平方差公式的特点

2、能用平方差公式分解因式的多项式应满足的条件：

3、平方差公式中的字母a、b不仅可以表示任何数而且可以单项式及多项
式

（十）精选作业

把下列多项式分解因式

（1）a
2
－49 （2）64

－x
2
; （3）1－36 b
2
; （4）m
2
－81 n
2
;

（5）0.49p
2
－144q
2
; （6）121a
2
－4 b
2
; （7）a
2
p
2
－ b
2
q
2
;

（8） a
2
－x
2
y
2
; （9）1.69p
2
－0.16q
2
; （10）225x
4
y
4
－9 m
2
;


教学反思
因式分解这部分的 内容是八年级数学第一学期重难点，虽然应
用的公式只是三条，但要灵活应用于解题却不容易，所以我在 制定这
一章书的教学计划时就对教材的教学顺序作出了一些调整。因式分解
的公式是乘法公式的 逆运算，所以我将因式分解提前学，在学会乘法
公式后暂时略过整式的除法直接学习因式分解，我认为这 样调整后可
以加强公式的熟练使用；另一方面我加强乘法公式的练习巩固，在没
有学习因式分解 之前，先针对平方差公式以及完全平方公式的应用及
逆用作了一个专题训练。
在学习因式分解 的这个专题训练的效果是不错的，因为平方差
公式以及完全平方公式都是刚刚学习且应用较多的公式。作 好这些准
备工作之后，便开始学习因式分解。正式提出因式分解的定义的时候，
同学们都一副明 了的表情。而我也强调的就是因式分解与乘法公式是
相反方向的变形，并且在练习中一再将公式罗列出来 。然后讲授提公


因式法、公式法（包括平方差、完全平方公式），讲课的时候是一 个
公式一节课，先分解公式符合条件的形式再练习，主要是以练习为重。
讲课的过程是非常顺利 的，这令我以为学生的掌握程度还好。因为作
业都是最基本的公式应用，而提高题一般是特优生才会选择 来做。
讲完因式分解的新课，我随堂出了一些综合性的练习题，才发
现效果是不太好的。他们 只是看到很表层的东西，而对于较为复杂的
式子，却无从下手。
课后，我总结的原因有以下四点：
１、思想上不重视，因为对于公式的互换觉得太简 单，只是将它
作为一个简单的内容来看，所以课后没有以足够的练习来巩固。
２、在 学习过程中太过于强调形式，反而如何创造条件来满足条
件忽略了。导致他们对于与公式相同或者相似的 式子比较熟悉而需要
转化的或者多种公式混合使用的式子就难以入手。

３、 灵活运用公式（特别与幂的运算性质相结合的公式）的能力较
差，如要将9－25x
２
化成3
２
－（5x）
２
然后应用平方差公式这样的题目却
无从下手。 究其原因，和我布置的作业及随堂练习的单一性及难度低的
特点有关。
４、因式分解 没有先想提公因式的习惯，在结果也没有注意是否进行
到每一个多项式因式都不能再分解为止，比如最简 单的将a
3
－a提公因式
后应用平方差公式，但很多同学都是只化到a(a
2
－１)而没有化到最后结
果a(a ＋１)(a －１)。因式分解是一个重要的内容，也是 难点，我认为
我对教材内容的调整是比较适合的，但是我忽略了学生的接受能力，也
没有注意到 计算题在练习方面的巩固及题型的多样化。在以后的教学中
应该更多结合学生的学习情况去调整教学进度 ，多发现学生在学习方面
的优势和不足之处。