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海伦秦九韶公式解一元二次方程公式法导学案新版新人教版

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-11 19:52
tags:公式法

高中必背古诗文64篇-自相矛盾的寓意是什么



解一元二次方程——公式法导学案(新版
新人教版)


第4课时解一元二次方程-公式法
一、学习目标了解掌握一元二次方程根的判别式,不解方
程能判定一元二次方程根的情况;
理解一元二次方程求根公式的推导过程;
掌握公式结构,知道使用公式前先将方程化为一般形式,
通过判别式判断根的情况;
学会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程.
二、知识回顾1.什么是配方法?配方法解一元二次方程的
一般步骤是什么?
配方法: 通过配方,先把方程的左边配成一个含有未知数
的完全平方式,右边是一个非负数,然后运用直接开平方 法
求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
配方法解一元二次方程的一般步骤:
移常数项到方程右边;
化二次项系数为1;
方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
化方程左边为完全平方式;
若方程右边为非负数,则利用直接开平方法解得方程的
根.
.怎样用配方法解形如一般形式ax2+bx+c=0的一元二次
方程?
解:移项,得
二次项系数化为1,得
配方,得
即:,
因为所以
当;

三、新知讲解一元二次方程根的判别式
叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式,通常用希腊
字母表示它,即.
一元二次方程根的情况与判别式的关系
方程有两个不相等的实数根;
方程有两个相等的实数根;
方程没有实数根.
公式法解一元二次方程
一般地,对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0,当时,
它的两个根分别是
这里,叫做一元二次方程的求根公式,利用它解一元二次
方程的方法叫做公式法.
公式法解一元二次方程的一般步骤
把方程化成一般形式:ax2+bx+c=0;
确定a,b,c的值;
求出的值,并判断方程根的情况:
当时,方程有两个不相等的实数根;
当时,方程有两个相等的实数根;
当时,方程没有实数根.
当时,将a,b,c和的值代入公式.
四、典例探究
.根据根的判别式判断一元二次方程根的情况
【例1】已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0,则该方程根的
情况是
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
两个根都是自然数D.无实数根
总结:
求根的判别式时,应该先将方程化为一般形式,正确找出
a,b,c的值.
根的判别式 与一元二次方程根的情况的关系如下:当时,
方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个相等的实数
根;当时,方程没有实数根.
练1.已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0,下列说
法不正确的是
A.方程有两个相等的实数根B.方程有两个不相等的实



数根
c.没有实数根D.无法确定
练2.已知:关于x的方程x2+2x+2﹣1=0
不解方程,判别方程根的情况;
若方程有一个根为3,求的值.
.根据一元二次方程根的情况求参数的值或取值范围
【例2】若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相
等实数根,则c的值是
A.﹣1B.1c.﹣4D.4
总结:已知方程根的情况求字母的值或取值范围时:
先计算根的判别式;
再根据方程根的情况列出关于根的判别式的等式或不等
式求解;
若二次项系数出现了字母,应注意“二次项系数不为0”.
练3.关于x的一元二次方程x2+2x+1=0有实数根,则的
取值范围是
A.≤3B.<3c.<3且≠2D.≤3且≠2
.用公式法解一元二次方程
【例3】用公式法解下列方程:
x2+2x﹣2=0;
y2﹣3y+1=0;
.x2+3=2x
总结:
公式法的实质是配方法,只不过省去了配方的过程,而直
接利用了配方的结论;
运用公式法求解一元二次方程要注意两个前提:
先将一元二次方程化为一般形式,即确定a,b,c的值;
必须保证b2-4ac≥0.
练4.解方程:x=3x+1.
练5.当x是何值时,3x2+4x﹣8的值和2x2﹣1的值相等?
五、课后小测一、选择题
.下列一元二次方程中,没有实数根的是
A.4x2﹣5x+2=0B.x2﹣6 x+9=0c.5x2﹣4x﹣1=0D.3x2﹣
4x+1=0
.若关于x的一元二次方程x2﹣2x+2=0有实数根,则整
数a的最大值为
A.﹣1B.0c.1D.2
.等腰直角三角形边长分别为a,b,2,且a,b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根,则n的值为
A.9B.10c.9或10D.8或10
.有两个一元二次方程:ax2+bx+c=0;N :cx2+bx+a=0,
其中a?c≠0,a≠c.下列四个结论中,错误的是
A.如果方程有两个相等的实数根,那么方程N也有两



个相等的实数根
B.如果方程的两根符号相同,那么方程N的两根符号也
相同
c.如果5是方程的一个根,那么是方程N的一个根
D.如果方程和方程N有一个相同的根,那么这个根必是
x=1
.已知一元二次方程x2﹣x﹣3=0的较小根为x1,则下面
对x1的估计正确的是
A.﹣2<x1<﹣1B.﹣3<x1<﹣2c.2<x1<3D.﹣1<
x1<0
二、填空题
.用公式法解方程2x2﹣7x+1=0,其中b2﹣4ac=
x1=
x2=

三、解答题
.用公式法解方程:2x2﹣4x=5.
.解方程:2x2﹣2x﹣5=0.
.用公式法解方程:x=4.
0.已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0.
若该方程有两个不相等的实数根,求实数a的取值范围;
的值及方程的另一根.a时,求1当该方程的一个根为
1.已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2=0.
证明:不论为何值时,方程总有实数根;
为何整数时,方程有两个不相等的正整数根.
.已知关于x的一元二次方程x2+x++1=0.
求证:无论取何值,原方程总有两个不相等的实数根;
若x1、x2是原方程的两根,且|x1﹣x2|=2,求的值.
3.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+﹣2=0
小明考查后说,它总有两个不相等的实数根.
小华补充说,其中一个根与无关.
请你说说其中的道理.
典例探究答案:
【例1】已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0,则该方程根的
情况是
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
c.两个根都是自然数D.无实数根
分析:判断方程的根的情况,只要看根的判别式△=b2﹣
4ac的值的符号就可以了.
解答:解:∵a=2,b=﹣5,c=3,
∴△=b2﹣4ac=2﹣4×2×3=1>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
故选:A.
点评:此题主要考查了一元二次方程根的判别式,要熟



练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系:△>0?方
程有两个不相等的实数 根;△=0?方程有两个相等的实数根;
△<0?方程没有实数根.
练1.已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0,下列说
法不正确的是
A.方程有两个相等的实数根B.方程有两个不相等的实数

c.没有实数根D.无法确定
分析:先求出△的值,再判断出其符号即可.
解答:解:∵△=42﹣4×3×=76>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
故选B.
点评:本题考查的是根的判别式,熟知一元二次方程
ax2+bx+c=0的 根与△的关系是解答此题的关键.
练2.已知:关于x的方程x2+2x+2﹣1=0
不解方程,判别方程根的情况;
若方程有一个根为3,求的值.
分析:找出方程a,b及c的值,计算出根的判别式的值,
根据其值的正负即可作出判断;
将x=3代入已知方程中,列出关于系数的新方程,通过解
新方程即可求得的值.
,1﹣c=2,b=2,a=1解答:解:∵
∵△=b2﹣4ac=2﹣4×1×=4>0,
∴方程x2+2x+2﹣1=0有两个不相等的实数根;
∵x2+2x+2﹣1=0有一个根是3,
∴32+2×3+2﹣1=0,
解得,=﹣4或=﹣2.
点评:此题考查了根的判别式,一元二次方程根的情况与
判别 式△的关系:△>0?方程有两个不相等的实数根;△=0?
方程有两个相等的实数根;△<0?方程没 有实数根.也考查
了一元二次方程的解的定义:能使一元二次方程左右两边相
等的未知数的值是 一元二次方程的解.即用这个数代替未知
数所得式子仍然成立.
【例2】若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相
等实数根,则c的值是
A.﹣1B.1c.﹣4D.4
分析:根据方程根的情况与判别式的关系知△=42﹣4×
4c=0,然后解一次方程即可.
解答:解:∵一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数
根,
∴△=42﹣4×4c=0,
∴c=1,
故选B.
点评:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判



别式△ =b2﹣4ac:当△>0,方程有两个不相等的实数根;
当△=0,方程有两个相等的实数根;当△< 0,方程没有实
数根.
练3.关于x的一元二次方程x2+2x+1=0有实数根,则的
取值范围是
A.≤3B.<3c.<3且≠2D.≤3且≠2
分析:根据一元二次方程ax2+bx+c= 0的根的判别式△
=b2-4ac的意义得到-2≠0且△≥0,即22-4××1≥0,然后
解不等式组即可得到的取值范围.
解答:解:∵关于x的一元二次方程x2+2x+1=0有实数根,
∴-2≠0且△≥0,即22-4××1≥0,解得≤3,
∴的取值范围是≤3且≠2.
故选:D.
点评:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式△=b2-4ac:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△
=0,方程有两个相等的实数根 ;当△<0,方程没有实数根.
【例3】用公式法解下列方程:
x2+2x﹣2=0;
y2﹣3y+1=0;
.x2+3=2x
分析:求出b2﹣4ac的值,代入公式x=求出即可;
求出b2﹣4ac的值,代入公式y=求出即可;
求出b2﹣4ac的值是负数,即可得出原方程无解.
解答:解:这里a=1,b=2,c=﹣2,
∵b2﹣4ac=22﹣4×1×=12>0,
∴x==﹣1,
∴x1=﹣1+,x2=﹣1﹣;
这里a=1,b=﹣3,c=1.
∵b2﹣4ac=2﹣4×1×1=5>0,
y=,
∴y1=,y2=;
移项,得x2﹣2x+3=0,
这里a=1,b=﹣2,c=3
∵b2﹣4ac=2﹣4×1×3=﹣4<0.







点评:本题主要考查学生运用公 式法正确解方程的能力,
前提是先判断判别式的符号,再根据情况代入求根公式求解.
练4.解方程:x=3x+1.
分析:整理后求出b2﹣4ac的值,再代入公式求出即可.
解答:解:x=3x+1,
整理得:x2﹣5x﹣1=0,




b2﹣4ac=2﹣4×1×=29,
x=,
x1=,x2=.
点评:本题考查了解一元二次方程的应用,能正确运用公
式法解一元 二次方程是解此题的关键,难度适中.
练5.当x是何值时,3x2+4x﹣8的值和2x2﹣1的值相等?
分析:根据3x2+4x﹣8的值和2x2﹣1的值相等,即可列
出方程,然后利用公式法即可求解.
解答:解:根据题意得:3x2+4x﹣8=2x2﹣1,
即x2+4x﹣7=0,
a=1,b=4,c=﹣7,
△=b2﹣4ac=16+28=44>0,
则x==﹣2.
点评:本题考查了公式法解一元二次方程,注意公式运用
的条件:判别式△≥0.
课后小测答案:
一、选择题
.下列一元二次方程中,没有实数根的是
A.4x2﹣5x+2=0B.x2﹣6x+9=0c.5x2﹣4x﹣1=0D.3x2﹣
4x+1=0
∴方程没有实数根,,0<7﹣4=×2×4﹣=25∵△、A解:
故本选项正确;
B、∵△=36﹣4×1×4=0,∴方程有两个相等的实数根,
故本选项错误;
c、∵△=16﹣4×5×=36>0,∴方程有两个相等的实数根,
故本选项错误;
D、∵△=16﹣4×1×3=4>0,∴方程有两个相等的实数根,
故本选项错误;
故选A.
.若关于x的一元二次方程x2﹣2x+2=0有实数根,则整
数a的最大值为
A.﹣1B.0c.1D.2
解:∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+2=0有实数根,
∴△=2﹣8=12﹣8a≥0且a﹣1≠0,
∴a≤且a≠1,
∴整数a的最大值为0.
故选:B.
.等腰直角三角形边长分别为a,b,2 ,且a,b是关于x
的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根,则n的值为
A.9B.10c.9或10D.8或10
解:∵三角形是等腰直角三角形,
∴①a=2,或b=2,②a=b两种情况,
①当a=2,或b=2时,




∵a,b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根,
∴x=2,
把x=2代入x2﹣6x+n﹣1=0得,22﹣6×2+n﹣1=0,
解得:n=9,
当n=9,方程的两根是2和4,而2,4,2不能组成三角
形,
故n=9不合题意,
②当a=b时,方程x2﹣6x+n﹣1=0有两个相等的实数根,
∴△=2﹣4=0
解得:n=10,
故选B.
.有两个一元二次方程:ax2+bx+c=0;N:cx2+bx+a=0,
其中a?c≠0,a≠c .下列四个结论中,错误的是
A.如果方程有两个相等的实数根,那么方程N也有两个
相等的实数根
B.如果方程的两根符号相同,那么方程N的两根符号也
相同
c.如果5是方程的一个根,那么是方程N的一个根
D.如果方程和方程N有一个相同的根,那么这个根必是
x=1
解:A、如果方程有两 个相等的实数根,那么△=b2﹣也有
两个相等的实数根,结论正确,不N,所以方程4ac=0.
符合题意;
B、如果方程的两根符号相同,那么方程N的两根符号也
相同,那 么△=b2﹣4ac≥0,>0,所以a与c符号相同,>
0,所以方程N的两根符号也相同,结论正确 ,不符合题意;
c、如果5是方程的一个根,那么25a+5b+c=0,两边同时
除 以25,得c+b+a=0,所以是方程N的一个根,结论正确,
不符合题意;
D、如 果方程和方程N有一个相同的根,那么
ax2+bx+c=cx2+bx+a,x2=a﹣c,由a≠c ,得x2=1,x=±1,
结论错误,符合题意;
故选D.
.已知一元二次方程x2﹣x﹣3=0的较小根为x1,则下面
对x1的估计正确的是
A.﹣2<x1<﹣1B.﹣3<x1<﹣2c.2<x1<3D.﹣1<
x1<0
解:x2﹣x﹣3=0,
b2﹣4ac=2﹣4×1×=13,
x=,
方程的最小值是,
∵3<<4,
∴﹣3>﹣>﹣4,




∴﹣>﹣>﹣2,
∴﹣>﹣>﹣2,
∴﹣1>>﹣
故选:A.
二、填空题
.用公式法解方程2x2﹣7x+1=0,其中b2﹣4ac= ,41
x1=
x2=

,解:2x2﹣7x+1=0
,7,c=1a=2 ,b=﹣ ×1=41,4b2﹣4ac=2﹣×2 ∴ ∴
x==,
x2=,x1= ∴, 41,,. 故答案为: 三、解答题
..用公式法解方程:2x2﹣4x=5
,4x﹣5=0 解:原方程可化为:2x2﹣ 5,4b=﹣,c=﹣a=2
∵, >0,24ac=2∴b2﹣﹣4××=56
sqrt{56}}{4}=1∴x=frac{4±±.
﹣.x2=1,x1=1+∴
.解方程:2x2﹣2x﹣5=0.
解:这里a=2,b=﹣2,c=﹣5,
∵△=8+40=48,
∴x==.
.用公式法解方程:x=4.
解:整理得:x2+2x﹣4=0,
△=b2﹣4ac=2﹣4×1×=28,
x=,
x1=﹣+,x2=﹣﹣.
0.已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0.
若该方程有两个不相等的实数根,求实数a的取值范围;
当该方程的一个根为1时,求a的值及方程的另一根.
解:∵b2﹣4ac=2﹣4×1×=12﹣4a>0,
解得:a<3.
∴a的取值范围是a<3;
设方程的另一根为x1,由根与系数的关系得:
解得:,
则a的值是﹣1,该方程的另一根为﹣3.
1.已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2=0.
证明:不论为何值时,方程总有实数根;
为何整数时,方程有两个不相等的正整数根.
解:△=2﹣8=2﹣4+4=2,




∵不论为何值时,2≥0,
∴△≥0,
∴方程总有实数根;
解方程得,x=,
x1=,x2=1,
∵方程有两个不相等的正整数根,
∴=1或2,=2不合题意,
∴=1.
.已知关于x的一元二次方程x2+x++1=0.
求证:无论取何值,原方程总有两个不相等的实数根;
若x1、x2是原方程的两根,且|x1﹣x2|=2,求的值.
解:∵△=2﹣4=2+2+5=2+4>0,
∴无论取何值,原方程总有两个不相等的实数根;
∵x1、x2是原方程的两根,
∴x1+x2=﹣﹣3,x1x2=+1,
∵|x1﹣x2|=2,
∴2=8,
∴2﹣4x1x2=8,
∴2﹣4=8,
∴1=1,2=﹣3.
3.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+﹣2=0
小明考查后说,它总有两个不相等的实数根.
小华补充说,其中一个根与无关.
请你说说其中的道理.
解:∵△=42﹣4=4>0,
∴一元二次方程x2﹣2x+﹣2=0总有两个不相等的实数根;
当x=1时,﹣2+﹣2=0,
即一元二次方程x2﹣2x+﹣2=0有一根为1,
x=1是一元二次方程x2﹣2x+﹣2=0的根,与无关.



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