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公式信息复化抛物线积分公式

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-11 20:57
tags:积分公式

湖北招生考试网-两会指什么


摘要

求函数在给定区间上的定积分,在微积分学中已给出了许多计算方法,但是,在实际问题计算中,往往仅给出函数在一些离散点的值,它的解析
表达式没有明显的给出,或 者,虽然给出解析表达式,但却很难求得其原
函数。这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。
在用近似值代替真实值时,遇到的问题就是近似值的代数精度是否足
够。当代数精度不足够时 ,很显然提高插值函数的次数是一种方法,但是
考虑到数值计算的稳定性,当次数过高时,会出现龙格现 象,用增大n的
方法来提高数值积代数精度是不可取的。因此,提出类似于分段插值,为
了减少 数值积分的误差,可以把积分区间分成若干个小区间,在每个小区
间上采用低阶数值积分公式,然后把这 些小区间上的数值积分结果加起来
作为函数在整个区间上的近似值,这个就是复化数值积分的思想。
本实验针对在每个小区间上利用抛物线积分公式,即阶数为2,进行
实验。








关键词:龙格现象 复化数值积分 代数精度 复化抛物线积分公式










1、实验目的
1) 通过本次实验体会并学习复化抛物线积分公式的优点。
2) 通过对复化抛物线积分公式进行编程实现,提高自己的编程能力。
3) 用实验报告的形式展现,提高自己在写论文方面的能力。

2、算法流程
已知定积分的抛物线积分公式及其误差为






































根据数学知识,我们知道积分区间可划分,且不改变积分值,即如下所示:















针对上式,在每一个小区间上利用抛物线积分公式有

























得到














































其中











,令



1









































作为积分的近似值时,其误差为























































,则由介值定理推得




























,得到误差限 设






































由上式可以进行计算精度控制。这样就给出了n+1点复化抛物线积分公式
及其误差





























































3、算法实例
用复化抛物线积分公式计算积分





解:具体程序如下:


2

#include
#include
#include
using namespace std;

const int num(1000);

void main()
{
double a=0;
double b=0;
double h=0;
int n=0;
int i=0;
double Sn=0;
double F1=0;
double F2=0;
double x[num]={0};
double y[num]={0};
cout<<请输入积分上下限和等分数的一半
cout<<请输入积分下限a=
cin>>a;
cout<<请输入积分上限b=
cin>>b;
cout<<请输入等分数的一半n=
cin>>n;
h=(b-a)(2*n);

for(i=0;i<2*n+1;i++)
{
x[i]=a+h*i;
y[i]=4(1+x[i]*x[i]);
}
for(i=1;i<2*n;i+=2)
{
F1=F1+4*y[i];
}
for(i=2;i<2*n;i+=2)

3
{
F2=F2+2*y[i];
}
Sn=h3*(y[0]+y[2*n]+F1+F2);
cout<<积分结果为:Sn=

}

运行结果:

4、对结果进行分析
通过用编程实现对上例的求解,可以看出结果较为准确,而且逼近效< br>果较好,但是由于复化抛物线积分公式的原理问题,所以本身存在误差,
而且由于在计算机上计算 ,会存在计算误差。
5、参考文献
[1] 秦新强.数值逼近.西安:西安理工大学出版社,2010




4

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